微积分下册知识点

1、微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数(一) 向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、 共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标 分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a = (ax,ay,az),贝 qa±b=(ax±bx,ay±by,az±bz) ,Au.4v乙 5、向量的模、方向角、投影：1)向量的模：7 二 jF + F + z?:2) 两 点 间 的 距 离 公 式AB = J（%2 一 ） + （）2 一 y + （?2 一 ）23）方向角：非零向量与三个坐标轴的

2、正向的夹角4队丫X yz4）方向余弦：cos同，COS0 =同，cos厂同C°0cosa + cos 0 + cos y-5）投影：Prj/=cos0,其中卩为向量万与的夹角。(二) 数量积，向量积仁数量积：刁方=0|可cosF一 一 一 2) ci a = ci2) cl _Lb O a -b = 0a-b= axbx + ayby + azbz2、向量积：c =axb大小：ab sin&,方向：ab.c符合右手规则1) axa = 0 2) allb O axb =0一 axb j kay运算律：反交换律bxd =-ax b（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:/（x

3、,y,z） = O2、旋转曲面：yoz 面上曲线C ：/（y，z） = O,绕y轴旋转一周：/（”土厶+才）=。绕z 轴旋转一周：/（土+ y2,z） = O3. 柱面:Fg y） = 0表示母线平行于z轴，准线为匕=04、二次曲面（不考）2 21）椭圆锥面：q2十彷2 x2 , y2 , z2 _2）椭球面：产+戸十7 =%2 , z2旋转椭球面：产+厂+产二2 2 2二二.3）单叶双曲面：°2十b2c24）双叶双曲面：a2 yi c25)2 2椭圆抛物面：= Z6)双曲抛物面x2 y2 =（马轶面）：7亏F7)椭圆柱面:2 2i-2/2a b=18)双曲柱面:2 2匚_z_2i

4、2a b=19)抛物柱面:a:2 = ay（四）空间曲线及其方程(F(%,y,z) = O1、一般方程：lG(x,y,z) = Ox = a cos t2、参数方程：如螺旋线:< y = ci sin tZ = bt3. 空间曲线在坐标面上的投影fF(x,y,z) = 0 、门，消去z ,得到曲线在面xoy上的投彩lG(x,y,z) = 0H(x,y) = 02 = 0(五)平面及其方程仁点法式方程A(x-%0) + B(y- y0) + C(z-z0) = 0法向量：n = (A,B,C),过点(兀0，九，)2、一般式方程：Ax +By+ Cz + D = G截距式方程:送+上+三=1

5、a b c3、两平面的夹角：q =（企,B29C2）, e 二Nd + 恥2 + cg|jAj + Bj+Cj Ja； + B；+C；口丄口2 <> 力/。+ BB。+CC0 n/n。也色12 A B2 C2人（兀00，勺）Ax + By + Cz + D = O 的距离:4勺 + By。+ Cz0 + D加 +B? +C2（六）空间直线及其方程AjX + By + CjZ + £>! = 0一般式方程：1A.x + y + C=z, += 0无一勺 y-儿 z zo2、对称式(点向式)方程：- = = 方向向量：s=(m,n,p)t 过点(x0,y0,z0)x =

6、 x0 + mt3、参数式方程：no + 加Z = Zo + pt加严2 +耳2 + PP14、两直线的夹角:£P), §2=(叫叫卩2),COS (D =,r/9?9/9?9寸z?7f +叭+ pf 寸+斤丁 + p；厶丄厶 O mIm2 + nn2 + pp2 =0厶厶o加_ Hm9 n°Pl"25. 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,sin cp =|Am +B/i + Q?!(A? +少 +C? "J肿 +/ +#2厶/口 O Am+ Bn + Cp = 0A厶丄n<=> =m第二章 多元函数微分法及其应用（一

7、）基本概念1距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集,连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：z = f（x,y）,图形:3、极限：（Jim f（x,y） = A（儿 y）T（xo，yo）4、连续： Hm /U,y） = /UoO?o）（cy）T（xo，yo）5、偏导数：A（Xo，yo）=Um/（曲+心，'（） /（兀0,儿）/“小）巳吧/（勺，儿 + Ay）-/（勺，北）6、方向导数:/a /pW = W：cosa +乔COS0其中Q,0为/的方向角。7、梯z = /（x,y）,gradf（xQ,儿）=fx （勺,旳）亍 + /；（勺，X）7。*8.全微分：设z

8、= /O,y）,则山=无血+ &：®（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：函数连续2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定2)复合函数求导：链式法则若Z = /(w, v), u = u(x9 y), V = v(x, y)(勺,北),令A = fxx (xo，)b), B =垢(x0, y0), C = fyy (x0, y(),若AC B? >0, A>0,函数有极小值，-B2>0, A<0,函数有极大值;若AC 2<o,函数没有极值; ACB2 = 0,不定。2）条件

9、极值:求函数Z = /（x, y）在条件0（x, y） = 0下的极值令：L（x, y） = f（x, y） + 2（%, y）函数Lx = 0解方程组 Ly=o0（圮刃=0、2、几何应用1）曲线的切线与法平面Lagrange8z 8z du dz 3v5z du 8z 8v + - dx du dx 8v 8x 9 dy 5u 內3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用仁极值1）无条件极值：求函数Z = f（x,y）的极值X = °解方程组=0 求出所有驻点，对于每一个驻点/、耳（兀0，儿，勺）代（兀0，儿，） 巴（兀0，儿，）曲线厂” =（，），则上一点M（xo，y

10、o，zo）（对应参数为Z = z（t）第三章重积分r0）处的（一）二重积分（一般换元法不考）切线方程为:兀7。二 y_y。二 z_z° 兀仇）So） z$o）定义：JJ7（x，y）仏巳/曲,久）人6 D"T k=i丄（0）（兀%0）+y（o）（y%）+za°）（zz°）=o2、性质：（6条）几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算:2）曲面的切平面与法线直角坐标1）(px(x) < y < cpx)a<x<b曲面工：F（%,y,z） = 0，则上一点）处的切平面方程为：D = < (x,y)巴(兀o，yo，Zo)(x-Xo)+ F

11、y(Xoo，Zo)(y-y°) +巧(Xo，)dZo)(Z-Zo)= OJJ/(x，y)dxdy = ckj：(；/g)dy D'D = (x, y)(y)<x<2(y)l c <y <d JA"曲w：吋囂D/(x,y)dx2）极坐标D = (p, 0)pe)<p<p2(o)a<0< pJ“g)dxdy = W&J：；Df Ip cos O.p sin 0) p(p（二）三重积分仁定义：口£/（兀，恥）"=啓工吸k=i2、性质：3、计算：1）直角坐标m(x,y,z)“=“先一后二”KL /(

12、，z) d T d zJL f(x9 y9 Z) dxdy“先二后一”2)柱面坐标X QCOS&v y x?sin 3z = zJJJJc 于(兀 y,z)dv = JJJq /Xqcos 0,psin &, z)pdpd0dz.3) 球面坐标x = r sin(pcos0< y =厂sin 0sin 0 z = rcos(p/(rsin 0cos 0, r sin 0sin 0, r cossin(三)应用曲面 S : Z 二 /(x, y),(X, y) w £> 的面积:1 + (J)2+(J)2 dxdyox oy第五章曲线积分与曲面积分(一)对弧

13、长的曲线积分仁定义：£/(x,.y)d5 二 lim, 口) 3/=!2、性质：13 )在厶上，若 f(x,)<g(x,y),则£ /(兀刃山 < £g(x, y)ds.4) £ diy = / ( /为曲线弧厶的长度)3、计算：设f(y)在曲线弧厶上有定义且连续，厶的参数方程为X =(p(f),<(a“'0)其中0(f),p(f)在阪0上具有一、阶连续导数，且02(/) + 0门(。鼻0,则/(兀，y)" = f /0(0,与口旷+沪出,(a V 0)af(x.y) + 0(x, y)ds = a/(x，)Jds +

14、 /?£ g(x, y)ds.(二)对坐标的曲线积分1、定义：设L为叙巧面内从A到0的一条有向光滑弧,2 )函数, QO,y)在厶上有界，定义 £/(刃比二(f(x,y)ds + £ /(%,y)ds.(厶二厶 + 厶).J P(x, y)dx = lim 工 P© , 忑，k=l£ Q(x，)dy = iim £ Q(生,久)人必.u k=l向量形式：尸d/” = JPO，y)cU + Q(x,y)dy2、性质:用 ZT 表示厶的反向弧 ，则fL_ F(x,y)-dr = J F(x, y) dr3、计算：设P(x,y),0(x,y

15、)在有向光滑弧厶上有定义且连续，L的参4、两类曲线积分之间的关系:设平面有向曲线弧为兀=0(f)L： <y = 0(。切向量的方向角为：Q,0cos0屮 5妇+沪(/)cosa 二厶上点(x, y)处的0(0松+ 02(。(PCOSQ + 0COS 0)ds数方程为(三) 格林公式卜= 0(",S(f：aT>0)其中Q(/)y(f)在a,0上具有一1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，卜=0(", ， 、函数 P(x, y),Q(x,y)在阶连续导数，且02(/) + 0'2(。鼻0,贝qD 上具有连续一阶偏导数，则有£ P(x,

16、V)dx + Q(x9 y)dy = J： P0(f), 0(r)0'(f) + Q(t), 0(t)%'(r) dfdxdy = f Pdx-QdyLdQ _dPdx dy2、G为一个单连通区域，函数P(兀y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则十=石 u>曲线积分Jpdx+Qdy在G内与路径无关LU> 曲线积分 f Pdx + (2dy = 0L<X> P(x,y)dx + Q(x,y)dy 在 G 内为某一个函数u(x,y)的全微分(四) 对面积的曲面积分1、定义：设Y为光滑曲面，函数/(兀,”z)是定义在Z上的一个有界函数，定义 IL /(

17、兀 y，z) dS 巳吧G A5Z./=!2、计算:“一投二换三代入”X: z = z（x, y）, （x, y） e Dxy,则JL /（x，y，z） dS = j£ /%, y, z（x, y）Jl + zr（x,y） + z,（x,.（五）对坐标的曲面积分1预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为有向光滑曲面，函数P（x,儿z）,z）,Rgy,z）是 定义在工上的有界函数，定义ffx R（x，y，z）dxdy = lim £陀：, ） （A5入 i=l同理，R P（ z）dydz = lim £p（© ,）（AS,.）vz i=l

18、ffz 0（兀,y, z）dzdx = lim, G3 九k /=13、性质：1 ）工= E+2,则Pdydz + QdzcLv + R dxdy角。=|Jv Pdydz + Qdz,(h + R dxdy +Pdydz + QdzcLv + R dxdy（六）高斯公式1高斯公式：设空间闭区域O由分片光滑的闭曲面丫所围成，工的方向取外侧，函数P,Q,R在O上有连续的一阶偏 则导数，则有PdydzQdzdx Rdxdy2 ）厂表示与取相反侧的有向曲面J R dxdy 二 _爪 R dxdy4、计算：“一投二代三定号”E：z = z(x,y), (x,y) e9 z = z(x,y)在上具有一阶连

19、或续偏导数，/?(x,y,z)在为上连续，则Jjv/?(x, y,z)(kdy = ±i)Rx, y, z(x, y)dxdy f s 为上侧 BL 乔 + 齐 + 耳 dxd)：dz = #(P8sa + 0cos0+/?8sy)dS取“ + ”， E为下侧取.（七）斯托克斯公式5、两类曲面积分之间的关系:Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =（Pcosa + Qcos/3 + /?cds/克斯公式：设光滑曲面S的边界厂是分段光滑曲线，E 的侧与 F的正向符合右手法则， 其中CC、队Y为有向曲面在点（x,y,z）处的法向量的方向 P（x, y, z）, Q（x, y, z）

20、, /?（X, y, z）在包含刀在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有为便于记忆，斯托克斯公式还可写作:dydzdzdxdxdy_a_a_a_dx5ydzPQR= Pdx + Qdy + Rdz第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的 阶.能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常数，且独立的(即不可合并而隹个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样 =<&

21、gt; Pdx + Qdy + Rdz胡解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g(y)d y = /(x)d x或牛=h(x)g(y)对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：Jg(y)dy = J7(x)cix2、齐次微分方程：y' = 0(T或者尤'=以-)xy在齐次方程$ = 0(上)中，令“=上,可将其化为可分离方程 人 y hlli勺y山i Axdxdx代入微分方程即可。形如y = f(ax+by + c)S)方程令“ =ax+by+c,则 u' = a+by：原方程可化为- = f(

22、u).形如y =方程bchx + byy + Cj可通过坐标平移去掉常数项。3、一阶线性微分方程型如 y+pMy = q(x)称为一阶线性微分方程。 其对应的齐次线性微分方程的解为y = C/，(A，dVo利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解 y =皿 d“c)。4、伯努利方程：yr + px)y = q(x)y' (心0,1)将方程两端同除叨”，得=> yny + p(x)y1_z, =q(x)("工0,1)令则半=(_)厂学，厂字=亠半于是U的通解男fdX dX 155、全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程(D hhhhhh(3)分方卑8、线性微分方程解的结构(1) 函数组的线性无关和线性相关(2) 线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性