《微观经济十八讲》第二章间接效用函数与支出函数

1、第二章第二章 间接效用函数与支出函数间接效用函数与支出函数 一、相对价格变化与收入变化对最优一、相对价格变化与收入变化对最优 消费量的影响消费量的影响1.间接效用函数间接效用函数1x2x2yp1yp12pp12pp1yp1x2yp1yp1yp2x2yp收入变化的影响收入变化的影响1x2x0 x1x2x价格和收入变化对最优消费量的影响价格和收入变化对最优消费量的影响二、间接效用函数二、间接效用函数 间接效用函数的存在对于说明政府政策对消间接效用函数的存在对于说明政府政策对消费者福利的影响有比较便利的条件，如控制价费者福利的影响有比较便利的条件，如控制价格和收入政策。格和收入政策。( , )max

2、 ( )( , )nx Rv p yu xxp y. .st p xy1.基本概念基本概念 间接效用函数表示收入和价格两个变量下间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者的最优消费时的效用，或最大化效用消费者的最优消费时的效用，或最大化效用与价格集和收入集之间的函数关系。与价格集和收入集之间的函数关系。2.2.间接效用函数的性质间接效用函数的性质（1 1）在价格和收入上）在价格和收入上 是连续的。是连续的。()nRR预算集的定义域 当价格和收入有微小变化时，最大化的效用当价格和收入有微小变化时，最大化的效用也会有微小的变化。因为如果也会有微小的变化。因为如果u（x）是连续的，是连续的，则最大化

3、（一阶导数）的值一定也是连续的。则最大化（一阶导数）的值一定也是连续的。 （2 2）它对于价格和收入是零次齐次的，即）它对于价格和收入是零次齐次的，即价格和收入的同比例变化并不影响效用水平。价格和收入的同比例变化并不影响效用水平。( ,)max ( ), . .nx Rv tp tyu xst tp xymax ( ), . .nx Ru xst p xy需要证明，对于所有的需要证明，对于所有的t0，都有：，都有：( , )(,),(,)( , )v p yv tp tyv tp tytv p y即证明：证明：l（3 3）在收入上）在收入上y y是严格递增的，而在价格是严格递增的，而在价格p

4、p上上则是严格递减的。则是严格递减的。( , )max ( ), . .nx Rv p yu xst p xy其中，其中，*( , )xxp y因此，因此，( , )/max ( )/nx Rv p yyu xy ( , )( )()L xu xyp x*(,)()0, (1,2,)iiiL xu xpinxxl将将x*与与*代入代入L()。因此：因此：*( , )(,)v p yL xyy由于，由于，*()0( (),0iiu xupx严格递增*( , )00v p yy因此，因此，（4 4）满足罗尔恒等式。）满足罗尔恒等式。l如果间接效用函数如果间接效用函数 在点上在点上 是可导的，且：是

5、可导的，且：l一定存在一定存在l这个证明要用到包络定理。这个证明要用到包络定理。( , )v p y(,)py(,)0v p yy( , )( , )( , ),1,2,jjv p yv p yxp yjnpy (,)(,)m ax (,) s.t (,)(,)|(,)(,)|xxpyxxpyufpypxyvpyL xyyvpyL xxpp 由得 ， L(x,)=u(x)+ (y-px)两式相除，就可以得到罗尔恒等式。两式相除，就可以得到罗尔恒等式。3.3.间接效用函数的应用间接效用函数的应用: :政府税收对效用的影响政府税收对效用的影响设效用函数为设效用函数为:1212( ,)u x xx

6、x最大化问题为最大化问题为:12maxx x1 122. .stp xp xy121 122()Lx xyp xp x10Lx20Lx0L因此，可得到因此，可得到:*21121*122xppxxpp即x*1212,22yyxxpp若若p1=0.25， p2=1，y=2 。*1212( ,),xxu x x把 和 代入可得到:0.50.51212(, )()()222yyv p pyppl若政府征收若政府征收0.50.5元的所得税，消费者收入降为元的所得税，消费者收入降为1.51.5元，间接效用也从元，间接效用也从2 2降为降为1.51.5。l现考虑政府对现考虑政府对X X1 1征收商品税征收商

7、品税0.250.25元，此时元，此时,p,p1 1会从会从0.250.25涨到涨到0.50.5元。元。问题问题1：商品税使政府能征到：商品税使政府能征到0.50.5元的税收吗元的税收吗? ?问题问题2 2：商品税对消费者的间接效用的影响有：商品税对消费者的间接效用的影响有 多大多大？l（1 1）*11,2(2yxyp收入不变)lp p1 1从从0.250.25涨到涨到0.50.5元后，元后， 。说明政府开征。说明政府开征商品税后，消费者仍会购买商品税后，消费者仍会购买2 2单位的商品单位的商品X1X1，政府的税收也是政府的税收也是0.50.5元。元。*12x 112(2)0.5,(, ),pv

8、 p py代入新的间接效用函数为:120.50.50.5122(2) (, )1.41 1.52()()2(0.5)1yv p pypp 可见，开征商品税对消费者的间接效用的负可见，开征商品税对消费者的间接效用的负面作用大于开征所得税。面作用大于开征所得税。 原因：一是价格提高减少了消费者的实际购原因：一是价格提高减少了消费者的实际购买力；二是改变了商品的相对价格。开征所得买力；二是改变了商品的相对价格。开征所得税只产生第一方面的影响。税只产生第一方面的影响。2.支出函数支出函数一、支出函数的定义一、支出函数的定义 支出函数：这是个支出最小化问题，选择合适支出函数：这是个支出最小化问题，选择合

9、适的的x x使得满足约束条件。使得满足约束条件。 如果在价格为如果在价格为p时为满足特定效用水平时为满足特定效用水平u所必需所必需的最低花费为的最低花费为e(p,u), ,则：则：*1 122( , )( , )( , )hhe p up xp up xp ue(,)m i n ()s . t . ()L =x -() -()0() -0()()nxRiiiiijjepupxuxupuxuLuxpxxLuxupuxxpuxxl求出的最小解称为希克斯需求函数。记为：求出的最小解称为希克斯需求函数。记为：(, ),1,2,.hiixxp uin代入支出代入支出pxpx得最小支出函数。记为：得最小支

10、出函数。记为：*1 122( , )( , )( , )hhe p up xp up xp ue1xx2,()xRu xu2:xRpxpx最小化支出问题最小化支出问题uO2x21ep*1ep11ep2( , )hxp u1( , )hxp u二、希克斯需求函数二、希克斯需求函数l希克斯的需求函一般记为：希克斯的需求函一般记为：l即为达到既定的效用水平即为达到既定的效用水平u，选择的最小支出，选择的最小支出时消费者对时消费者对x的需求。的需求。(,)h p ul希克斯的需求函数又称补偿性需求函数。希克斯的需求函数又称补偿性需求函数。l一是某商品价格下降，效用增加，可假定把一是某商品价格下降，效用

11、增加，可假定把消费者收入减少（负的补偿），使其效用水消费者收入减少（负的补偿），使其效用水平与以前一样。平与以前一样。l二是某商品价格上升，效用减少，此时增加二是某商品价格上升，效用减少，此时增加消费者的收入，使其效用水平也不变。消费者的收入，使其效用水平也不变。l这两种情况下，消费者的选择会发生何种变这两种情况下，消费者的选择会发生何种变化？化？BCA2x1x1x1poo11p01p00212(,)hxppu10212(,)hxppu0112(, )hxpp u00112(, )hxppu10112(, )hxppu1102pp0102ppA价格变动的价格变动的替代效应替代效应希克斯需求曲线

12、希克斯需求曲线l如果如果u()是连续且严格递增的，则当是连续且严格递增的，则当p0时，时，支出函数支出函数 在点在点 对于对于p可微，且可微，且三、谢泼特引理三、谢泼特引理0000(,)(,), (1,2, )hiiie p uxx p uinp( , )e p u00(,)e p u含义：已知支出函数，可通过该函数对价格求含义：已知支出函数，可通过该函数对价格求偏导，推导出希克斯需求函数。偏导，推导出希克斯需求函数。证明：证明：(, )min(),( )nxRe p up xu xu由于L(x,)=x+-( )puu xmin p x在处,有*L(x ,)=x +-()puu x运用包络定理

13、，可得到：运用包络定理，可得到：*( , )( ,)( , )hiiiie p uL xxx p upp例：例：11212(,)() ,01)u x xxx由,求支出函数.121122,1/1212min(). .()0,0 xxp xp xs tuxxxx1121 12212(, )() Lx xp xp xuxx1111121111121222112()0()0()0LpxxxxLpxxxxLuxx11122111112122111111122222, u=(x),:1pxpxpxxxpxuppuxxxpp把 代入得1r令,可得到:1111112212221()hrrrrpxuuxpppp

14、1111121()hrrrrxu ppp 这即是这即是x2和和x1的希克斯需求函数（只取决于的希克斯需求函数（只取决于p和和u）。）。 将将x2和和x1代入支出函数问题的目标函数，可得：代入支出函数问题的目标函数，可得：121112221211111111212122112(, )(, )(, )()()()hhrrrrrrrrrrre pp up xpp up xpp uuppppuppppu pp 求上式对于求上式对于p1的偏导，可直接验证谢泼特引理。的偏导，可直接验证谢泼特引理。l如果收入为如果收入为y y，消费的商品数量和价格分别为：，消费的商品数量和价格分别为：四、预算份额四、预算份额1212( ,)(,)nnx xxp pp和则称：则称：iiip x