弹塑性力学柱体的弹塑性扭转

1、第七章 等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线的方向相重合。扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。

2、在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。7.1 弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为，且柱体的轴线为方向，方向的位移为，即。这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。非圆形截面柱体的情况要复杂得多。

3、由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即。函数称为翘曲函数。下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。 设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩作用，如图7.1所示。1. 边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为 (7.1-1)式中。 图7.1 棱柱体的扭转 在端部边界条件为 (7.1-2)2.柱体扭转时的位移与应变对于柱体扭转问题，圣维南半逆解法假设：(1)认为截面的翘曲变形与轴无关，即各截面们翘曲程度相同。(2)柱体发生扭转变形时，截面仅仅产生绕轴的刚体转动，且间矩为单位长度的两截面的相对扭转角(扭率)为常数。

4、因此，由假设(1)可知，翘曲函数仅为的函数；又由假设(2) 可知，翘曲函数必与祟函数戏正比，即 (7.1-3)再由假设(2)，如果令距坐标原点为处截面相对截面的扭转角为，则该截面上距扭转中心为的任一点扭转后移至(图7.2)，由于处截面没有转动，只有翘曲，因此点在方向的位移分量为 (7.1-4)式中为与轴之间的夹角。由于截面总扭转角 图7.2扭转变形的位移与该截面至坐标原点的距离成正比，故的转角为。将式(7.1-3)和式(7.1-4)代入应变位移关系，可得一点的应变为 (7.1-5)3.广义虎克定律 对于柱体的弹性扭转，根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为 (7.1-6) 由式(7.

5、1-5)和(7.1-6)可见，根据圣维南原理得到：截面上任诃一点都没有正应力，因此各纵向纤维之间和沿各纵向纤维方向均无压了应力；在各截面内(平面)没有应变，即截面在坐标面上的投影形状不变。此外，在截面每一点只有由和所确定的纯剪切。4.平衡方程 当不计体力时，平衡方程可由(2.2-2)式化为 (7.1-7)5.应变协调方程 将式(7.1-6)中的第二式对微分，第三式对微分，然后相减，可得用应力表示的两种不同形式的应变协调方程为 (7.1-8)由上式可知，翘曲函数是调和函数，通常称为圣维南调和函数。于是，任意截面形状的柱体扭转时的应力，归结为根据边界条件求解(7.1-7)，(7.1-8)两式。6.

6、柱体扭转的应力函数法 由于从(7.1-8)式求解翘曲函数通常比较困难，为此，借助应力函数法。当不计体力时，设应力函数与应力分量和之间的关系为 (7.1-9)称为普朗特应力函数。将式(7.1-9)代入平衡方程式(7.1-7)，显然满足。将它代入应变协调方程(7.1-8)第二式后，得 (7.1-10)由此可知，应力函数应满足上述偏微分方程式(7.1-10)。这种类型的方程称为泊松方程。 当柱体侧面无面力作用时，则边界条件式(7.1-1)简化为 (a)注意到在边界上，由图7.1可知，当增加时，增加，而减少。因此，其方向余弦为 (b)将式(7.1- 9)和式(b)代入式(a)后，有 (c)由式(c)可

7、知常数 上式说明，沿柱体任意截面的边界曲线，应力函数为一任意常数。对于实心柱体，也即截面为单连通域，由式(7.1-9)知，因剪应力是应力函数的一阶偏导数，所以将常数取为零并不失一般性，即 (沿柱体周边) (7.1-11)而截面上任一点的合剪应力的为 (7.1-12)式中为沿等值线的法线方向，的方向为沿等值线的切线方向，因此称等值线为剪应力线。由于边界上的剪应力方向必须与边界的切线一致，故周界线本身也是一条剪应力线。 由以上可见，对于给定的值，不难由方程(7.1-10)和(a)唯地确定应力函数，从而由式(7.1-9)求出应力，由(7.1-5)求出应变，以及翘曲函数。但我们注意到，由式(7.1-6

8、)和(7.1-9)有从上式可见，当通过积分求位移函数和翘曲函数，则在所得结果中包含有表示刚体位移的积分常数，因此位移函数和翘曲函数可准确到一个附加常数的范围内。 根据上面所述方法求得的应力分布还应满足柱体端部条伴，即 (d)其中积分限为截面面积。对上式做第二个积分利用分部积分，可得注意到在边界侧面上的点等，因此上式的最终结果为 (e)同理，第一个积分也可写为 (f)将式(e)、(f)代入式(d)，最后得 (7.1-13)上式表示，如在截面上每一点有一个值，则扭矩为曲面下所包体积的二倍。 由以上讨论得出，如能找到一个函数，其在边界上的值为零，在截面内满足方程(7.1-10)，则截面的剪应力分布及

9、扭矩就都可求得。 7.2 常见截面形状柱体的扭转 本节采用应力函数法讨论椭圆形截面和矩形截面两种柱体的扭转。2.1椭圆形截面柱体的扭转1.应力函数与应力分量 截面形状如图7.2所示椭圆柱体，在两端受到扭矩，截面边界方程为 (a)选用应力函数为 图7.2 椭圆截面柱体 (b)显然，它满足边界条件式(7.1-2)和式(7.1-11)。式中为常数。将(b)式代入(7.1-2)式得 (c)于是 (d)为了确定常数，将式(d)代入式(7.1-13)，得 (e)由于所以，由(e)式有故可得 (f)将式(f)代入式(d)，应力函数为 (7.2-1) 将式(7.2-1)代入式(7.1-9)，得剪应力分量 (7

10、.2-2)由(7.1-12)得合剪应力为 (7.2-3)由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知，剪应力分布有如下特点：(1)在每一点，应力比值，即沿任意半径方向各点具有相同的比值。这意味着沿同一半径方向各点剪应力相互平行，如图7.2所示。(2)在边界上，两剪应力分量的上述比值正好等于椭圆切线的斜率，可见边界上的剪应力(合力)沿边界面切向，而法向剪应力为零。且在长半轴边缘()，；在短半轴边缘()，则。(3)由式(7.2-2)知，剪应力分量均在边界上最大，且正比于或坐标。整个截面上的最大剪应力在()处，即短半轴边缘，其值为 (7.2-4)当时，由以上各式可得圆形截面的剪应力公式。2.2扭率、扭转

11、刚度和位移 将式(7.2-1)代入应变协调方程第二式，可得扭率为 (7.2-5)称为扭转刚度。扭转刚度是一个有用的概念，其单位与扭矩的单位相同。 由于椭圆截面的面积和形心极惯性矩分别为因此，由(7.2-5)式，并注意到上式，则可将扭转刚度可写为 (7.2-6) 将式(7.2-5)代入式(7.1-4)可得位移分量为 (7.2-7) 为了求得位移，由式(7.1-6)和式(7.1-9)可得 (g)将式(7.2-1)代入上式，并积分后，得 (h)由上式可知，它代表刚体位移，并不影响应力，故可略去，于是得翘曲位移为 (7.2-8) 式(7.2-8)表明，截面翘曲后的形状为双曲抛物面，如图7.3所示。它的

12、等高线在平面上的投影为双曲线，其渐近线为椭圆长短轴，在长短轴上各点无翘曲。若第一、第三象限向下翘，则第二、第四象限向上翘。翘曲面与平面间形成耐体积的代数和为零。即图7.3 椭圆截面柱体扭转翘曲形状此式对任何受扭转柱体的翘曲截面都适用。2.2矩形截面柱体的扭转 由7.1节讨论知，应力函数在图7.4所示矩形截面区域ABCD内满足泊松方程 在边界上，即当时，有 图7.4 矩形截面柱体 (a) 由数学物理方程知，上述问题为求解泊松方程的第一边值问题，或狄里希菜(Dirichelet)问题。在单连通域的情况下，这类问题的解可假定为下列形式： (b)其个为泊松方程的特解，是相应齐次方程的解。即 (c)如果

13、求得了，则由式(a)、(b)可知，下列狄里希莱问题 (7.2-9)的解则可求得。 对于本问题，取为 (f)由式(e)知，为调和函数，再根据式(e)和(f)，应满足如下条件： (g)令取为再由有， 或 由于上式可知，等号左边仅为的函数，右边仅为的函数，因此只能等于同一常数，令常数为，则有于是根据一般齐次常系数二阶方程可得通解为 (h)式中常数由边界条件(7.2-9)式确定。由边界条件(7.2-1)式，在上有 (i)从上式可以看出，为的奇函数，所以。又由(7.2-1)式可以看出，在时，有 (j)由该式可见，是关于轴的对称函数，所以。于是有因当时，所以有 (k) 于是由式(f)和式(j)，并注意式(

14、k)，得应力函数为 (7.2-10a)将上式的第一项按级数展开为将上式代入(7.2-10a)，得 (7.2-10b)由式(a)知，当时，代入式(7.2-10b)后，得 (7.2-11)将式(7.2-11)代入式(7.2-10a)，得 (7.2-12)由式(7.1-13)可得扭矩为 (7.2-13)令 (7.2-14)由(7.2-13)式和(7.2-14)式，得扭转刚度和扭率分别为 (7.2-15) 将式(7.2-15)第二式代入(7.2-12)得 (7.2-16) 由式(7.2-16)可求得剪应力分量为 (7.2-16)根据式(7.2-16)算得的矩形截面周界各顶点的剪应力为零。截面上剪应力分

15、布如图7.5。图7.5 应力分布图 图7.6 翘曲等高线分析式(7.2-16)和由图7.5可知，在处，剪应力取得最大值，即 (7.2-17)式中 (7.2-18)在处，剪应力取得最大值，即 (7.2-19)其中 (7.2-20) 由式(7.2-14)、(7.2-18)和(7.2-20)可知，均随而变化。系数的取值列于表7.1。表7.1 与的关系1.01.51.752.02.53.04.06.08.010.00.1410.2080.2080.1960.2310.2700.2140.2390.2910.2290.2460.3090.2490.2580.3370.2630.2670.3540.281

16、0.2820.3790.2990.2990.4020.3070.3070.4140.3130.3130.4220.3330.3330.448 由表7.1可以看出，当很大时，即为狭长矩形截面，的值趋于，此时公式(7.2-15)第二式和(7.2-17)可简化为 (7.2-21)其中和分别为狭长矩形截面的长和宽。 截面的翘曲可由(7.2-12)式反映出来，令为常数，可得截面翘曲后的等高线方程。当时，诸等高线在平面的投影如图7.6所示，其中实线表示上翘，虚线为下凹。7.3 薄膜比拟法 当受到扭矩作用的柱体的横截面形状较复杂时，求解往往十分困难。为了解决扭转问题，普朗特于1903年提出了一种用薄膜来模拟

17、挠度的薄膜比拟法，从而避开了数学上的困难，通过这种薄膜模拟的实验方法求扭转问题的解，比拟的条件是微分方程和边界条件应各自相同。 设有均匀的薄膜，粘贴或装在一个和扭转柱体截面形状相同或成比例的孔上，薄膜在微小的均匀压力作用下，将产生挠度，它是的函数。因为膜很薄，可以认为它不能承受弯矩、扭矩、剪力和面内压力，在不计薄膜重量时，薄膜内部只能承受均匀的张力，而且处处相等；在薄膜的一侧受到均布的横向压力(图7.7)。图7.7 薄膜比拟示意图从膜中取出一个微小单元体(参见图7.7)，它在平面的投影是一个矩形，边长为和，其上作用有压力和张力。由于挠度很小，可近似认为在平行于平面的薄膜各处，边切线的斜率；同理

18、，在平行于的平面内，薄膜上边各点切线的斜率。 因各点挠度不同，所以张力在边的斜率为同理可得边的斜率为。这样，薄膜的垂向平衡方程为将上式整理后得 (7.3-1)上式即为泊松方程，与方程(7.1-10)比较，可知薄膜问题与扭转问题相似，其各量之间的关系列于表7.2。 表7.2 薄膜比拟相关参数对照表薄膜问题扭转问题 表7.2中为薄膜下的体积。这就是说，膜的平衡位置与曲面相似，膜的等挠度线与剪应力线相似，膜在任一点的坡度与相应的合剪应力成比例。由此可得到结论：(1)柱体上任一点的最大剪应力的方向，就是薄膜上相应点处等挠度线在该点的切线方向，其大小与过该点的切面沿法线方向的斜率成正比。(2)薄膜的等挠

19、度线与截面的剪力线一致。(3)薄膜挠曲面下的体积与扭矩成正比。7.4 薄壁杆件的扭转 利用薄膜比拟法可以十分方便地讨论薄壁杆件的自由扭转问题。4.1 开口薄壁杆件的扭转 工程上开口薄壁杆件诸如角钢、槽钢、工字钢、T型钢等应用颇多。几何上其壁厚较薄，可节省材料，这些优点在材料力学中已经提及。对于这类薄壁杆件，因为壁厚很小，利用薄膜比拟法，其截面可以近似看成由若干个等宽度的狭长矩形组成，这些狭长矩形可能是直的或是曲的。由薄膜比拟可以想象：如果一个直的狭长短形和另一个曲的狭长短形具有相同的长度和宽度，则当张在这两个狭长矩形上的薄膜受有相同的压力和张力时，两个薄膜同各自边界平面间所占的体积以及它们的斜

20、率大体上是相同的。由此可以推断，如果两个杆件的材料相同，所受的扭矩也相同，则两个杆件的最大剪应力和单位扭转角也就没有多大差别。因此，一个曲的狭长矩形截面就可以用一个同长同宽的直的狭长矩形截面来代替，而不致引起多大的误差。1.狭长矩形截面杆的扭转对于图7.8所示狭长矩形截面杆，略去矩形短边的影响，假设微弯的薄膜面是一个筒形曲面，即沿截面的方向不变，因此挠度仅为坐标的函数，由式(7.3-1)可知，薄膜的挠度方程可简写为 (7.4-1)图7.8 狭长矩形杆的扭转将(7.4-1)式积分两次，并考虑到边界条件：当时，；当时，得 (7.4-2)即薄膜挠度在宽度方向为一抛物线(图7.8)。于是，薄膜最大挠度

21、及薄膜曲面与平面之间的体积分别为 (7.4-3)根据薄膜比拟关系表7.2和式(7.1-10)可知 (7.4-4)将换为，换成G，得扭矩计算表达式 (7.4-5)式中为狭长矩形截面的极惯性矩。由上式可得单位长度的扭率和抗扭刚度为 (7.4-6)由式(7.4-4)和(7.4-5)可知，最大剪应力发生在长边中点处，即发生在靠近形心轴的点上，其值为 (7.4-7)现在考虑剪应力沿薄壁矩形周边的性质。由于狭长矩形的表面为自由表面，所以剪应力线总是与边界线平行。在四个角点处，由于薄膜在此点和z0平面相切，故该点之合剪应力等于零。这一结果对开口薄壁杆的弹性扭转近似计算很有意义。2. 多肢薄壁组合杆的扭转根据

22、狭长矩形截面杆扭转剪应力的性质，对于截面为多个窄条组成的杆的自由扭转，就可以看成是若干窄条截面杆扭转问题的解的组合。从薄膜比拟观点，可认为薄膜张在各分肢断面上，只是各分肢连接处情况比较复杂。但是由于不同分肢衔接处所占部位不大，因而可以忽略。如记和分别为不同分枝的长度和壁厚，为不同分肢上的剪应力，剪应力沿边缘的切向，于是按式(74-7)，(74-6)第一式，其各分肢的剪应力和扭转刚度有 (7.4-8)总扭矩等于各组成部分的扭矩之和，故有 (7.4-9)利用(7.4-8)的第二式，得到整个截面的扭转刚度为 (7.4-10)最大剪应力发生在壁厚最大的分肢的边缘上，即 (7.4-11)最后须指出，工程

23、实际应用的薄壁构件，在各组成部分接头处为圆角过度，其圆角处将发生相当大的应力集中，其数值决定于该处的圆角半径。对于较小的圆角半径 ，例如，圆角处的最大剪应力可按下式计算 (7.4-12)其中是圆角半径，按(7.4-8)的第一式计算。对于不同壁厚则应取大的厚度进行计算。4.2 闭口薄壁杆件的扭转闭口薄壁杆件的特点是截面多为连通域。同开口薄壁杆件一样，采用薄膜比拟法求解较为方便。 1.空心薄壁管的扭转图7.9 空心管壁管的扭转 设有一空心薄壁管截面，其厚度为，如图7.9所示。任意空心薄壁管的内外边界上，应力函数有不同的边界值。设外圈的应力函数为零，内圈的为。由于薄壁管的壁厚很薄，因此可认为薄膜的挠

24、曲面沿管厚度的斜率不变，这就相当于假设剪力沿壁厚均布。所以，根据式(7.1-12)有 现设想在截面上粘贴一薄膜，使薄膜在外周界的挠度为零，在内周界的挠度为，实即设想在内周界为一刚性平板，只作垂直向下移动。在薄膜上加以垂直的均匀载荷，于是在壁厚为的地方，剪应力大小是常量，且等于 (a) 扭矩应等于薄膜下面体积的二倍，考虑到薄膜斜率沿壁厚不变，并注意式(a)，所以有 (b)式中是壁厚中心线所围成的面积。由上式可得计算平均剪应力的简单表达式为 (7.4-13)由上式可见，最大虏应力发生在壁厚最小的地方，这与开口薄壁的情况正好相反。 现在计算扭率。为此，研究内周界作为一刚性平板的平衡。在薄壁管中线所围

25、成的中线上，每单元长度内薄膜对平板的拉力为，拉力在轴上的投影是，此处是薄膜的斜度，即薄膜斜边与轴之间的夹角。将这个投影沿中心周线积分，得张力的垂直总分力，它应等于内所受到的全部向下的载荷，即 (c)考虑到都是常量，且由表7.2知，根据式(b)有，以及，得 (d)对于均匀厚度空心薄壁管，厚度为常数，故有 (e)此处是空心薄壁管中心线的周长。2. 多连通薄壁截面的扭转假设受到扭矩作用的柱体为如图7.10所示功多连通薄壁截面。令各边界为，并在各边界上的应力函数的值分别为零和。薄壁的厚度分别为，相应的剪应力记为。因为 图7.10 多连通薄壁截面杆 (f)则有 (7.4-14)其中和是内边界和的高度。

26、由体积求得扭矩的大小为 (g)式中和是图7.10中各连通区域厚度中心线(虚线)所围成的面积。 由式(7.1-10)和(7.3-1)可得 (h)对于单连通域，薄膜所围面积的静力平衡为 (i)并注意到式(f)，则将式(h)代入上式，得 (j)那么，对于多连通薄壁杆，将式(j)用于图7.10虚线所围闭合曲线，并用表示各部分虚线的长度，则得 (k)那么对(7.4-14)第三式和式(g)、(k)联立求解，得 (7.4-15)在对称截面的情况下，则，略去与薄膜斜率沿腹壁厚度的变化相对应的微小应力，则扭矩由管的外壁承受，而腹壁不受力。7.5 塑性扭转与沙堆比拟法 对于弹性棱柱体的自由扭转，应用应力函数求解，

27、其合剪应力为式(7.1-12)。即上式表示，合剪应力等于应力函数的梯度的模。 当合剪应力在果一点达到屈服应力值时，柱体开始屈服。此时，在该点达到最大值，根据薄膜比拟法，相对应的薄膜在该点的坡度也达到最大值。由于边界上的剪应力首先达到最大值，所以最先出现屈服的点一定在截面的边界上。当扭矩继续增加，塑性区的范围将逐渐扩大，而达最大坡度的区域也逐渐由截面边界向棱柱体内部延伸。对于塑性区，仍采用以前的假设，则由米塞斯屈服条件给出 (7.5-1)式中为纯剪切屈服应力。 当棱柱体处于弹塑性状态，当不计体力时，剪应力分量满足平衡方程 (7.5-2)和满足式(7.1-8)第二式所导出的应变协调方程 (7.5-

28、3) 引入塑性扭转应力函数，即 (7.5-4)将上式代入屈服函数表达式(7.5-1)，得 (7.5-5)与棱柱体弹性扭转类似，式(7.5-5)还可写为 (7.5-6)由于上式是由衡方程及屈服条件得到的，它表示柱体全部进入屈服(即全塑性)时所满足的方程式。由上式可知，对于理想弹塑性构料，当的梯度的数值达到时，柱体全部进入塑性。而且，塑性应力函数曲面为等倾面。由于边界条件不涉及物理关系，所以在进入塑性后仍然适用，即有0 (7.5-7)根据以上求解全塑性问题的基本方程及边界条件，纳达依(Nadai)提出了沙堆比拟求解全塑性扭转问题。沙堆比拟方法是；在与柱体截面相同形状的平面上堆起个沙堆，并使沙堆表面

29、也形成一个等倾曲面(如图7.11)。沙堆的高度的方程可写为 (7.5-8) 式中为沙子的内摩擦系数。 (a) (b) 图7.11 沙堆比拟 (a)圆柱形柱体；(b)矩形截面柱体 在塑性区，剪应力矢量的大小为一常数，且其方向垂直于区域周界的法线(如图8.12a)，即剪应力线平行于区域的周界。如果区域周边存凹角时，如图8.12(b)，则剪应力以图孤线绕过尖角。沙堆顶盖的“脊”是剪应力的间断线，过该线不连续，即剪应力发生跳跃变化，如图7.12(c)中的脊线便是这种间断线。由该图可以看出，在应力间断线两侧，剪应力的方向发生了跳跃式变化。实际上，在间断线两侧的应力函数曲面的坡度也发生了间断，且是跳跃式的

30、变化。 (a) (b) (c) 图7.12 剪应力特征以上是整个截面处于塑性状态时的情况，材料进入这种完全塑性状态以后，无限制的塑性流动成为可能。完全塑性状态称为极限状态。与此状态对应的扭矩称为塑性极限扭矩，记为。由沙堆拟可知，塑性极限扭矩显然为 (7.5-9)即塑性极限扭矩为给定周边基础上建造起来的等坡度顶盖下体积的2倍。 这样，塑性极限扭矩的计算变得很容易了。例1 对于半径为的圆截面杆，坡度高，体积，于是塑性极限扭矩为 (7.5-10)而刚开始产生塑性变形的扭矩，可由(7.2-3)式令和得到 (7.5-11)例2 对于矩形截面()杆，坡度，体积(参见图7.11b)为+2()，所以塑性极限扭

31、矩为 (7.5-12)刚开始产生塑性变形的扭矩，可由(7.2-17)，并必须注意相关符号的对应后，得 (7.5-13) 当在以上两式中，令，则可得过长为的正方形截面杆的塑性极限扭矩和刚开始产生塑性变形的扭矩为 (7.5-14)以上几个例子，是易于求得塑性应力曲曲所包围体积的情况。当杆截面的形状比较复杂时，由于塑性应力曲面不易确定，运用上述方法求极限扭矩则比较困难。为此，可以用实验方法确定塑性极限情形的应力曲面，即将沙子等颗粒材料堆在和杆截面具有相同形状的水平放置的平板上，此时的沙堆为一个等倾面。如果测量沙堆的体积比较困难，也可用测量沙准重量来代替。例如，在所要考虑的截面上堆好沙，称出这堆沙的重

32、量为，然后在半径为的圆截面上堆上同样的沙，称出它的重量为，由于圆截面和给定的截面都发生塑性屈服时所需的极限扭矩之比，等于与之比，则得 (7.5-15)7.6 弹塑性扭转与薄膜屋顶比拟法当杆件两端施加的扭矩小于塑性极限扭矩但大于弹性极限扭矩时，杆件的截面上将同时存在弹性区域和塑性区域。本节研究这种情况下截面上的应力分布规律。1.圆形截面杆件弹塑性扭转的解折解如果杆件的横截面为圆形或者环形，根据问题的对称性，可以预先判定横截面上弹性区和塑性区的分界线为一圆，因此，这种圆形截面杆件弹塑性扭转的解析解可以直接求得。 设杆件截面的半径为，以截面的圆心为原点取极坐标，并没弹、塑性区交界线的半径为，如图810所示。由于该问题为轴对称问题，应力和应力函数仅只是坐标的函数，与极角无关。这样，弹性扭转方程式(7.1-10)和塑性扭转方程式(7.5-8)可分别写成如下形式： 图7.13 圆形截面上的弹性区和塑性区 (7.6-1)其中和分别为弹性区和塑性区的应力函数。而弹塑性交界面的连续条件则为 (7.6-2) 在弹性区()内，将方程式(7.6-1)第一式积分，并考虑到圆心处的对称条件，则有 (7.6-3)式中为积分常数。 在塑性区()内，将方程式(7.6-1)中的第二式积分，并考虑到边界条件，得 (