成都理工大学 高数下 重修 PPT 1阶

1、常微分方程 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或目录 上页 下页 返回 结束 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(n

2、nyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .目录 上页 下页 返回 结束 求所满足的微分方程 .例例1. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 QPQxyOx解解: 如图所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变

3、量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22目录 上页 下页 返回 结束 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样, 当 F (x) = f (x)0 时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设

4、左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数 )或或目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求下述微分方程的通解:)

5、1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分离变量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有uue1积分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (积分目录 上页 下页 返回 结束 齐次方程 第三节一、齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程目录 上页

6、 下页 返回 结束 一、齐次方程一、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解

7、)( C 为任意常数 )0C此处目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 目录 上页 下页 返回 结束 ( h, k 为待 二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111时当bbaa作

8、变换kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齐次方程)定常数), 目录 上页 下页 返回 结束 ,代入将kyYhxX求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211时当bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解64ddyxyxx

9、y52xy解解:04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令06 kh1,5hk 得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量, 得原方程的通解:目录 上页 下页 返回 结束 15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC52xy利用得 C = 1 , 故所求特解为15arctanxy22)5() 1(ln21yx思考思考: 若方程改为 ,64ddyxyxxy如何求解? 提示提示:. yxv令目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 目录 上

10、页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e称为齐次方程齐次方程 ;目录 上页 下页 返回 结束 xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解x

11、xQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(两端积分得目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解.,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(令目录 上页 下页 返回 结束 0d

12、2d3yyxyyxx例例3. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,d2d, 0,xxxyx此时不妨设yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得exyy2de1(yyy2d故方程可变形为yy1y1 lndCy 所求通解为 )0(eCCyyxyCyln这是以x为因变量 y 为自变量的一阶线性方程Cylnd)0(C目录 上页 下页 返回 结束 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)

13、()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 目录 上页 下页 返回 结束 第五节全微分方程目录 上页 下页 返回 结束 判别判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),(为全微分方程 则求解步骤求解步骤:方法1 凑

14、微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxyxO例例. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程. , 0, 000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x

15、法法1目录 上页 下页 返回 结束 0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx求解法法2 此全微分方程的通解为 yu,)(2yy Cyxu),(xu, 则有)(d)35(),(324yxyyxxyxu待定，)()(233225yyyxyxx两边对 y 求导得yu由得与比较得331)(yy 取因此方程的通解为Cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx目录 上页 下页 返回 结束 例例. 求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xy

16、x故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ目录 上页 下页 返回 结束 例：例：解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程 ,12x就化成例9 的方程 .,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程,),(yx则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数 积分因子.目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxfy 可降阶高阶微分方程 第六节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微

17、分方程 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设,

18、)(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxC