方向导数梯度和泰勒公式

1、第六节第六节方向导数、梯度和泰勒公式方向导数、梯度和泰勒公式实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）

2、爬行向（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz 二、方向导数的定义二、方向导数的定义oyxlP xyP引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 （如图）（如图） |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf

3、 , z 考虑考虑是否存在？是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点P沿沿着着x轴轴正正向向0 , 11 e、y轴轴正正向向1 , 02 e的的方方向向导导数数分分别别为为yxff ,；沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为

4、记为定理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那末函数在该点沿任意方向 L L 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 L L 的转角的转角证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求求函函数

5、数yxez2 在在点点)0 , 1(P处处沿沿从从点点 )0 , 1(P到到点点)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向导导数数.解解故故x轴到方向轴到方向l的转角的转角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向导数所求方向导数)4sin(2)4cos( lz.22 这这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,例例 2 2 求函数求函数22),(yxyxyxf 在点在点（1，1）沿与沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数.并并问在怎样的方向上此方向导问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）

6、最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxP沿着方向沿着方向 L的方向导数的方向导数 ，

7、可定义，可定义为为,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（ 其中其中222)()()(zyx ） 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z例例 3 3 设设n是曲面是曲面632222 zyx 在点在点)1 , 1 , 1(P处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yx

8、zu 在此处沿方向在此处沿方向n的方向的方向导数导数.解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点Dy

9、xP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 当当1),(cos( eyxgradf时，时，lf 有有最最大大值值.设设jie sincos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量，由方向导数公式知

10、由方向导数公式知 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论结论当当xf 不不为为零零时时，x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为xfyf tangradfgradf P),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyx

11、fcyxf),(等高线等高线),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P等高线的画法等高线的画法播放播放图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 例如例如,梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),( 三元函数三元函数),(zyxfu

12、 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的

13、方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu

14、 在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）四、小结四、小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题思考题xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0

15、xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则

16、)0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.练练 习习 题题三三、 设设vu,都都是是zyx,的的函函数数, ,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续, ,证证明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数, ,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函数二、求函数)(12222byaxz 在点在点)2,2(ba处沿曲线处沿曲线 12222 byax在这点的内法线方向的方向导数在这点的内