数学模型论文

1、课 程 实 验 报 告课程名称 数学模型课程设计 专 业 * 班 级 * 组 员 * * 指导教师 * 20*年 *月 *日 摘要本问题讨论的是典型的追击类问题，建立微分关系模型来解决实际问题。对于一些实际问题，我们可以很快的找到一个微分关系式，以建立一个微分方程模型，若有初值，此模型便是一个微分方程的初值问题。在实际应用中，一般来说，决策因数很多，我们应该找到最主要的因素，同时可以假设一些次要的因数是不存在的，或者是已知的以简化模型。在本问题中，建立平面直角坐标系后， 通过对导弹运动轨迹和敌舰运动轨迹的分析，导弹发射后的任何时刻导弹都对准目标，导弹做曲线运动，敌舰做直线运动，当导弹运动轨迹和

2、敌舰运动轨迹相交时，即导弹击中敌舰。由此，建立导弹的数学模型为：得到模型后，再根据给定的条件，用微分方法对该模型求解。当然我们也可以借助MATLAB软件建模求解。运用MATLAB软件建模如下： 然后根据给定的条件编程运行MATLAB同样可以解决此类问题。此论文的主要特点在于建立了合理、科学的速度可变，角度可变的数学模型,为求各种条件的追击问题准备了条件，选用 MATLAB软件求解，可以很方便的求出导弹与敌舰在任何时刻的位置，实现实时标记，,具有一定的实际价值。一、问题重述 某军一导弹基地发现正北方向120千米处海面上有敌艇一艘以90千米/小时的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇

3、，导弹速率为450千米/小时，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。 1 试问导弹在何时何处击中敌艇？ 2 如果当基地发射导弹的同时，敌艇立即由仪器发觉。假定敌艇为高速快艇，它即刻以135千米/小时的速度与导弹方向垂直的方向逃逸，问导弹何时何地击中敌艇？ 3 敌艇与导弹方向成何夹角逃逸才好？从结论中你能得到些什么看法？二、问题分析 建立平面直角坐标系， 通过对导弹运动轨迹和敌舰运动轨迹的分析， 在导弹发射后的任何时刻导弹都对准目标，导弹做曲线运动，敌舰做直线运动，当导弹运动轨迹和敌舰运动轨迹相交时，即导弹击中敌舰。要求导弹运动轨迹，建立仿真模型，根据给定的条件，对该模型求解。三、模型假设（

4、1）假设导弹基地在坐标原点（2）假设导弹与敌舰的大小远远小于它们的运动范围，因此可以把它们看成质点来对待（3）假设导弹轨迹与敌舰行驶方向在同一平面上（4）假设导弹击中敌舰之前敌舰未发现导弹，即敌舰不改变行驶方向和行驶速度 四、模型建立：如图建立坐标系，取导弹基地为原点O(0,0)，x轴指向正东方，y轴指向正北方。当t=0时，导弹位于点O，敌舰位于点A(0,H)，其中H=120km。设导弹在t时刻位置为P(x(t),y(t)，由题意 （1） 其中v1=450km/h,在t时刻，敌舰位于M(v2t,H)处，其中v2 =90km/h。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌舰，即直线PM的方向就是导弹轨迹上

5、点P的切线方向，故有 或 （2） 方程(1), (2)连同初值条件 x(0)=0,y(0)=0 (3)构成了一个关于时间变量t的一阶常微分方程组的初值问题。为了获得x与y的关系，要设法消去变量t，由(2)式得两边对t求导得：即：将上式与(1)合并，再加上初值条件，则得如下初值问题 ：这就是导弹轨迹的数学模型。五、模型求解（1）模型中的二阶方程可以降阶。令 ， 则方程可降为一阶可分离变量方程 即： 易得：由初值条件，得。从而又上式可改写为：于是有：这样我们又得到一个可分离变量方程 积分得：利用 得：从而导弹轨迹方程为: 设导弹击中敌舰于B(L,H)，以y=H代入上式，得： 击中敌舰的时刻为 :

6、代入具体数据得： 导弹在 0.2778h后在距离为25km处击中敌舰。 (2)运用Matlab软件建模如下： 建立模型： （1） （2） （3） （4） 求解并模拟模型，Matlab程序如下：syms x1 y1 x2 y2 t dy1dt dx1dt dy2dt dx2dt; solve('dy1dt/dx1dt=(y2-y1)/(x2-x1)','dy2dt/dx2dt=(x2-x1)/(y2-y1)','dy1dt2+dx1dt2=4502','dy2dt2+dx2dt2=1352','dy1dt','

7、;dx1dt','dy2dt','dx2dt');x1y1=ans.dx1dt,ans.dy1dt; dx1dt=x1y1(2,1); dy1dt=x1y1(2,2); pretty(dx1dt); pretty(dy1dt);x2y2=ans.dx2dt,ans.dy2dt; dx2dt=x2y2(2,1); dy2dt=x2y2(2,2); pretty(dx2dt); pretty(dy2dt);dx1dt=subs(dx1dt,t,'k*t');dy1dt=subs(dy1dt,t,'k*t');dx2dt=sub

8、s(dx2dt,t,'k*t');dy2dt=subs(dy2dt,t,'k*t');dx1dt=inline(dx1dt);dy1dt=inline(dy1dt);dx2dt=inline(dx2dt);dy2dt=inline(dy2dt);x1=0; y1=0; x2=0; y2=120; t=0.001;axis(0,40,0,140); grid on;set(gca,'nextplot','add'); for k=1:1000 x1=x1+dx1dt(x1,x2,y1,y2)*t; y1=y1+dy1dt(x1,x2

9、,y1,y2)*t; x2=x2+dx2dt(x1,x2,y1,y2)*t; y2=y2-dy2dt(x1,x2,y1,y2)*t; plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'bs'); frame(k)=getframe; if sqrt(x1-x2)2+(y1-y2)2)<=0.3,break;endendT=k*t,x1,y1运行结果：T=0.2660；x1=-32.8916；y1=109.8963 导弹在 0.266h 后在32.8916km 处击中敌舰。（3）因为导弹速度远大于敌舰速度，因此，依靠舰艇自身不能摆脱导弹的追击，只有尽最大可能拖延

10、时间，寻求支援才可能安全逃离。而由前面计算可知，舰艇航向始终和导弹保持水平才能获得最多的时间。六、模拟仿真检验假设导弹与敌舰相距足够近时敌舰即被击中，逃逸方向与导弹速度方向夹角为,如图建立坐标系。考虑到舰艇的体积，我们认为当导弹坐标点与舰艇坐标点距离小于一米时击中舰艇。 导弹的坐标为: , 舰艇的坐标为: 在时, 在时， 导弹的位置为： 其中： 此时敌舰的位置 。导弹沿 飞行。 当 时，导弹位置为 ，敌舰位置为 导弹沿 方向飞行， 的倾角为： 从而 时，导弹位置为 敌舰位置为 。其中： 当 时，仿真停止，取 七、模型思考 对于一些实际问题，我们可以很快的找到一个微分关系式，以建立一个微分方程模

11、型，若有初值，此模型便是一个微分方程的初值问题。在实际应用中，一般来说，决策因数很多，我们应该找到主要的因素，可以假设一些次要的因数是不存在的，或者是已知的以简化模型。用微分方程建立模型是一个很重要，也很实用的思想，虽然建立正确的模型不太容易，但是便于我们理解。只要我们运用正确的数学知识和计算机知识求解也并不是很难的。此模型的优点有: 1,本文在正确,清楚地分析了题意的基础上,建立了合理,科学的可变速度，可变角度的计算模型,为求各种条件的追击问题准备了条件。2，选用 MATLAB软件求解，可以很方便的求出导弹与敌舰在任何时刻的位置，实现实时标记，,具有一定的实际价值.。当然，此模型还有很多不足：1,没有考虑导弹飞行过程中所受的空气阻力，地心引力，以及其他一些可能引起误差的外在因素