初中三角函数--教案

1、28. 1锐角三角函数第1课时正弦函数1#1能根据正弦概念正确进行计算；（重点）2能运用正弦函数解决实际问题.（难点）、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站（点A）与水面（BC）的高度（AB）.斜#探究点一：正弦函数D如图，sinA等于（）#方法总结:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做/ A的正弦，记作sinA.即卩 sinA=#/A的对边a斜边c.探究点二：正弦函数的相关应用【类型一】 在网格中求三角函数值如图，在正方形网格中有ABC，贝U sin/ ABC的值等于（3 帧A. 10 A. B. 10解析：/ AB = .20, BC= 18, AC = 2 ,二 AB

2、2 = BC2+ AC2,：/ ACB = 90°,. sineg D. 10/ABC=老.故选 B.#方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出#三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状.【类型二】已知三角函数值，求直角三角形的边长2在 Rt ABC 中，/ C = 90°, BC = 4, sinA = 3,贝卩 AB 的长为（）3A.8 B. 6 C. 12 D. 8解析：BC42-sinA- AB - AB 3AB - 6.故选 B.方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解， 记住定义是解决问题的关键.【类型三

3、】 三角函数与等腰三角形的综合已知等腰三角形的一条腰长为25cm，底边长为30cm,求底角的正弦值.2#解析：先作底边上的高 AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD = 2bc = 15cm ,再由勾股定理求出 AD，然后根据三角函数的定义求解.B DC解：如图，过点 A作AD丄BC,垂足为 D.t AB = AC= 25cm , BC = 30cm, AD为底边上d A r QQ的高， BD =尹c = 15cm.由勾股定理得 AD =寸AB2 BD2= 20cm , a sin/ABC = AD =45.方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值, 通过作高，构造直角三角形解答.【

4、类型四】 在复杂图形中求三角函数值当图形中没有直角三角形时，要如图，在 ABC中DC = 5, E为AC的中点，求sin / EDC 的值.解析：首先利用勾股定理计算出 AC的长，再根据直角三角形的性质可得DE = EC,根据等腰三角形性质可得/ EDC = / C,进而得到 sin/ EDC = sin/ C= AD.AC解：/ AD 丄 BC, / ADC = 90°,T AD = 9, DC = 5,a AC= , 92+ 52= .106.T E 为1AC 的中点， DE = AE = EC = 2AC,/ EDC = / C,sin/ EDC = sin / C =9106

5、106 .方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行解答.【类型五】在圆中求三角函数值已知BC = 6, AC = 8,求 sin /11如图，ABD的值.解析：首先根据垂径定理得出 / ABD = Z ABC，然后由直径所对的圆周角是直角，得出 / ACB = 90°,根据勾股定理算出斜边AB的长，再根据正弦的定义求出sinZ ABC的值,从而得出sin Z ABD的值.解：由条件可知 AC= Ad ,/ ABD = Z ABC,. sinZ ABD = sinZ ABC.： AB 为直径,=sin Z ABC =ACABZ ACB = 90

6、76; 在 Rt ABC 中，t BC = 6, AC= 8, AB= ；' BC2 + AC2= 10,. si nZ ABD3#方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中.在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形.三、板书设计1. 正弦的定义；2利用正弦解决问题.#在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教 师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用28. 1锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数1.理解余弦、正切的概念；（重点）2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.（

7、重点）#一、情境导入教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义?#学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在RtAABC中，Z C=90。，当锐角Z A确定时，Z A的对边与斜边的比就随之确定了 现在我们要问：其他边4之间的比是否也确定了呢？为什么？二、合作探究探究点一：余弦函数和正切函数的定义【类型一】利用余弦的定义求三角函数值D 在 Rt ABC 中，/ C = 90°, AB = 13, AC = 12,贝U cosA=（）551212A吊B元C応D.y如图,在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则解析：/

8、 Rt ABC 中，/ C = 90°, AB= 13, AC= 12,二 cosA=AC=故选 CAB 13方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值.【类型二】 利用正切的定义求三角函数值5tanA=()#4B. 534C. 4 D.3BC 4解析：在直角 ABC 中，/ ABC = 90°,. tanA= C= 4.故选 D.AB 3方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值.探究点二：三角函数的增减性【类型一】判断三角形函数的增减性EJ随着锐角a的增大，COS a的值（）A .增大C.不变B .减小D .不确定解析：当角度在0

9、°90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.方法总结：当0°< a< 90 °时，cos a的值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.【类型二】比较三角函数的大小sin70 ° , cos70°, tan70 ° 的大小关系是()A. tan70°v cos70 < sin70 °B. cos70°< tan70 < sin70 °C. sin70 °< cos70 < tan70 °D. cos70

10、6;< sin70 < tan70 °解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°< 1, cos70°< 1, tan70°> 1.又t cos70°=sin20 °,正弦值随着角的增大而增大，sin70 > cos70°= sin20 故选D.方法总结：当角度在 0° w/ A< 90° 之间变化时，0< sinAw 1, 0< cosA< 1, tanA0.探究点三：求三角函数值【类型一】三角函数与圆的综合如图所示， ABC内接于O O ,

11、 AB是O O的直径，点 D在O O上，过点 C的切线交AD的延长线于点 E,且AE丄CE，连接CD.求证：DC = BC;若 AB = 5, AC= 4,求 tan/DCE 的值.解析：连接OC,求证DC = BC可以先证明/ CAD = / BAC，进而证明DC = BC; 由AB= 5, AC = 4,可根据勾股定理得到 BC = 3,易证 ACEABC，可以求出 CE、DE 的长，在Rt CDE中根据三角函数的定义就可以求出 tan/DCE的值.(1) 证明：连接 OC.t OA = OC, / OAC = / OCA.TCE 是O O 的切线，/ OCE = 90° . /

12、 AE 丄 CE, /AEC = / OCE= 90°, / OC / AE, a / OCA =/ CAD, a/ CAD = / BAC, DC = BC.a DC = BC;(2) 解：/ AB 是O O 的直径，/ ACB= 90°, BC= ； AB2-AC2= '52-42= 3. v/ CAEEC ACEC 412=/ BAC，/ AEC = / ACB = 90°,.山 ACEABC,a = -，即亠=,EC = vBC AB3 55 ' 9DC = BC= 3,a ED = /DC2- CE2 =32-(乎)2= |,. tan/

13、DCE = |C =寻=4.5方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等.利用圆的有关性质， 寻找或构造直角三角形来求三角函数值， 遇到比较复杂的问题时， 可通过全等或相似将线段进行 转化.【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值3 如图， ABC 中，AD丄 BC,垂足是 D,若 BC = 14, AD = 12, tan/ BAD = 4，求sinC的值.3解析：根据tan/ BAD = 3 求得BD的长.在直角 ACD中由勾股定理可求 AC的长，然后利用正弦的定义求解.解：v在直角 ABD 中，tan/BAD =亚=3,a BD = AD tan/BAD = 12X-= 9

14、,a CD AD 44=BC- BD = 14-9 = 5,a AC = AD2+ CD2122+ 52 = 13,a sinC = AD =12AC 13方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键.三、板书设计1 余弦函数的定义；2正切函数的定义；3.锐角三角函数的增减性.8#在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、 填空题等一些概念性较强的题目.通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识28. 1锐角三角函数

15、第3课时特殊角的三角函数#1. 经历探索30°、45 ° 60。角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义; 点）2. 能够进行30°、45° 60。角的三角函数值的计算；（重点）3. 能够结合30°、45 ° 60。的三角函数值解决简单实际问题.（难点）#一、情境导入问题1: 一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？1,问题2:两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进

16、行计算计算：（1）2cos60° sin30° . 6sin45 ° sin60 ° ;sin30 二 sin45 °（2）cos60 ° cos45 e解析：将特殊角的三角函数值代入求解.解：（1）原式=2x2 x2 6予严=22=1 ；2 2、 2 2 2 2若COS a2=3,则锐角a的大致范围是(A. 0°V aV 30°B. 30°V aV 45°C. 45 °V aV 60°D . 0 °V aV 30°解析： T cos30°= 3

17、, cos45°=亠2, cos60°= 1，且1V 2v 2 ,. cos60°v cos a V 222232COS45°,.锐角 a的范围是45°V aV 60° .故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性.【类型三】根据三角函数值求角度若3tan( a+ 10° )= 1，则锐角a的度数是(9A. 20°B. 30° C. 40° D . 50°解析：T '3tan( a+ 10° ) = 1,. tan(a+ 10°

18、 ) =.t tan30°=，二 a + 10°= 30°3 3 I a = 20° .故选 A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键.探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长E)如图，在 ABC 中，/ ABC = 90°, / A= 30°, D 是边 AB 上一点，/ BDC = 45°, AD = 4，求BC的长.解析：由题意可知 BCD为等腰直角三角形，则 BD = BC,在RtA ABC中，利用锐角 三角函数的定义求出解：V/ B = 90=BC,即-AB BC+

19、43方法总结：在直角三角形中求线段的长,出式子，求出三角函数值，进而求出答案.【类型二】 判断三角形的形状中，tan/ A= tan30°BC的长即可.,/ BDC = 45 °, BCD 为等腰直角三角形，/ BD = BC.在 Rt ABCBC，解得 BC = 2(/3 + 1).如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列#已知 ABC中的/ A与/ B满足(1 tanA)2+ |sinB 石|= 0,试判断 ABC的形状.解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出/ A及/B的度数，进而可得出结论.解：/ (1 tanA)2+ |si

20、nB于|= 0, tanA= 1, sinB =于，/ A = 45°,/ B= 60 ° , / C = 180 ° 45° 60° = 75° ABC 是锐角三角形.方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.【类型三】 构造三角函数模型解决问题Rt ABC，使/ C要求tan30的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算.作90 °,斜边 AB = 2,直角边 AC = 1,那么 BC= , 3, / ABC = 30°, tan 30

21、76;AC=_1_BC= .3在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15° 与 tan75 ° 的值.解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15CD BC，tan 75°BC求出即可.CD解：作/ B的平分线交 AC于点D ,作DE丄AB,垂足为E.v BD平分/ ABC, CD丄BC, DE 丄 AB , CD = DE.设 CD = x,贝 U AD = 1 x, AE= 2-BE = 2- BC= 2 ,3.在 Rt ADE 中，DE2+ AE2= AD2, x2+ (2书尸=(1 - x)2，解得 x= 2护-3,

22、tan15°= - 3 = 2 护,_ o bc V3 21 (3 tan75 = CD=不3=2+ 3.liPC方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75。的三角函数值.三、板书设计1.特殊角的三角函数值:30°45°60°sin a1亜迟222COS a亚近222tan a迟312应用特殊角的三角函数值解决问题.课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好.在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说

23、前面部分的教学很成功，学生理解的很好 28. 1锐角三角函数第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角1.初步掌握用计算器求三角函数值的方法；(重点)2熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题.(难点)11#一、情境导入教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角/A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角/A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值.二、合作探究探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角【类型一】已知角度，用计算器求函数值D 用计算器求下列各式的值 (精确到o.oo

24、ol)：sin47° (2)sin12 ° 30(3) cos25 ° 18(4)sin 18 ° + cos55 ° tan59°解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数.解：根据题意用计算器求出：(1) sin47° 0.7314;(2) sin12 ° 300.2164;cos25 ° 180.9041;sin18° + cos55 °tan59° 0.7817.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键

25、顺序.【类型二】 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角/A，/ B的度数(结果精确到0.1#(1) sinA= 0.7, sinB = 0.01;(2) cosA = 0.15, cosB = 0.8;(3) tanA = 2.4, tanB= 0.5.解析：由三角函数值求角的度数时，用到_sin , _cos , |tan键的第二功能键，要注意按键的顺序.解：(1)sinA= 0.7,得/ A44.4° sinB= 0.01 得/ B 0.6(2)cosA = 0.15，得/ A 81.4° cosB = 0.8，得/ B 36.9&

26、#176;由 tanA= 2.4，得/ A 67.4 °由 tanB = 0.5，得/ B 26.6° .方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序.【类型三】 利用计算器验证结论(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想: sin30° 2sin 15 ° cos15 sin36° 2sin 18 ° cos18 sin45 2sin22.5 ° cos22.5° sin60° 2sin30 ° cos30° sin80

27、6; 2sin40 ° cos40 ° .猜想：已知 0°V aV 45°，贝U sin2 a2sin a cos a .（2）如图，在 ABC中，AB= AC = 1,/ BAC = 2 a,请根据提示，利用面积方法验证结 论.解析：(1)利用计算器分别计算(2)通过计算 ABC13的面积来验证.解：（1）通过计算可知： sin30°= 2sin15 °cos15° sin36°= 2sin18 °cos18° sin45°= 2sin22.5 °os22.5 °

28、 sin60°= 2sin30 °cos30° sin80°= 2sin40 °cos40°sin2 a = 2sin a cos a .1/ Sabc = qAB sin2 a1AC = 2sin2 a ,1SA abc =2ABsin a-ACcosa = sin a-cos#a ,. sin2 a = 2sin a cos a .方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积,来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到.【类型四】用计算器比较三角函数值的大小用计算器比较大小：20sin87° tan87#解析：20sin87 ° 20 x 0.9986 = 19.974 , tan87 ° 19.081 ,/ 19.974>19.081 ,20sin87 ° >tan87方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序.探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题' 如图，从A地到B地的公路需经