二项式定理二项式定理的应用教案

1、排列、组合、二项式定理二项式定理的应用教案教学目标1利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证 明；近似计算；求余数或证明某些整除或余数的问题等.2渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题.3.培养学生运算能力，分析能力和综合能力.教学重点与难点数学是一门工具，学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与 数学知识之间的联系(如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系，怎样联 系)，是这节课的难点，也是重点所在.教学过程设计师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数， 请大家用6分时间完成以下 三道题：(1)在(1-X3)(1+x)10的展开式中，X5的系数是多少

2、？(2)求(1+X-X2)6展开式中含X5的项.(3) 证明：C：+C： + C； +Q+警 2 匕(全体学生参加笔试练习)6分钟后，用投影仪公布以上三题的解答：(1) 原式=(1+x)10-x3(1+x)10，可知X5的系数是(1+x)W 第六项系数与(1 + x)的第三项系数之和即：4-0= 252 - 45=207.(2) 原式=1+(x-x2)6=1+6(x-x2)+15(x-x2)2+20(x-x2)3+15(x-x2)4+6(x-x2)5+(x-x2)6.其中含x5的项为：203x5+15(-4)x5+6x5=6x5.C3）运用（a + b） 匚紂+汽珂+严孑+帶 / （n N）.

3、设 a = b = L 则 2JC； + C：+C： +C；+C；师：解（1）,（2）两题运用了变换和化归思想，第（2）题把三项式化为 二项式，创造了使用二项式定理的条件.第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a，b取任何数时，等式都成立根 据习题结构特征选择a，b的取值这种用概念解题的思想经常使用.下面我们看二项式定理的一些应用.例 1 求证：C+3Ci + 9C+-+3nC=22h.师：请同学们想一想，例1怎样解？生甲：从结构上观察，则与练习的第（3）题有相似之处，只是组合数的系 数成等比数列，是否根据二项式定理令a=1,b=3,即可得到证明.师：请同学们根据生甲所讲，写出证明.（找一位同学

4、板演）证明：在（a+b）n的展开式中令a=1，b=3得：(1 + 3)n= C+3Ci+9C + +罗當 4” = C： + 3C：+9C： +3 弋二2 加= #+3Ci + 9S + 即 C：.显然，适当选取a，b之值是解这一类题的关键，再看练习题.练习L求 C； + 9C： + 9?C：+9 叱汁 9乜的值.生乙：这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺少了第 C；两个组合数及其系数*每一项也不是 9 七：的结构形式，而 是严 C；我考虑如能用二项式定理解，应对原题做以下变换:师:（1）取 n 二 6; 把原式乘以只 使其成结构形式，（3）壇加 C； + 9C：两项.师：分析

5、得很透彻这种敢想、会想精神是每位同学都要培养的首先是敢 字，不要一见题目有些生疏就采取放弃态度；要敢于分析，才能善于分析，将来 才敢于创新，善于创新.请大家把解题过程写在笔记本上.（教师请一名同学板演）解；原式=*（90 + Ac汁 Ac： + 9 七；十 9 宅）=* （ + 9CJ + Fc： + b C： + A C+ ：!C： + 9 叱：）- *（C：+9C；）在（a+b）6的展开式中令a=1，b=3，得（1+9）丸；+ 94 + 9 + 9乜+9 乜：+9 玄+9它，即 用二 C； + 9C； + 9叱；+ 炉 C； + 9* C： + 9 叱;+ 9aCg.因 +9=119X6

6、= 55,则 9叱：+ 9 叱；+ 94C： + 2C： +9 叱：=12 -55 = 999 945.所以 C： + 9C； + yC： + XCg+yC冷* 999945-12 345.师：解题过程从“在（a+b）6的展开式中令a=1，b=3”写起就可以了希 望同学们再接再励，完成下个练习.练习兀2.求证；C：_C：+C 行二（边）心亍； C：-C：+C：-“=（忑）sin普.师：大家议论一下，这道题能用二项式定理来解吗？生丙：初步观察，与上节课我们学刁的：“在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即久+ C：+ C：+二 C： + C：+C； +二彗进

7、一歩观察发现符号问题无法解决我们注意到组合数代数和的值为余弦值或正弦值，又注意到正项出现在 Ca + b）二项展开式的通项 C；严廿的匸=4m （m = 0P1, 2,）或r=4m+1（m=0 1,2,），负项出现在r=4m+2（m=0 1,2,） 或r=4m+3（m=0 1，2，），而虚数单位i有以下性质：4m4m+4m+24m+3_i=i，i =i，i =-i，i =-i（mt z）于是想在（a+b）n的展开式中令a=1，b=i师：分析得有道理，请同学们按生丙同学的意见进行演算.（教师找一位同学板演）证明：设i是虚数单位，在（a+b）n的展开式中令a=1，b=i中得：（1 +】宀 C； +

8、 C 打+ C；卩+洋+ CF二 c：+cAc； + U+CF=（c： c； + cm）+i*c：+cH +另一方面，又有根据复数相等定义，有cg+c：-c：+ “）仏牛Cl-Cl+C2n-1（n+2）（nN,且n2）.师：仍然由同学先谈谈自己的想法.生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2+1.左式=（2 + 0y +2魚+ c： 2+C：呛+ C：= 2ft+n* 2nd+ （C：円 + +C：“ 2+4）注意到：12n+n2n-1=2n-1（2+n）=2-1（n+2）;2n2,右式至少三项；3严;+ c汁 2 + C；0.这样，可以得到3n2n-1（n

9、+2）（nN,且n2）.生癸：根据题设条件有nN,且n2.用数学归纳法应当可以证明.师：由于观察习题时思维起点不同， 得到了习题不同解法，生X同学从乘方 运算这点考虑，想到二项式定理，生X同学从题设条件nN考虑，想到数学归纳法.大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我 们思考问题更全面.用二项式定理证明，生X同学已经讲清楚了证明过程， 大家课下在笔记本上 整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明.（教师请一名同学板演）证明：当n=2时，左式=32=9,右式=2（2+2）=2X4=8,显然98.故 不等式成立.假设n=k(kN且k2)时，不等式成立，即3k2k-

10、1(k+2),则当n=k+1时，由于 左式=3k+1=33k32k-1(k+2)=3k2k-1+32k.右式=2(k+1)-1(k+1)+2=2k(k+3)=k2k+32k,贝U左式-右式=(3k2k-1+32k)-(k2k+32k)=3k2k-1-2k2k-1=k2k-10.所以 左式有式.故当n=k+1时，不等式也成立.由，不等式对n2，nN都成立.师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题：设nN且n1，求证：(1)C： + C? + 警 1+2+，+ 2叫rvl(2)求证,C：+C：+ +C：H2(证明过程中可以运用公式：对n个正数ai，a?,，总有+a3+暫)班卫 23 式中

11、等号成立的充要条件为 aL= aan(教师在教室巡视，过2分钟找一名同学到黑板板演第(1)小题，再过3分钟找另一名同学板演第(2)小题)证明；由于 C： + C： + C： + C： = 2X则 C：+C； + + C： = 2y = ”-l又】+ 2+，+丹蔦)=严贝 Ij C： + C? + C： = l + 2 +，+ 严（2）根据公式 i 对 n 个正数幻，anJ总有丄（aL+ aa+an+耳）幻蛰 式子等号成立的充要条件为 aj = a3=*有匸 1 + 2 +，+严!1/廿旷巳f_推-l）n-l这样 n g 2 2,2“ =ti 2= n 2T?a-l所以 1+2 +护+- + 2

12、讪社 2丁.又Q + CF+ C：=l+2 + + 2 魚（己证）所以 C： +H-1C?+C：11* 2.师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，根据二项无系数的和是22- += 2-1.右式是竽比数列前n项的和，由求和公式也能得到2n-1.因此得到证明.第（2）小题左式与右式也没有直接联系根据题目给出的公式要出现 n个正数的和f因此想到用第1）小题的结论把 C + C； +4转化为 1 + 2 +乎+ 2 叫 再运用给出的公式即可证明.师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握.本节课讨论了二项式

13、定理主要应用， 包括组合数的计算、近似计算、整除和 求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用.当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数） 都可能用到二项式定 理.认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法， 希望引起同学们的重视.而p 22nl= 2Q+2+1 p+ti-1ng】）=22,n（D+作业1.课本习题：P253习题三一：6,7,10;2.课本习题：P256复习参考题九：15(2).3.补充题:(1) 求+ 的值.(55)(2) 求严+遐* 2 讪+扌 C； - 2曲+ +萨 1從 1 2 +罗的值.11为奇数，则严+ C严 1 + C：严+直 7 被滁的余 数是什么？求证 1+2+2U+ 2 】能被 31整除.提示；原式二2-1=(31 + 1)n-l) 证明护血 9 对任何自然数泌能被 64整除.(6)f (瓷)=(1+K)+ (1 + z) W“+(1 +K)儿展开式后合并同类项，设蛊的系数为彖，J的系数为求 l】mn-co n课堂教