全等三角形复习课

1、阶段复习课第十二章主题主题1 1 全等三角形的判定全等三角形的判定 【主题训练【主题训练1 1】(2013(2013佛山中考佛山中考) )课本指出：公认的真命题称课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题为公理，除了公理外，其他的真命题( (如推论、定理等如推论、定理等) )的正确的正确性都需要通过推理的方法证实性都需要通过推理的方法证实. .(1)(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS.AAS.(2)(2)证明推论证明推论AAS.AAS.要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知

2、、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据并证明，证明对各步骤要注明依据. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)一个三角形的两个角及其中一个角的对边分一个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等别对应相等，那么这两个三角形全等. .(2)(2)已知：在已知：在ABCABC和和DEFDEF中，中，A=DA=D，B=EB=E，BC=EFBC=EF，求证：求证：ABCABCDEF.DEF.证明：证明：因为因为AABBC=180C=180，DDEEF=180F=180（三角形内角和定理），（三角形内角和定理），又又A=DA=D，B=EB=E（已知），（已知），所以所以C=FC=

3、F（等式的性质）（等式的性质）. .在在ABCABC和和DEFDEF中，中， B=EB=E， BC=EFBC=EF， C=FC=F，所以所以ABCABCDEFDEF（ASAASA）. . 【主题升华】【主题升华】判定两个三角形全等的判定两个三角形全等的“四种思路四种思路” 找夹角找夹角(SAS);(SAS);1.1.已知两边已知两边 找直角找直角(HL,SAS);(HL,SAS); 找另一边找另一边(SSS).(SSS).2.2.已知一边一角已知一边一角. .(1)(1)边为角的对边时，找任一角边为角的对边时，找任一角(AAS).(AAS). 找角的另一边找角的另一边(SAS);(SAS);(

4、2)(2)边为角的邻边时边为角的邻边时 找夹边的另一角找夹边的另一角(ASA);(ASA); 找边的对角找边的对角(AAS).(AAS).3.3.已知两角已知两角: :找任意一边找任意一边(AAS,ASA).(AAS,ASA).4.4.有直角，找两边（有直角，找两边（HLHL，SASSAS）. .1.(20131.(2013湘潭中考湘潭中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，点，点D D，E E在在BCBC上，连接上，连接ADAD，AE.AE.如如果只添加一个条件使果只添加一个条件使DAB=EACDAB=EAC，则，则添加的条件不能为添加的条件不能为( () )A.

5、BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CDA.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD【解析】【解析】选选C.C.因为因为AB=ACAB=AC，所以，所以B=CB=C，选项，选项A A中添加条件中添加条件BD=CEBD=CE，可证，可证ABDABDACE(SAS)ACE(SAS)，得到，得到DAB=EACDAB=EAC，所以选，所以选项项A A错误；选项错误；选项B B中添加条件中添加条件AD=AEAD=AE，可得，可得ADB=AECADB=AEC，可证，可证ABDABDACE(AAS)ACE(AAS)，得到，得到DAB=EACDAB=EAC，所以选项，所以选

6、项B B错误；选错误；选项项C C中添加条件中添加条件DA=DEDA=DE，不能得出，不能得出ABDABD与与ACEACE中的某一元素对中的某一元素对应相等，所以选项应相等，所以选项C C正确；选项正确；选项D D中添加条件中添加条件BE=CDBE=CD，可推出，可推出BD=CEBD=CE，同选项，同选项A A可得选项可得选项D D错误错误. .2.(20132.(2013台州中考台州中考) )已知已知A A1 1B B1 1C C1 1与与A A2 2B B2 2C C2 2的周长相等，现有的周长相等，现有两个判断：两个判断：若若A A1 1B B1 1= A= A2 2B B2 2，A A

7、1 1C C1 1=A=A2 2C C2 2，则，则A A1 1B B1 1C C1 1A A2 2B B2 2C C2 2；若若AA1 1=A=A2 2，BB1 1=B=B2 2，则，则A A1 1B B1 1C C1 1A A2 2B B2 2C C2 2. .对于上述的两个判断，下列说法正确的是对于上述的两个判断，下列说法正确的是( () )A.A.正确错误正确错误 B. B.错误正确错误正确C.C.，都错误，都错误 D. D.，都正确，都正确【解析】【解析】选选D.D.AA1 1B B1 1= A= A2 2B B2 2，A A1 1C C1 1=A=A2 2C C2 2，A A1 1

8、B B1 1+A+A1 1C C1 1+B+B1 1C C1 1=A=A2 2C C2 2+A+A2 2B B2 2+ B+ B2 2C C2 2，BB1 1C C1 1=B=B2 2C C2 2，A A1 1B B1 1C C1 1A A2 2B B2 2C C2 2(SSS)(SSS)；AA1 1=A=A2 2，BB1 1=B=B2 2，可得，可得CC1 1=C=C2 2，所以，所以A A1 1B B1 1C C1 1与与A A2 2B B2 2C C2 2形状相同，又由周长相等，故形状相同，又由周长相等，故A A1 1B B1 1C C1 1A A2 2B B2 2C C2 2. .3.

9、(20133.(2013昭通中考昭通中考) )如图，如图，AF=DCAF=DC，BCEFBCEF，只需补充一个条，只需补充一个条件件，就得，就得ABCABCDEF.DEF.【解析】【解析】因为因为BCEFBCEF，所以，所以EFD=BCAEFD=BCA，又因为，又因为AF=DCAF=DC，所以，所以用用“ASA”ASA”，需添加，需添加A=DA=D或或ABDEABDE；用用“SAS”SAS”，需添，需添加加BC=EFBC=EF；用用“AAS”AAS”，需添加，需添加E=B.E=B.答案：答案：EF=BC(EF=BC(或或E=BE=B或或A=DA=D或或ABDEABDE，答案不唯一，答案不唯一)

10、 )4.(20134.(2013天津中考天津中考) )如图，已知如图，已知C=DC=D，ABC=BADABC=BAD，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，请写出，请写出图中一组相等的线段图中一组相等的线段. .【解析】【解析】C=DC=D，ABC=BADABC=BAD，AB=BAAB=BA，ADBADBBCABCA，AC=BDAC=BD，BC=ADBC=AD，又，又DOA=COBDOA=COB，ADOADOBCOBCO，OA=OBOA=OB，OC=OD.OC=OD.答案：答案：AC=BD(AC=BD(或或BC=ADBC=AD或或OD=OCOD=OC或或OA=OBOA=OB，答案不唯一，

11、答案不唯一) )5.(20135.(2013呼和浩特中考呼和浩特中考) )如图，如图，CD=CACD=CA，1=21=2，EC=BC.EC=BC.求证：求证：DE=AB.DE=AB.【证明】【证明】1=21=2，1+ECA=2+ECA1+ECA=2+ECA，即即BCA=ECD.BCA=ECD.在在BCABCA与与ECDECD中，中， BC=ECBC=EC， BCA=ECDBCA=ECD， CA=CDCA=CD， BCABCAECD(SAS).DE=AB.ECD(SAS).DE=AB.6.(20136.(2013泉州中考泉州中考) )如图，已知如图，已知ADAD是是ABCABC的中线，分别过的中

12、线，分别过点点B B，C C作作BEADBEAD于点于点E E，CFADCFAD交交ADAD的延长线于点的延长线于点F.F.求证：求证：BE=CF.BE=CF.【证明】【证明】ADAD是是ABCABC的中线，的中线，BD=CDBD=CD，BEAD, CFADBEAD, CFAD，BED=CFD =90BED=CFD =90. . BED=CFD BED=CFD，在在DBEDBE和和DCFDCF中，中， BDE=CDFBDE=CDF， BD=CDBD=CD， DBEDBEDCFDCF（AASAAS），），BE=CF.BE=CF.7.(20137.(2013普洱中考普洱中考) )如图，已知点如图，

13、已知点B B，E E，C C，F F在同一条直线上，在同一条直线上，BE=CFBE=CF，ABDEABDE，A=D.A=D.求证：求证：AB=DE.AB=DE.【证明】【证明】BE=CFBE=CF，BC=EF.BC=EF.ABDEABDE，B=DEF.B=DEF. A=D A=D，在在ABCABC与与DEFDEF中，中， B=DEFB=DEF， BC=EFBC=EF，ABCABCDEFDEF（AASAAS），），AB=DE.AB=DE.主题主题2 2 全等三角形的性质及应用全等三角形的性质及应用 【主题训练【主题训练2 2】(2013(2013嘉兴中考嘉兴中考) )如图，如图，在在ABCABC

14、与与DCBDCB中，中，ACAC与与BDBD交于点交于点E E，且且A=DA=D，AB=DC.AB=DC.(1)(1)求证：求证：ABEABEDCE.DCE.(2)(2)当当AEB=50AEB=50时，求时，求EBCEBC的度数的度数. .【自主解答】【自主解答】(1)AB=DC(1)AB=DC，A=DA=D，AEB=DECAEB=DEC，ABEABEDCE.DCE.(2)(2)ABEABEDCEDCE，BE=CE.EBC=ECB.BE=CE.EBC=ECB.AEB=50AEB=50，AEB=EBC+ECBAEB=EBC+ECB，EBC=25EBC=25. .【备选例题】【备选例题】(2013

15、(2013大庆中考大庆中考) )如图，如图，把一个直角三角形把一个直角三角形ACB(ACB=90ACB(ACB=90) )绕绕着顶点着顶点B B顺时针旋转顺时针旋转6060，使得点，使得点C C旋旋转到转到ABAB边上的一点边上的一点D D，点，点A A旋转到点旋转到点E E的的位置位置.F.F，G G分别是分别是BDBD，BEBE上的点，上的点，BF=BF=BGBG，延长，延长CFCF与与DGDG交于点交于点H.H.(1)(1)求证：求证：CF=DG.CF=DG.(2)(2)求出求出FHGFHG的度数的度数. .【解析】【解析】（1 1）在在CBFCBF和和DBGDBG中，中，CBFCBFD

16、BGDBG（SASSAS），），CF=DG.CF=DG.（2 2）CBFCBFDBGDBG，BCF=BDGBCF=BDG，又又CFB=DFHCFB=DFH，DHF=CBF=60DHF=CBF=60，FHG=180FHG=180-DHF=180-DHF=180-60-60=120=120BCBDCBFDBGBFBG ，【主题升华】【主题升华】寻找对应元素的方法寻找对应元素的方法1.1.全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边是对应边. .2.2.全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角全等三角形对应边所对的角是对

17、应角，两条对应边所夹的角是对应角是对应角. .3.3.有公共边的，公共边常是对应边有公共边的，公共边常是对应边. .4.4.有公共角的，公共角常是对应角有公共角的，公共角常是对应角. .5.5.有对顶角的，对顶角常是对应角有对顶角的，对顶角常是对应角. .6.6.两个全等的不等边三角形中一对最长边两个全等的不等边三角形中一对最长边( (或最大角或最大角) )是对应边是对应边( (或对应角或对应角) )，一对最短边，一对最短边( (或最小角或最小角) )是对应边是对应边( (或对应角或对应角).).【知识拓展】【知识拓展】应用全等三角形解题思路应用全等三角形解题思路1.1.利用全等三角形证明线段

18、相等时，要找好背景三角形利用全等三角形证明线段相等时，要找好背景三角形. .2.2.求证线段或角相等时考虑转化为证明它们所在的三角形全等求证线段或角相等时考虑转化为证明它们所在的三角形全等. .3.3.当一个图形的某些条件变化后，要能分清变与不变的结果当一个图形的某些条件变化后，要能分清变与不变的结果. .4.4.当遇到多边形问题时一般转化为三角形的问题解决当遇到多边形问题时一般转化为三角形的问题解决. .1.(20131.(2013柳州中考柳州中考) )如图如图ABCABCDEFDEF，请根据图中提供的信，请根据图中提供的信息，写出息，写出x=x=. .【解析】【解析】因为因为ABCABCD

19、EFDEF，所以，所以x=EF=BC=20.x=EF=BC=20.答案：答案：20202.(20132.(2013内江中考内江中考) )已知：如图，已知：如图，ABCABC和和ECDECD都是等腰直角都是等腰直角三角形，三角形，ACB=DCE=90ACB=DCE=90，D D为为ABAB边上一点边上一点. .求证：求证：BD=AE.BD=AE.【证明】【证明】ABCABC和和ECDECD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，CD=CECD=CE，AC=BC,ECD=ACB=90AC=BC,ECD=ACB=90，ECD-ACD=ACB-ACDECD-ACD=ACB-ACD，即，即ECA=DCB

20、ECA=DCB， EC=DCEC=DC，在在ACEACE与与BCDBCD中，中， ACE=BCDACE=BCD， AC=BCAC=BC，ACEACEBCD.BD=AE.BCD.BD=AE.3.(20133.(2013菏泽中考菏泽中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=CBAB=CB，ABC=90ABC=90，D D为为ABAB延长线上一延长线上一点，点点，点E E在在BCBC边上，且边上，且BE=BDBE=BD，连接，连接AEAE，DEDE，DC.DC.(1)(1)求证：求证：ABEABECBD.CBD.(2)(2)若若CAE=30CAE=30，求，求BDCBDC的度数的度数. .

21、【解析】【解析】（1 1）ABCABC9090，DBEDBE180180ABCABC18018090909090，ABEABECBDCBD在在ABEABE和和CBDCBD中，中， ABEABECBDCBD（SASSAS）. .ABCBABECBDEBDB ，（2 2）ABABCBCB，ABCABC9090，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ECAECA4545CAECAE3030，BEABEAECAECAEACEAC，BEABEA454530307575由（由（1 1）知）知ABEABECBDCBD，BDCBDCBEABEA，BDCBDC7575 主题主题3 3 角平分线的性质及

22、其判定角平分线的性质及其判定【主题训练【主题训练3 3】(2012(2012达州中考达州中考) )数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：用直尺和圆规作角平分线，方法如下：小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：方法如下：步骤：步骤：利用三角板上的刻度，利用三角板上的刻度，在在OAOA和和OBOB上分别截取上分别截取OMOM，ONON，使，使OM=ON.OM=ON.分别过分别过M M，N N作作OMOM，ONON的垂线，的垂线，交于点交于点P.

23、P.作射线作射线OP.OP.则则OPOP为为AOBAOB的平分的平分线线. . 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线作角平分线. .根据以上情境，解决下列问题：根据以上情境，解决下列问题：(1)(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是法是. .(2)(2)小聪的作法正确吗小聪的作法正确吗? ?请说明理由请说明理由. .(3)(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法( (要求：作出图要求：作出图形，写出作

24、图步骤，不予证明形，写出作图步骤，不予证明).).【自主解答】【自主解答】(1)(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是全等的判定方法是SSSSSS，故答案为，故答案为SSS.SSS.(2)(2)小聪的作法正确小聪的作法正确. .理由：理由：PMOMPMOM，PNONPNON，OMP=ONP=90OMP=ONP=90. .在在RtRtOMPOMP和和RtRtONPONP中，中，OP=OPOP=OP，OM=ONOM=ON，RtRtOMPRtOMPRtONP(HL)ONP(HL)，MOP=NOPMOP=NOP，OPOP平分平分AOB.AOB

25、.(3)(3)如图所示如图所示步骤：步骤：利用刻度尺在利用刻度尺在OAOA，OBOB上分别上分别截取截取OG=OH.OG=OH.连接连接GHGH，利用刻度尺作出，利用刻度尺作出GHGH的中点的中点Q.Q.作射线作射线OQOQ，则，则OQOQ为为AOBAOB的平分线的平分线. .【主题升华】【主题升华】应用角平分线解题思路应用角平分线解题思路1.1.应用角平分线性质证明线段相等或者利用角平分线的性质探应用角平分线性质证明线段相等或者利用角平分线的性质探究线段的大小关系究线段的大小关系. .2.2.应用角平分线性质证明角相等或者证明两角互补应用角平分线性质证明角相等或者证明两角互补. .3.3.利用角平分线解决与三角形的面积有关的计算问题利用角平分线解决与三角形的面积有关的计算问题. .1.(20131.(2013咸宁中考咸宁中考) )如图，在平面直角坐如图，在平面直角坐标系中，以标系中，以O O为圆心，适当长为半径画弧，为圆心，适当长为半径画弧，交交x x轴于点轴于点M M，交，交y y轴于点轴于点N N，再分别以点，再分别以点M M，N N为圆心，大于为圆心，大于MNMN的长为半径画弧，两弧的长