任意角的三角函数定义说课课件

1、教教 材材 分分 析析 任意角的三角函数任意角的三角函数是北京市各类中等职是北京市各类中等职业学校试用教材高等教育出版社第二册第业学校试用教材高等教育出版社第二册第5 5章章第三节的第一小节，主要内容是任意角三角函第三节的第一小节，主要内容是任意角三角函数的定义及其定义域数的定义及其定义域 1 1教学内容教学内容教教 材材 分分 析析 本节对本节对“任意角三角函数任意角三角函数”的认识，是从初中直的认识，是从初中直角三角形中三条边的比值，过渡到了推广后的任意角角三角形中三条边的比值，过渡到了推广后的任意角在坐标系中的定义，其学习平台是学生已了解了三角在坐标系中的定义，其学习平台是学生已了解了三

2、角函数的初中原始定义，学习了本章的函数的初中原始定义，学习了本章的“任意角和弧度任意角和弧度制制” 等相关知识对本节的研究，为后续讨论三角等相关知识对本节的研究，为后续讨论三角函数的诱导公式以及图象与性质奠定坚实的基础函数的诱导公式以及图象与性质奠定坚实的基础 ，具有承上启下的重要作用具有承上启下的重要作用 地位与作用地位与作用目目 标标 分分 析析2.教学目标知识技能知识技能数学思考数学思考解决问题解决问题情感态度情感态度3. 教学重、难点教学重点教学重点教学难点教学难点难点突破难点突破1.学情分析学情分析学情分析 我校职高一年级学生已学习过直角三角形我校职高一年级学生已学习过直角三角形中三

3、角函数的定义和推广后的任意角以及建立中三角函数的定义和推广后的任意角以及建立坐标系等相关知识，具备了一定的利用代数方坐标系等相关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力我班学生基础知识比法研究几何问题的能力我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，但基础不够夯实，自我较扎实、思维较活跃，但基础不够夯实，自我控制能力不够强，需要老师引导和激发，处理控制能力不够强，需要老师引导和激发，处理抽象问题的能力还有待进一步提高抽象问题的能力还有待进一步提高 目目 标标 分分 析析u经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，掌握任意角的正弦、余弦、

4、数定义的推广过程，掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义正切函数的定义 ； u掌握正弦、余弦、正切函数的定义域掌握正弦、余弦、正切函数的定义域；u能够应用三角函数定义求特殊的角的三角函数能够应用三角函数定义求特殊的角的三角函数值以及给定点值以及给定点P P坐标求某三角函数值坐标求某三角函数值知识技能知识技能目目 标标 分分 析析2 2教学目标教学目标数学思考数学思考目目 标标 分分 析析u通过经历从锐角三角函数定义过度到任意角三通过经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程生、发展过程，体会函数模型思想，

5、数形结合思体会函数模型思想，数形结合思想。想。培养探索、归纳、类比能力培养探索、归纳、类比能力；u通过运用几何画板，培养观察、分析、探索和通过运用几何画板，培养观察、分析、探索和动手能力；动手能力；u通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、解决实际问题能力解决实际问题能力2 2教学目标教学目标知识技能知识技能解决问题解决问题目目 标标 分分 析析2 2教学目标教学目标知识技能知识技能数学思考数学思考 根据情景问题中摩天轮圆周上的某点（某根据情景问题中摩天轮圆周上的某点（某座舱处）随着匀速逆时针转动而距离地面高座舱处）随着匀速逆时针转动而距离地面高度产

6、生变化的现象，探究圆周上的该点距离度产生变化的现象，探究圆周上的该点距离地面高度与该点转动角度的关系，使学生调地面高度与该点转动角度的关系，使学生调动以往的三角函数知识，并认识到锐角三角动以往的三角函数知识，并认识到锐角三角函数的局限性和拓展到任意角的必要性，感函数的局限性和拓展到任意角的必要性，感悟到数学源于生活、数学就在身边。并引导悟到数学源于生活、数学就在身边。并引导学生大胆猜想，结合函数概念等知识，最终学生大胆猜想，结合函数概念等知识，最终揭晓答案，从中体会由具体到抽象，由特殊揭晓答案，从中体会由具体到抽象，由特殊到一般的知识迁移过程和科学思考方式。到一般的知识迁移过程和科学思考方式。

7、结合现实模型将教材知识和实际生活联系起结合现实模型将教材知识和实际生活联系起来，使学生感悟数学概念的合理性、严谨性、科来，使学生感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性学性 ，有效激发学生的学习兴趣渗透事物相互，有效激发学生的学习兴趣渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. . 情感态度情感态度目目 标标 分分 析析2 2教学目标教学目标知识技能知识技能数学思考数学思考解决问题解决问题任意角的正弦、余弦、正切的定义任意角的正弦、余弦、正切的定义；任意角的正弦、余弦、正切的定义域任意角的正弦、余弦、正切的定义域 ；教学重点教学重点教学难点教学难点由锐角三角函

8、数向任意角的三角函数概念拓展的建由锐角三角函数向任意角的三角函数概念拓展的建构过程。构过程。 3 3教学重、难点教学重、难点目目 标标 分分 析析本课在设计上采用了设置问题情景来引发学生探究，本课在设计上采用了设置问题情景来引发学生探究，然后从具体到抽象进行知识迁移的教学策略，利用数学模然后从具体到抽象进行知识迁移的教学策略，利用数学模型引导学生运用已有知识，体验任意角三角函数定义拓展型引导学生运用已有知识，体验任意角三角函数定义拓展的必要性和合理性，通过类比和探究，使任意角三角函数的必要性和合理性，通过类比和探究，使任意角三角函数的定义水到渠成的呈现出来同时，借助于多媒体的直观的定义水到渠成

9、的呈现出来同时，借助于多媒体的直观演示帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互演示帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点教学重点教学重点教学难点教学难点难点突破难点突破目目 标标 分分 析析3 3教学重、难点教学重、难点教教 学学 方方 法法根据新课程改革突出学生注重过程体验和自主根据新课程改革突出学生注重过程体验和自主探究的理念，结合本节教学内容和学生的学习状况、探究的理念，结合本节教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用认知特点，本课采用任务情景教学模式任务情景教学模式从学生熟从学生熟知的实际

10、生活背景出发，通过问题探究、任务驱动知的实际生活背景出发，通过问题探究、任务驱动引导学生调动以往三角函数知识。然后利用几何画引导学生调动以往三角函数知识。然后利用几何画板辅助帮助学生认识到定义拓展的必要性和可行性，板辅助帮助学生认识到定义拓展的必要性和可行性，最终自然的得出新的定义，经历从具体到抽象的思最终自然的得出新的定义，经历从具体到抽象的思维方法。让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，维方法。让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，提高数学思维能力提高数学思维能力过过 程程 设设 计计创设情景激发思创设情景激发思维、调动原有知维、调动原有知识进行模型探究识进行模型探究（1010分钟）分钟） 课

11、堂小结课堂小结 （5 5分钟）分钟）得出拓展后的新得出拓展后的新定义并合作探究定义并合作探究其定义域其定义域（8 8分钟）分钟）应用定义解决例应用定义解决例题和练习中的问题和练习中的问题（题（1212分钟）分钟）问题驱动、问题驱动、唤醒记忆、做热唤醒记忆、做热身活动（身活动（3 3分钟）分钟）深入挖掘，从定义中深入挖掘，从定义中的关键入手探索发现的关键入手探索发现更好的方法更好的方法（7 7分钟）分钟）过过 程程 设设 计计环节环节1回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。问题问题1.1回忆一下，三角函数是如何定义的？回忆一下，三角函数是如何定义的？（在直角

12、三角形中）（在直角三角形中）斜边对边邻边ABCACBCsin cosACAB=tan=ABBC过过 程程 设设 计计环节环节1 回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。问题问题1.2定义中三角函数值的大小与什么定义中三角函数值的大小与什么有关？是否与三角形的大小有关？有关？是否与三角形的大小有关？ABCsin =cos=tan=BB CCACABCABA CABAABBCBACB BACBACBCCACB CACB=根据相似三角形原理过过 程程 设设 计计环节环节1回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。问题问题1.3你还

13、记得么？请尝试完成你还记得么？请尝试完成下列表格：下列表格：ABC0000232221030456090sin0cos1tan01不存在3过过 程程 设设 计计OMP问题1.4三角函数知识有什么应用呢？能解决什么样的问题呢？如右图：已知OP和角 ，同学们能否求出PM?解：因为所以sinOPPMsinOPPM环节环节1回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。过过 程程 设设 计计看下面这个生活实例：看下面这个生活实例：思考：角的概念已经推广，由旋转生成角可以得到任意大小的角，有正角、零角和负角。那么三角函数是否也应该推广呢？又该如何推广呢？环节环节2 三角函数

14、定义的推广探究三角函数定义的推广探究世界第一轮南昌超大型摩天轮于2006年1月3日下午屹立南昌赣江之滨，从而刷新了英国“伦敦之眼”保持的摩天轮135米高的世界记录。该摩天轮设备中心距离地面为83.5米，转盘直径为153米，运转一周约30分钟，（可以调控）轿厢数量为60只，每只载客量为810人。轿厢配置了全球目前最豪华、先进的设备。 过过 程程 设设 计计问题2 设定一周用时30分钟，若现在你坐在座舱中，从位置点开始计时（如图所示），逆时针转动，求相对于地面的高度h（米）与时间t(分钟）的函数关系式。(半径76.5m，一分钟逆时针转动12度)A83.5m76.5mPMO可知：点P在如图位置时，构

15、造直角 POM，则PM=OPsin ， =12t注意：当P在OA所在的水平线下方时：h，83.5，PM三者什么样的关系？环节环节2 三角函数定义的推广探究三角函数定义的推广探究 OAPMAPOM思考：当角度超过90度，如图所示，当点P转到这四种代表性的位置时，该如何应用三角函数知识求解呢？APOMOAPM环节环节2 三角函数定义的推广探究三角函数定义的推广探究APOM过过 程程 设设 计计OAPMAPOMOAP sinOPPMOPysinOPPMsinM环节环节2 三角函数定义的推广探究三角函数定义的推广探究联想角的推广建立直角坐标系：PM与点P有什么关系呢？不妨设P(x,y)，那么h=83.

16、5+PM(P在OA上方） h=83.5-PM(P在OA下方）可以用一个式子示:h=83.5+y而在图（1）中：即：大胆猜想：为了适用到其他图的情况，是否就该推广为图（1）图（2）图（3）图（4）过过 程程 设设 计计书中这样定义：如图，设 是一个任意角，在 的终边上任意一点P(x,y)(原点O除外），它与原点O的距离 称（1）比值 叫做角 的正弦，记作 OP022ryxrysinrypppprrrroooo环节环节2 三角函数定义的推广探究三角函数定义的推广探究过过 程程 设设 计计思考：在该定义中，点P在角 终边上的位置是否会影响 比值呢？rysin 我们已经研究过在直角三角形中，根据相似三

17、角形的知识三角函数的值只与角的大小有关，与三角形的大小无关;在正弦函数扩展了之后，只需再考虑各个象限坐标的正负情况，依然可以确定如下结论： 对于确定的角 ，比值 不会随点P在 的终边上的位置的改变而改变，是由角 唯一确定的rysin问题3：同学们能否依据这个定义猜想出其他的三角函数的新定义？然后我们同书中的结果比较进行验证。环节环节2 三角函数定义的推广探究三角函数定义的推广探究过过 程程 设设 计计定义：如图，设定义：如图，设 是一个任意角，在是一个任意角，在 的终边上任意一点的终边上任意一点P(x,y)(原点原点O除外），它与原点除外），它与原点O的距离的距离 称称 (1)比值比值 叫做角

18、叫做角 的正弦，记作的正弦，记作 (2)比值比值 叫做角叫做角 的余弦，记作的余弦，记作 (3)比值比值 叫做角叫做角 的正切，记作的正切，记作 OP022ryxrysinrypppprrrroooorxrxcostan(0)yxxxy环节环节2 三角函数定义的推广探究三角函数定义的推广探究（任务：其他三角函数余切、正割和余割的定义课后自学完成。）（任务：其他三角函数余切、正割和余割的定义课后自学完成。）例例1 1 如图，已知角如图，已知角 终边经过点终边经过点P(3,-4),P(3,-4),分别求分别求 的值。的值。（巩固学生对定义的印象，加深理解和认识。）没有将例1与例2连续进行，而是分阶

19、段发挥各自的作用。例1为前面的内容稍作总结，也是作为一个分水岭。过过 程程 设设 计计,sin,costan环节环节2 三角函数定义的推广探究三角函数定义的推广探究 过过 程程 设设 计计布置任务布置任务 ：请各小组讨论，完成下列表格：请各小组讨论，完成下列表格: :交流互动、总结得出结论：交流互动、总结得出结论：关于关于sin=y/rsin=y/r、cos=x/rcos=x/r，对于任意角，对于任意角（弧度数），（弧度数），r r0 0，y/ry/r、x/rx/r恒有意义，定义域都是恒有意义，定义域都是实数集实数集R. R. 对于对于tan=y/xtan=y/x，= k+/2 = k+/2

20、时时x=0 x=0，y/xy/x无意义，无意义，tantan的定义域是：的定义域是：|R|R，且且k+/2 k+/2 三角函数定义域sincostan环节环节3 三角函数定义域的确定三角函数定义域的确定问题问题4 4：如何确定三角函数的定义域？（注：值域以后再学）：如何确定三角函数的定义域？（注：值域以后再学）知识链接：知识链接：1 1、函数概念的三要素是什么？即：对应法则、定义域、值域、函数概念的三要素是什么？即：对应法则、定义域、值域. . 2 2、结合以往知识可知：如果没有特别说明，那么使解析式有意、结合以往知识可知：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域

21、，三角函数的定义域自然是指：义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角使比值有意义的角的取值范围的取值范围. . 过过 程程 设设 计计,1ysinyry,1cosxxrxtan(0)yxx适度引导：既然点P在终边上的位置不会改变三角函数值无关，可以让r的值取1，再由r可以联想到半径，联想到一个圆，即半径为1的圆。如此，可以得到一个求三角函数的好方法。找到方案：以原点为圆心，做半径为1的圆（单位圆），与角 终边的交点记做P(x,y),则注明：利用单位圆的方法对于后续学习很有意义，也是某些其他教材中的所给的三角函数定义方式。1OP环节环节4 单位圆技巧的应用

22、和对定义的简化单位圆技巧的应用和对定义的简化问题问题4 4（讨（讨论互动）重新审视三角函数的定义，发现点论互动）重新审视三角函数的定义，发现点P P在终边上在终边上的位置虽然与三角函数值无关，但是能否找到一个恰当的位置，的位置虽然与三角函数值无关，但是能否找到一个恰当的位置，使得三角函数的比值更加简洁和容易呢？你有什么好的方法么？使得三角函数的比值更加简洁和容易呢？你有什么好的方法么？过过 程程 设设 计计例例2 求下列各角的正弦、余弦、正切值：求下列各角的正弦、余弦、正切值：（1）0； （2） （3） （4）解析：有了单位圆的技巧，求值更加快捷和准确。解析：有了单位圆的技巧，求值更加快捷和准

23、确。1 1;2;.2311111111环节环节4 单位圆技巧的应用和对定义的简化单位圆技巧的应用和对定义的简化（0，1）（0，-1）（-1，0）（1，0）过过 程程 设设 计计例例3 求下列各式的值：求下列各式的值：;180cos10270sin3180sin290sin5) 1 (oooo.6tan436sin4tan3cos)2(2环节环节4 单位圆技巧的应用和对定义的简化单位圆技巧的应用和对定义的简化强调：熟悉弧度制与角度制，熟记常用三角函数，准确确定角的终边所在位置。以增强解决问题的知识储备和基本技能。过过 程程 设设 计计1.填表填表2.已知角已知角 终边经过下列各点，求终边经过下列

24、各点，求 的值。的值。 （1）P(5,12); (2)Q(-3,4).3.计算：计算：角角（角度）（角度）090180270360角角（弧度）（弧度） sin cos tan ,sin,costan;23sincos3cos6sin) 1 (.sin4tan0cos2sin)2(环节环节5 课堂练习课堂练习 过过 程程 设设 计计问题2 设定一周用时30分钟，若现在你坐在座舱中，从位置点开始计时（如图所示），逆时针转动，求相对于地面的高度h（米）与时间t(分钟）的函数关系式。(半径76.5m，一分钟逆时针转动12度)A83.5m76.5mPMO解：设点P的坐标为P(x,y),依据三角函数定义知

25、因为 =12t,r=76.5，所以y=rsin =76.5sin12t由题意得：h= 83.5+y=83.5+76.5sin12t.回顾解决前面摩天轮的问题。（首尾呼应）回顾解决前面摩天轮的问题。（首尾呼应）rysin过过 程程 设设 计计环节环节6 课堂小结课堂小结由初中时已知的三角函数定义推广到三角函数的坐标系由初中时已知的三角函数定义推广到三角函数的坐标系中的定义；中的定义；三种主要三角函数的定义域；三种主要三角函数的定义域；利用单位圆简化定义，求某些终边较特殊的角的三角函利用单位圆简化定义，求某些终边较特殊的角的三角函数值数值过过 程程 设设 计计自学教材自学教材 第第16页关于正割、

26、余割的部分，页关于正割、余割的部分，以及阅读第以及阅读第36页页三角史话三角史话； 教材第教材第18页习题页习题 A组组 2、3；以及选作；以及选作B组组1、3、4。环节环节7 课后作业课后作业板板 书书 设设 计计课题：任意角的三角函数定义课题：任意角的三角函数定义1设置关于初中时三角函数的定义及应用的问题：设置关于初中时三角函数的定义及应用的问题： 问题问题1.1，1.2，1.3，1.4 2（1）问题）问题2 引入实例，提取要研究的问题：引入实例，提取要研究的问题：随着摩天轮转动，求某座舱高度距离地面高度与时间的关系。随着摩天轮转动，求某座舱高度距离地面高度与时间的关系。（在解决问题的过程

27、中探究三角函数推广的合理性和可行性。）（在解决问题的过程中探究三角函数推广的合理性和可行性。） （2）例）例13任务驱动（小组活动）任务驱动（小组活动）（1）确定三角函数的定义域确定三角函数的定义域 （2）单位圆技巧的应用和对定义的简化）单位圆技巧的应用和对定义的简化4典型例题典型例题 例例2 例例35课堂练习课堂练习 6课堂小结与课后作业课堂小结与课后作业教教 学学 反反 思思1 1对于这一节内容，有两种不同的处理方对于这一节内容，有两种不同的处理方式：一种是让学生理解、记忆公式，直接应式：一种是让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的处理不利用而不讲公式的探寻过程，这样的处理不利于我校学生数学思维能力的培养；二是本课于我校学生数学思维能力的培养；二是本课方式，通过强调对公式的探索过程，提高