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文档简介

1、几何不等式中国计量学院 吴跃生几何问题中出现的不等式称为几何不等式证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法记号约定：在中，表示三边长；表示对应角；表示半周长；分别表示边上的高、内角平分线长、中线长；和分别表示的外接圆半径和内接圆半径；表示的面积设是内任意一点，记；点到三边的距离分别记为；记；的内角平分线长分别记为一、距离不等式与化直法仅仅涉及线段长度的几何不等式称为距离不等式1 设是的边长，求证： 已知：在中，是最小边，是内任意一点，求证： （冷岗松） 加强：在中，是最小边，是内任意一点，求证：存在，使得 （鱼儿）3 设是的最大边，是内任意一点，设直线与的

2、三边分别交于点，证明：二、托勒密(Ptolemy)定理及其应用托勒密定理：在凸四边形中，有 ，当且仅当四边形是圆内接四边形时等号成立下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述1(1993年，陈计)对偶式：(1992年，陈计)注：中线长公式 2（1996年，吴跃生）推论 3 （1995年，吴跃生）4 （1995年，吴跃生）三、关于三角形边长、面积的不等式1 魏森伯克不等式：设是三角形的三边长，S是三角形的面积， 则有2 费因斯列尔哈德维格（）不等式： 设是三角形的三边长，S是三角形的面积，则有3 设是的三边长，求证：4（不等式）： 设是三角形的三边长， 则有 (IMO24)推广

3、1 ；当时，不等号反向推广2 设四边形有内切圆，且其边长分别为，则有四、关于费尔马（）点的不等式费尔马问题：给定平面上的三点，在点所在平面上求一点，使得最小取最小值时的点称为的费尔马点结论1 当的各内角都小于时，费尔马点在内部，且有；当的最大内角不小于时，费尔马点与的钝角顶点重合结论2 费尔马极值公式：注 在本节例题和习题中，为证明方便计，仅考虑的各内角都小于的情形，但有许多结论对于的最大内角不小于时仍然成立张角定理 在，设是上任意一点，则有 1 设是的费尔马点，过点的线长分别记为，则有（1），（2）（3）， (1994年，吴跃生)(4) (1994年，吴跃生)(5) (1994年，吴跃生)2设是的费尔马点，则有 (1997年，刘健提出，吴跃生证明)推广：设是内任意一点，则有 (1999年，吴跃生)再推广：设是凸边形内任意一点，记并记点到边的距离分别为，其中，则有 (1999年，吴跃生)五、嵌入不等式三角形嵌入不等式（简称嵌入不等式）在几何不等式的研究中起者极其重要的作用，是产生新的几何不等式的一个源头，因此，人们也把它称为“母不等式”定理（嵌入不等式）对于任意和任意实数，有，等号成立当且仅当简证 左边右边=三角形嵌入不等式的等价形式：1 2 3 （刘健提出，吴跃生证明）加强式： （吴跃生提出并

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