2016年K字型复习

1、“K”字型复习（三等角型相似三角形）引例：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。课前演练：1. 如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60°（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE 2. 如图，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中点，EDF=B，求证：BDEDFE3

2、.（2012朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点（不与B、C重合）连接AE，过点E作EFAE，交DC于点F（1）求证：ABEECF；（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，BAE=EAF，请证明你的结论 精选例题：例1.（2015贺州）如图，在ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），ADE=B=，DE交AB于点E，且tan=，有以下的结论：ADEACD；当CD=9时，ACD与DBE全等；BDE为直角三角形时，BD为12或；0BE，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号） 例2. 如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边

3、上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APM=B；（1）求证：ABPPCM；（2）设BP=x，CM=y求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域（3）当APM为等腰三角形时， 求PB的长当堂巩固：练习1:.（2012秋洛江区期末）如图，在ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm点E是线段BC边上的一动点（不含B、C两端点），连结AE，作AED=B，交线段AB于点D（1）求证：BDECEA；（2）设BE=x，AD=y，请写y与x之间的函数关系式，并求y的最小值（3）E点在运动的过程中，ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由 2.（1）在中，点、分

4、别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图10），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形的边长为（如图12），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.课后巩固练习：ABCDE1. 如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由ABCDEF2. 已知：如图，在ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上又点F在边AC上，且(1) 求证：FCEE

5、BD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由CPEABD3. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。CPEABF4. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，记PE=，PF=（1）分别求、关于x的

6、函数关系式（2）PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。CPEABF5. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，PEF的面积为y。（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）若PEF为等腰三角形，求PC的长。6. 已知在等腰三角形中，是的中点， 是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.（1）求证：；（2）设.用含的代数式表示；求关于的函数解析式，并写出的定义域.CDABP7. 已知在梯形ABCD中，

7、ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC，求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么：当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）8. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AMDC，E、F分别是线段AD、AM上的动点（点E与A、D不重合）且，设，.AEFDBMC（1）求证：；（2）求与的函数关系式并写出定义域；（3）若点E在边AD上移动时， 为等腰三角形，求的

8、值；9. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；当时，求BP的长EDCBA（备用图）EDCBAP（第25题图）10. 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=BC=4，AD=2点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF=B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，

9、连结EF（1）指出图中所有与BEM相似的三角形，并加以证明；（2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；ABCDMEF参考答案：课前演练：1. 解：（1）ABC是等边三角形，EDF=60°B=C=EDF=60°EDC=EDF+FDC=B+BED，BED=FDC，BDECFD（2）BDECFD，。BD=1，FC=3，CD=5，BE=。点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。2. 解：AB=AC，EDF=B，B=C=EDF，EDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDC，BDECFD， 又BD=CD，即EDF=B，BDEDFE。点评：

10、三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D是底边中点则有三对相似三角形，BDE与CFD相似后若得加上BD=CD可证得CFD与DFE相似。3. 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】（1）有正方形的性质和已知条件证明BAE=FEC即可证明：ABEECF；（2）连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，当点E在BC中点位置时，通过证明三角形全等和等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明BAE=EAF【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，B=C=90°，BAE+BEA=90°，EFAE，AEF=90°，BEA+FEC

11、=90°，BAE=FEC，ABEECF；（2）E是中点时，BAE=EAF，理由如下：连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，E为BC中点，BE=CE，ABDH，B=ECH，AEB=CEH，ABEHCE，AE=EH，EFAH，AFH是等腰三角形，EAF=H，ABDH，H=BAE，BAE=EAF，当点E在BC中点位置时，BAE=EAF【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判断和性质以及等腰三角形的判断和性质的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和相似三角形的各种判断方法，此题难度不大精选例题：例1. 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质【专题】压轴题

12、【分析】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；由CD=9，则BD=15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；依据相似三角形对应边成比例即可求得【解答】解：ADE=B，DAE=BAD，ADEABD；故错误；作AGBC于G，ADE=B=，tan=，=，=，cos=，AB=AC=15，BG=12，BC=24，CD=9，BD=15，AC=BDADE+BDE=C+DAC，ADE=C=，EDB=DAC，在ACD与DBE中，ACDBDE（ASA）故正确；当BED=90°时，由可知：ADEABD，ADB=AED，BED=90

13、6;，ADB=90°，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且tan=，AB=15，=，BD=12当BDE=90°时，易证BDECAD，BDE=90°，CAD=90°，C=且cos=，AC=15，cosC=，CD=BC=24，BD=24=，即当DCE为直角三角形时，BD=12或故正确；易证得BDECAD，由可知BC=24，设CD=y，BE=x，=，=，整理得：y224y+144=14415x，即（y12）2=14415x，0x，0BE故错误故正确的结论为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的

14、性质进行分类讨论是解决的关键例2. 【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对APM进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与ABPPCM相关的结论解：（1）AB=AC，APM=BAPM=B=CAPC=APM+MPC=B+BAPABCPMABCPMBAP=MPCABPPCM（2）BP=x，CM=y，CP=8-x，（3）当AP=PM时，PC=AB=5，BP=3；当AP=AM时，APM=B=C，PAM=BAC即点P与点B重合，P不与点B、C重合，舍去；当MP=AM时，MAP=MPA，MAPABC，即，BP=。点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将

15、等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至ABP和PCM中简化运算。当堂巩固：1.【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【分析】（1）根据BDE=CEA，B=C证得结论；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例列出比例式，则把相关线段的长度代入即可列出y与x的关系式注意自变量x的取值范围要注明；（3）根据三角形外角性质和三角形的边角关系知AEAD所以当ADE是等腰三角形时，分两种情况：当AE=DE时，BDECEA；当DA=DE时，BAEBCA所以根据全等三角形和相似三角形的性质来求线段BE的长度【解答】（1）证明：BDE=

16、180°DEBB，CEA=180°DEBAED，又B=AED，BDE=CEA，AB=AC，B=C，BDECEA；（2）解：BDECEA，即，=（0x8），当x=4，y有最小值是；（3）解：ADE是BDE的外角，ADEB，B=AED，ADEAED，AEAD当AE=DE时，得BDECEA，BE=AC=6cm；当DA=DE时，BAE=AED=C，又B=B，BAEBCA，即：，ADE为等腰三角形时，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解2. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶

17、点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。解：（1），.又，. .，.（2）若点在线段上，由（1）知.， ，又， ，即.ABC备用图PQ故所求的函数关系式为，.若点在线段的延长线上，如备用图. ， .又，. . ， ，即 .（2）当点在线段上，或.当点在线段的延长线上，则点在线段的延长线上，.当点在线段的延长线上，则点在线段的延长线上，.点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个

18、三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。课后巩固练习：1. 解：（1）AB=ACB=C，ADC=ADE+CDE=B+BADBAD=CDEABDDCE。（2）ABDDCE。，（3），是的中点ADBCDAE+ADE=90°，ADE是直角三角形。2. 解：（1）AB=ACB=C，BED+DEF=C+EFC=90°又BED=EFC，FCEEBD（2）BD=x，BE=，FCEEBD若，BD不存在。3. 解：（1）AB=ACB=CCPEABDHDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC =BDP AB

19、DDCE（2）DPE=B90°若PDE=90°，在RtABH和RtPDE中，cosABH=cosDPE=，CPEABDHPC=4 若PED=90°在RtABH和RtPDE中cosABH=cosPED=PC=4 （舍去）。CPEABFH综上所述，BD的长为。4. 解：（1）、 （2）FPE=B90°若PFE=90°，在RtABH和RtPFE中CPEABFH cosABH=cosFPE=若PEF=90°，在RtABH和RtPFE中 cosABH=cosFPE=5. 解：（1）PEBEPCCPEABFGHM（2）PC=x， 即（3）当PE=PF时，EPCPEB，PC=BE=x，当PE=EF时，cosEPH=cosB，当FE=PF时， cosFPM=cosB，综上所述，PC的长分别为、。6. 解：（1）,又, （2），是的中点，又 当点在线段的延长线上时， 当点在线段上时，过点作DGAB,交于点 ，当点在线段的延长线上时，。当点在线