高二数学双曲线的定义与标准方程

1、22双曲线双曲线 22.1双曲线的定义与标准方程双曲线的定义与标准方程2.2.1课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标1.了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程过程2掌握双曲线的标准方程掌握双曲线的标准方程3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题际问题课前自主学案课前自主学案31双曲线的定义双曲线的定义平面上到两个定点平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为的距离之差的绝对值为_(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线这的点的轨迹叫作双曲

2、线这两个定点两个定点F1，F2叫作双曲线的叫作双曲线的_，两个焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的之间的距离叫作双曲线的_2双曲线的标准方程双曲线的标准方程固定值固定值焦点焦点焦距焦距(c,0)(0，c)1如何理解双曲线的定义？如何理解双曲线的定义？提示：提示：(1)定义中的前提条件为定义中的前提条件为“平面内平面内”，这，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了空间曲线，不是平面曲线了(2)不可漏掉定义中不可漏掉定义中“常数小于常数小于|F1F2|”(3)双曲线的定义中要注意两点：双曲线的定义中要注意两点：距离之差的绝对值；距

3、离之差的绝对值；2a|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同，若这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|PF2|2a|F1F2|，点，点P的轨迹仅为双曲线焦点的轨迹仅为双曲线焦点F2这一侧的一支，若这一侧的一支，若|PF2|PF1|2a|F1F2|时，动点的轨迹不时，动点的轨迹不存在存在课堂互动讲练课堂互动讲练求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法一样，若由题设条与求椭圆的标准方程的方法一样，若由题设条件易于确定方程的类型，可先设出方程的标准件易于确定方程的类型，可先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数形式，再确定方程中的参数a，b的值，即的值，即“先先定型，再

4、定量定型，再定量”若两种类型都有可能，则应若两种类型都有可能，则应进行分类讨论进行分类讨论【思路点拨】【思路点拨】求双曲线的标准方程时，应先求双曲线的标准方程时，应先“定位定位”，再，再“定型定型”，即先确定其焦点的位，即先确定其焦点的位置，再确定置，再确定a、b的取值；和椭圆一样，在所求的取值；和椭圆一样，在所求曲线的焦点位置不确定的情况下，可借助于双曲线的焦点位置不确定的情况下，可借助于双曲线方程的一般形式求解曲线方程的一般形式求解【名师点评】【名师点评】求双曲线标准方程的方法：求双曲线标准方程的方法：(1)定义法定义法若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可若由题设条件能判断出动点的轨

5、迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样可以减少运根据双曲线的定义确定其方程，这样可以减少运算量算量(2)待定系数法，其步骤为：待定系数法，其步骤为：作判断：根据条件判断双曲线的焦点在作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还轴上还是在是在y轴上，还是两种情况都有可能轴上，还是两种情况都有可能设方程：根据条件，设出标准方程设方程：根据条件，设出标准方程寻关系：根据已知条件列出关于寻关系：根据已知条件列出关于a、b、c的方程的方程组组得方程：解方程组代入所设方程即为所求得方程：解方程组代入所设方程即为所求自我挑战自我挑战1利用定义求方程利用定义求方程利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两

6、个利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点定点(即双曲线的两个焦点即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值或差的绝对值)是是否为常数，这样确定否为常数，这样确定c和和a的值，再由的值，再由c2a2b2求求b2，进而求双曲线的方程，进而求双曲线的方程【名师点评名师点评】如果动点的轨迹可以较容易地如果动点的轨迹可以较容易地判断符合直线、圆、椭圆或者双曲线的定义，判断符合直线、圆、椭圆或者双曲线的定义，通常运用待定系数法求出相关的基本量的值即通常运用待定系数法求出相关的基本量的值即可可利用双曲线的定义解决与焦点有

7、关的问题，一是利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，的变形使用，特别是与特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系；二间的关系；二是要与三角形知识相结合，经常利用余弦定理、是要与三角形知识相结合，经常利用余弦定理、正弦定理等知识，同时要注意整体思想的应用正弦定理等知识，同时要注意整体思想的应用双曲线定义的应用双曲线定义的应用【思路点拨】【思路点拨】在在F1MF2中运用余弦定理及中运用余弦定理及三角形的三角恒等式，再由三角形的面积公式三角形的三角恒等式，再由三角形的面积公式进行计算、证明进行计算、证明F1MF2与

8、椭圆类似，集中了双曲线的定义、与椭圆类似，集中了双曲线的定义、余弦定理、三角恒等变换等知识余弦定理、三角恒等变换等知识1遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解题，点用双曲线定义解题，点P在双曲线上，有在双曲线上，有|PF1|PF2|2a，充分利用这一隐含条件，是解决问，充分利用这一隐含条件，是解决问题的重要技巧题的重要技巧2求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定