三角形的高、中线与角平分线

1、第十一章三角形第十一章三角形11.1.2三角形的高、中线三角形的高、中线与角平分线与角平分线八年级八年级 上册上册湖北省咸宁市咸安区何功伟中学刘志刚复习回顾复习回顾与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的过的三角形的高高如图，从如图，从ABCABC的顶点的顶点向它所对的边向它所对的边BCBC所在直所在直线画垂线，垂足为线画垂线，垂足为D D，所得，所得线段线段ADAD叫做叫做ABCABC的边的边BCBC上上的的高高ABCD 任意画一个任意画一个ABC, ,请你画出请你画出BC边上的高边上的高. .ABC注意：要养成习注意：要养成习

2、惯，画好高线后惯，画好高线后，随手标明垂直，随手标明垂直的记号和垂足的的记号和垂足的字母字母. .D合作探究 获取新知 用同样的方法，你用同样的方法，你能画出能画出ABC的另两的另两条边上高吗？动手条边上高吗？动手试一试试一试合作探究合作探究 获取新知获取新知 让学生分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，让学生分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，（提示同一小组的学生可分工完成）（提示同一小组的学生可分工完成）并在小组内讨论，并在小组内讨论，通过各人所画的高线，你发现了什么？通过各人所画的高线，你发现了什么？高所在的直线是否相交高所在的直线是否相交高之间是否相交高之间是否相交高在三角形内部

3、的数量高在三角形内部的数量钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形小组内形成共识后，请合作填完下小组内形成共识后，请合作填完下表表3 31 1相交相交不相交不相交相交相交相交相交相交相交相交相交 再次思考：不同类型的三角形三条高线的交点位置有什再次思考：不同类型的三角形三条高线的交点位置有什么不同？么不同？合作探究合作探究 获取新知获取新知归纳小结：三角形的三条高所在直线交于一点归纳小结：三角形的三条高所在直线交于一点 分类讨论思想分类讨论思想锐角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形锐角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形内部内部直角三角形的三条高所在直线交

4、于一点，交点在直角顶点直角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在直角顶点上上钝角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形钝角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形外部外部复习回顾复习回顾与三角形有关的线段，高很重要外，还有三角形的中与三角形有关的线段，高很重要外，还有三角形的中线也是重要线也是重要线段线段如图，连接如图，连接ABC的顶的顶点点向它所对的边向它所对的边BC的中点的中点D，所得线段，所得线段AD叫做叫做ABC的的边边BC上的上的中线中线ABCD 任意画一个任意画一个ABCABC, ,请你画出请你画出BCBC边上的中线边上的中线. .注意：要养成习注意：要养成习惯，画好中线

5、后惯，画好中线后，随手标明中点，随手标明中点字母字母. .合作探究 获取新知 用同样的方法，你能画出ABC的另两条边上中线吗？动手试一试ABDC合作探究合作探究 获取新知获取新知 请把自己画的三角形及其三条中线在小组内交流观赏请把自己画的三角形及其三条中线在小组内交流观赏一下，并在小组内讨论，通过各人所画的中线，你又发现一下，并在小组内讨论，通过各人所画的中线，你又发现了什么？了什么？小组内形成共识后，请各个小组之间进行小组内形成共识后，请各个小组之间进行交流交流 结论：三角形的三条中线交于一点结论：三角形的三条中线交于一点ABCDEFO拓展延申拓展延申 激发数学兴趣激发数学兴趣三角形的三条中

6、线的交点叫做三角形的重心三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心 课后探索课后探索1、学有余力的同学可通过查阅资料了解：三角形、学有余力的同学可通过查阅资料了解：三角形的重心的意义？怎样确定基本图形的几何重心？的重心的意义？怎样确定基本图形的几何重心？2、（选做）查阅资料了解：重心的物理意义？尝、（选做）查阅资料了解：重心的物理意义？尝试了解质地均匀的三角形木板的重心及其平衡点？试了解质地均匀的三角形木板的重心及其平衡点？复习回顾复习回顾与三角形有关的线段，高和中线已经有所了解，还有与三角形有关的线段，高和中线已经有所了解，还有三角形的角平分线也很三角形的角平分线也很重要重要如图，画如图，画的平

7、分线的平分线ADAD，交，交的对边的对边BCBC于点于点D D，所得的线段，所得的线段ADAD叫做叫做ABCABC的的角平分线角平分线ABCD 任意画一个任意画一个ABCABC, ,请你画出过请你画出过A A点的三角形角点的三角形角平分线平分线. .注意：要养成习注意：要养成习惯，画角平分线惯，画角平分线后，随手标明角后，随手标明角平分线与对边交平分线与对边交点的字母点的字母. .合作探究 获取新知 用同样的方法，用同样的方法，你能画出你能画出ABCABC的的另两条角平分线吗？另两条角平分线吗？动手动手试一试试一试ABD DC合作探究合作探究 获取新知获取新知 请把自己画的三角形及其三条角平分

8、线在小组内交流请把自己画的三角形及其三条角平分线在小组内交流观赏一下，并在小组内讨论，通过各人所画的角平分线，观赏一下，并在小组内讨论，通过各人所画的角平分线，你又发现了什么？你又发现了什么？小组内形成共识后，请各个小组之间进行小组内形成共识后，请各个小组之间进行交流交流 结论：三角形的三条角平分线交于结论：三角形的三条角平分线交于一点一点ABCDEFO三角形的三条角平线的交点又会叫做什么呢？三角形的三条角平线的交点又会叫做什么呢？ 课后探索课后探索查阅资料：三角形的角平分线的交点的会不会有特查阅资料：三角形的角平分线的交点的会不会有特定名称？其意义是什么？（其实后面将要学习，可提定名称？其意

9、义是什么？（其实后面将要学习，可提前预习一下）前预习一下）拓展延申拓展延申 激发数学兴趣激发数学兴趣辨析误区辨析误区 精益求精精益求精讨论：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别讨论：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？小组交流小组交流讨论讨论抓住本质：三角形的角平分线是一条线段；抓住本质：三角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条角的平分线是一条射线射线 D C B A D C B A 2 1 D C B A三角形的三角形的重要线段重要线段概念概念图形图形几何语言表示几何语言表示三角形三角形的高线的高线从三角形的一个从三角形的一个顶点向它的对边顶点向它的对边所在的直线作垂所在的直线作垂

10、线线, ,顶点和垂足之顶点和垂足之间的线段间的线段AD是是ABC的的BC上高线上高线.ADBCADB=ADC=90=90.三角形三角形的中线的中线三角形中三角形中, ,连结一连结一个顶点和它对边个顶点和它对边中点的线段中点的线段 AD是是ABC的的BC上的上的 中线中线. BD=CD= BC. 三角形的三角形的角平分线角平分线三角形一个内角三角形一个内角的平分线与它的的平分线与它的对边相交对边相交, ,这个角这个角顶点与交点之间顶点与交点之间的线段的线段.AD是是ABC的的BAC的的 平分线平分线 1=2= BAC 归纳小结归纳小结 形成网络形成网络初步应用初步应用 巩固知识巩固知识练习练习1

11、、如图，（、如图，（1）（）（2）和（）和（3）中的三个）中的三个B有什么不同？这三条有什么不同？这三条 ABC的边的边BC上的高上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？中的规律吗？ABC（D）（2 2）ABC CD D（1 1）ABCD（3 3）图（图（1）中）中B是锐角，是锐角，高高AD在在 ABC的内的内部部答案：答案：图（图（2）中）中B是直角，是直角，高高AD与边与边 AB的重合的重合图（图（3）中）中B是钝角，是钝角，高高AD在在 ABC的外的外部部2.填空：填空： （1 1）如图）如图1 1，AD，BE，CF是是ABC的三条中线，

12、则的三条中线，则AB=2=2 ， BD= = , ,AE= = 2121图2FEDCBA4321图1FEDCBAAF或BFCDAC 2 ABC4初步应用初步应用 巩固知识巩固知识练习练习（2 2）如图）如图2 2， AD，BE，CF是是ABC的三条角平分线，则的三条角平分线，则1=1= , ,3= 3= , , ACB=2=2FEDCBA3.3.如图，在如图，在ABC中，中，AE是中线，是中线，AD是角平分线，是角平分线，AF是高是高CEBCCADBACBACAFCAFC巩固练习巩固练习填空：填空：（1 1）BE= = = = ；（2 2）BAD= = = = ；（3 3）AFB= = =90

13、=902121巩固练习巩固练习4.4.如图，如图，AE是是ABC的中线，的中线，EC6 6，DE2 2，则则BD的长为的长为( () )A A2 2B B3 3 C C4 4D D6 6C C5.5.下列说法正确的是下列说法正确的是( () )平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；每个三角形都有三条中线、高和角平分线；每个三角形都有三条中线、高和角平分线；三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线A A B B C C D DB 如图所示如图所示, ,在在ABC, ACB=90 ABC, ACB=90 , ,把把ABCABC沿直线沿直线ACAC翻折翻折180180, ,使点使点B B 落在点落在点BB的位置的位置, ,则线段则线段ACAC具有性具有性质质( )( ) B C B AD D拓展延申拓展延申A.A.是边是边BBBB上的中线上的中线 B.B.是边是边BBBB上的高上的高C.C.是是BA