傅立叶变换在图像处理中的应用

1、傅立叶变换在图像处理中的应用摘 要 傅立叶变换研究是应用数学的一个重要方向，一个多世纪以来，傅立叶变换作为数学工具被迅速的应用到图像和语音分析等众多领域。傅立叶变换（FT）作为数字图像处理技术的基础，通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化计算工作量，被誉为描述图像信息的第二种语言。本文首先简述了傅立叶变换的原理及应用领域，分析了其变换的数学原理和方法。接着介绍了几个基本的滤波器的理论基础。然后讨论了傅立叶变换在图像处理中的作用，其中着重介绍了图像增强及其原理和方法，并详细描述了在实验中图像增强的实验步骤和如何运用MATLAB软件对图像进行图像增强的实验方法。关键

2、字： 图象处理 傅立叶变换 低通滤波器 高通滤波器 图像增强 一、引言 傅立叶变换是信号处理中最重要，应用最广泛的变换。从某种意义上来说,傅立叶变换就是函数的第二种描述语言。傅里叶变换理论及其物理解释两者的结合，对图像处理领域诸多问题的解决提供了有利的思路，它让我们从事物的另一侧面来考虑问题，这样在分析某一问题时就会从空域和频域两个角度来考虑问题并来回切换，可以在空域或频域中思考的问题，利用频域中特有的性质，可以使图像处理过程简单，有效，对于迂回解决图像处理中的难题非常有帮助，被广泛应用于数字图像处理中。 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、

3、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。尤其在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。随着傅里叶变换在不同领域不同范围内的延伸以及涉及的范围之广，其发展趋势也愈显“数字化”，更是与计算机技术密不可分。目前，在信号处理与通讯领域里，使用最活跃的当属在数学类科技应用软件中的MATLAB。其在数值计算方面首屈一指，而当前傅里叶变换在通信领域中的应用又是基于这一数学软件，称做快速傅里叶变换。并且除了数字信号处理之外，其出色的图形处理功能使其在数字图像处理技术上解决了傅里叶变换在这些应用领域内的特定类型的问题，使傅里叶变换在通信中得以更好的应用与发展。 二、理论基础2.

4、1傅里叶变换定义：单变量连续函数的傅里叶变换定义为等式其中。相反，给定，通过傅里叶逆变换可以获得，即这两个等式组成了傅里叶变换对。这些等式扩展到两个变量，即类似地，逆变换为：对于离散函数来说：相应的，逆变换为：同样地，将离散傅里叶变换推广到两个变量，即其中。同样，二维离散傅里叶逆变换如下：其中。通常在进行傅里叶变换之前用乘以输入的图像，由于指数的性质，很容易得到：这个等式说明，用乘以可将原点变换到频率坐标下的，二维傅里叶变换设置的区域的中心。如果是实函数，则它的傅里叶变换必然为对称的，即其中“*”表示对复数的标准共轭操作。由此，它遵循其中，傅里叶变换的频率谱为对称的。2.2几个基本的滤波器 我

5、们将考虑三种滤波器：理想滤波器、巴特沃斯滤波器和高斯滤波器。巴特沃斯滤波器有一个参数，成为滤波器的“阶数”。当参数的值比较高时，很接近理想滤波器。因此巴特沃斯滤波器可看成是另外两种滤波器的过渡。在频域里，滤波器分为低通滤波器、高通滤波器等。接下来我们将详细介绍低通滤波器，而由相应的理想低通滤波器、巴特沃斯低通滤波器和高斯低通滤波器很容易就得到相应的高通滤波器，这里不做过多介绍。 边缘和其他剧烈变化的图像在灰度级中主要处于傅里叶变换的高频部分，因此，平滑(模糊)可以通过衰减指定图像傅里叶中高频成分的范围来实现：其中是被平滑的图像傅里叶变换。目标是选择一个滤波器变换函数，以通过衰减的高频成分产生。

6、2.2.1理想低通滤波器 低通滤波是要保留图像中低频分量去除高频分量。高频分量处在距变换远点的距离比指定距离远很多的位置。这种为二维理想低通滤波器(ILPF)，其变换函数为：其中是指定的非负数值，是距离频率矩形中心的距离。如果要研究的图像的尺寸为，则1如上图所示，完整的滤波器可以将此横截面绕原点旋转来实现。其中成为“截止频率”。理想低通滤波器的这种陡峭的截止频率虽然可以在计算机上实现，但是，不能用电子部件来实现，所以理想滤波器是不实用的。2.2.2巴特沃斯低通滤波器 阶巴特沃斯低通滤波器（BLPF）的传递函数（截止频率距原点的距离为 ）定义如下： 其中不同于ILPF,BLPF变换函数在通带与被

7、滤除的频率之间没有明显的截断。对于有平滑传递函数的滤波器，定义一个截止频率的位置并使幅度降到其最大值的一部分。当时，（从最大值降到它的一半）。一阶的巴特沃斯滤波器没有振铃，在二阶中振铃通常很微小，这是因为与理想低通滤波器相比，它的通带与阻带之间没有明显的跳跃，在高低频率间的过渡比较光滑。巴特沃斯低通滤波器的处理结果比理想滤波器的要好，但是,阶数增高时振铃便很明显。综上所述,二阶的BLPF是在有效的低通滤波和可接受的振铃效应之间的折中。2.2.3高斯低通滤波器 二维高斯低通滤波器的形式如下式：其中是距离频率矩形中心的距离。表示高斯曲线的扩展程度，使，可以将滤波器写成以下形式：其中，是截止频率。当

8、时，滤波器下降到它最大值的0.607倍处。 高斯低通滤波器的傅里叶反变换也是高斯的，由于它是没有振铃现象的，所以有高斯低通滤波器经傅里叶反变换得到的空域高斯滤波器也是没有振铃的。三、傅立叶变换在图像处理中的作用1. 图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频噪声；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘。2. 图像分割之边缘检测 提取图像高频分量。3. 图像特征提取 形状特征：傅里叶描述子； 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征； 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性。4. 图像压缩 可以直接通

9、过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换。傅立叶变换在图像处理中的应用很多，在这里我们不再一一做详细介绍，接下来我们将着重讨论一下图像增强。3.1图像增强3.1.1图像增强的原理和方法在实际应用中，由于很多场景条件的影响，图像的视觉效果很差，使图像的信息无法被正常读取和识别。例如，在采集图像过程中由于光照环境或物体表面反光等原因造成图像光照不均，或是图像采集系统在采集过程中由于机械设备的缘故无法避免的加入采集噪声，或是图像显示设备的局限性造成图像显示层次感降低或颜色减少等等。因此研究快速且有效地图像增强算法成为推动图像分析和图像理解领域发展的关键内容之一。图像增强从处理的

10、作用域出发可分为空间域和频域两大类。其中，频域增强是将原空间的图像以某种形式转换到其他空间，然后利用该转换空间的特有性质进行图像处理，最后在转换回到原空间，得到处理后的图像，是一种间接增强的算法。图像增强作为图像处理的重要组成部分，促进了图像增强方法研究的不断深入。目前主要由以下处理方法：传统的图像增强的处理方法可以分为空域和频域图像增强两大类，其中频域图像增强的方法是对图像经傅里叶变换后的频谱成分进行操作，然后进行傅里叶逆变换得到所需结果，如低通滤波器、高通滤波器、带通和带阻滤波，同态滤波等。有时候只采用一种方法往往得不到想要的结果，并且还没有出现一种方法能满足人们的任意需要，比如理想低通和

11、高通滤波器并不是很实用，但是作为滤波概念发展的一部分，用来研究滤波器的特性非常有意义，一阶的巴特沃斯低通滤波器没有振铃现象，二阶的振铃通常微小，但是随着阶数的增高振铃便成为一个主要因素，高斯低通滤波器不会产生振铃现象，但是，在需要严格控制低频和高频之间截止频率的过渡的情况下，巴特沃斯滤波器更为合适，所以有时候就需要使用几种增强技术的组合方法。3.1.2图像增强的实验步骤后期处理输入图像预处理傅里叶变换滤波傅里叶反变换输出图像其中，图像的预处理一般为： 对图像进行中心变换；后期处理是用乘以傅里叶反变换后的结果。3.1.3图像增强的实验方法利用MATLAB提供的低通滤波器函数配合程序语言对图像进行

12、处理，并且针对每种滤波器的处理结果进行分析，针对高斯低通滤波器提出改进方案，并对每种滤波器处理后的结果之间进行比较，由此可以看出每种滤波器的优点及不足，记录和整理实验报告。四、总结数字图像处理技术是近年来蓬勃发展的一门新兴学科，在数字摄影测量，遥感图像处理，地理信息系统中得到应用广泛。傅立叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。傅立叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，广泛应用于图像变换，图像编码与压缩，图像分割，图像重建等。MATLAB语言简洁，可读性强，工具箱涉及的专业领域广泛且功能强大。因此，基于MATLAB的图像傅里叶变换具有很强的实用性。 本文还论述了频域图像增强方法和一些基本原理。分析比较出他们中的优缺点。图像的频域增强是图像增强的基础。而频域图像增强在当代社会各个领域都有着广泛运用：医学上进行拍片分析病症，地理学上空中遥感星球表面分析，海洋遥感，现实犯罪指纹取证都用到图片图像分析。图像的频域增强起着关键作用，但是现实实验和实际应用问题还会有更多困难有待