简单的线性规划常见题型总结

1、简单的线性规划常见题型第I类 求线性目标函数的最值(Z ax by截距型)x 4y 3例1.设x,y满足约束条件3x 5y 25，求z 5x 2y的最值x 122解：可行域是如图所示中ABC的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,22 )5作出直线Lo：5x+1Oy=O,再将直线Lo平移，当L经过点B时，y轴截距最小, 当L经过点A时，y轴截距最大，即z达到最大值，得Zmax 29,所以最大值是29,最小值是7x y > 0,小试牛刀：1、若x, y满足约束条件 x y 3 > 0,则z 2x y的最大值为0 < x < 3,x y 1,2、设变量x,y满足约束条

2、件 x y 1,则目标函数z 4x y的最大值3x y 3,y x3、设变量x、y满足约束条件 x y 2，则目标函数z 2x y的最小值为 y 3x 62x y 4,4、设x, y满足x y 1,则z x y的最值为x 2y 2,第H类求可行域的面积关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形xy 20,例2不等式组 xy 20,表示的平面区域的面积是()x2(A)42(B)4(C)2、2解：可行域是 A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4(D)2小试牛刀：1、不等式组2x 3y 6,x-y 0,表示的平面区域的面积为y 0

3、.x 02、若不等式组x 3 y3 x y44所表示的平面区域被直线y kx 分为面积相等的两部分，则 k的值是343、在平面直角坐标系中，若不等式组为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，ax则a的值为第山类距离型目标函数目标函数形式为“ z x2 y2z (x a)2(y b)2 ”。例3已知点P(x, y)的坐标满足条件x,1,4点0为坐标原点，那么|PO |的最小值等于最大值等于小试牛刀：1、设x、y满足条件31，则z (x 1) y的最小值x2x2yy1032.设D是不等式组表示的平面区域0x4y 1x1y3、若M , N是1表示的区域内的不冋xy1 0xy6两点，贝U | MN |

4、的最大值是则D中的点P(x, y)到直线x y 10距离的最大值_2x y 20(y 2)21上,那么|PQ|的最小值为24、如果点P在平面区域x y 2 0上，点Q在曲线x2y 10x1,5、已知 x22y 10,则x y的最小值是.2x y 20第W类斜率型目标函数目标函数为£乞丄型的,x x x,几何意义是可行域内的点与定点(0, 0) ,( x1,y1)连线的斜率例4.设实数x, y满足x2yy2y30,则y的最大值是小试牛刀：1、设x, y满足约束条件y4x3y12，则x 2y 3取值范围是x 12、设变量x、y满足约束条件x yy 3x 61-最小值为第V类参数问题例5设

5、二元一次不等式组x2x19> 0,所表示的平面区域为8> 0,y 14 < 02y yM，使函数x(a 0, a 1)的图象过区域M的a的取值范围是(A. 1,3B. 2,狗C. 2,9D.、帀,91.已知实数x, y满足1,2xy w1,如果目标函数zy的最小值为1，则实数m等于m.a的取值范围是x y2、若不等式组2x y w 2,表示的平面区域是一个三角形，则y0,x y w ax 4y 3 03、如果实数X,y满足3x 5y 25 0，目标函数Z kx y的最大值为12,最小值为3,那么实数k为x 1y x4、使函数f(x)3y x 的目标函数z ax by(ab 0

6、),在x 2, y 2取得最大值的充要条件是x y 4A |a|bB |a|b|C |a|bD|a| |b|x05、在约束条件y0下,当3s 5时，目标函数z3x 2y的最大值的变化范围是xy sy2x 46、已知变量x, y满足约束条件1 xy 4, 2x y2 ,若目标函数z ax y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a的取值范围为 第W类 隐形线性规划问题则平面区域例6.在平面直角坐标系xOy ,已知平面区域A （ x, y） | x y 1,且x 0, y 0,B (x y,xy)l(x,y)A的面积为)A. 2B. 11c.21D.-4解析：令uvu v2u

7、v2o，作出区域是等腰直角三角形,可求出面积小试牛刀0,b0,0,时，恒有ax by 1，则以 y 1a ,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于第叫类知识点交汇问题:与不等式，函数，向量等知识进行综合命题x 4y 30,例7.已知：点P的坐标（x，y）满足： 3x 5y 25,及A （2，0 ），则|OP | cos/ AOP （O为坐标原x 10.点）的最大值是 .解：|OP|C0S AOP即为Op在OA上的投影长，由 x 4y 3 0, M （5,2），故所求最大值为53x 5y 25小试牛刀：1、x, y满足条件y xy x ，那么的最大值等于,最小值等于x yx 13x y 02.已知A （3，J3 ），O为原点，点P（x, y）的坐标满