量子力学 第四版 卷一 曾谨言 著习题答案1

1、第五章：对称性及守恒定律P248设粒子的哈密顿量为。（） 证明。（） 证明：对于定态（证明）（），运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： （）分动量算符仅与一个座标有关，例如，而不同座标的算符相对易，因此（）式可简化成：（）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： （）（）将（）（）代入（），得：代入（），证得题给公式：（）（）在定态之下求不显含时间的力学量的平均值，按前述习题的结论，其结果是零，令则 （）但动能平均值由前式 P249 设粒子的势场是的次齐次式证明维里定理（irial theorem）式中是势能，是动能，并应用于特例：（）谐振子（）库仑场（）（解）先证明维里定理：假

2、设粒子所在的势场是直角坐标的次齐次式，则不论是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：（）此处的暂设是正或负的整数，它们满足：（定数）是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。根据前一题的结论：（）现在试行计算本题条件下的式子及其定态下平均值。这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用（）即得：（）本证明的条件只要不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接用于几种特例，并另用（）式加以验证。（）谐振子：直接看出，根据（）式知道，即也可以根据前一题的结论，即（）式直接来验证前一结论，由（）式可知（）库仑场

3、直接看出是的次齐次式，按（）式有： 但这个结论也能用（）式验证，为此也利用前一题结论（）有： 代入（）式，亦得到（）场直接看出是的次齐次式，故由（）式得：仍根据（）式来验证：由（）得 ，结果相同。本小题对于为正、负都相适，但对库仑场的奇点除外。P260求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符应满足：（）又对于自由粒子，有（不随时间变化）令为海氏表象座标算符；代入（）（）但 （）代入（），得：积分得将初始条件时，代入得，因而得到一维座标的海氏表象是：P260求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。解：用薛氏表象时

4、，一维谐振子的哈氏算符是：（）解法同于前题，有关坐标的运动方程式是：（）将等式右方化简，用前一题的化简方法：（）但这个结果却不能直接积分（与前题不同，与有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：化简右方 = 将对时间求一阶导数,并与式结合,得算符的微分方程式:这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率，它的解是： ，待定算符，将它求导，并利用： 将t=0代入：x(0)=A P（0）=B，最后得解： 在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中：vanced Quantum Theory:§-48 Addison-Wesley5.1设力学量不显含，为本体系

5、的Hamilton量，证明证.若力学量不显含，则有,令则,5.1证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：（是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量 不显含，有（）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：（）此式遍乘即得待证式。5.2证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。（证明）设是个不含的物理量，是能量的公立的本征态之一，求在态中的平均值，有：将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）（）今代表的本征态，故满足本征方程式（为本征值） （）又因为是厄密算符，按定义有下式（需要是束缚

6、态，这样下述积分存在）（）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（）（）代入（）得：因，而5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。在束缚定态，有。其复共轭为。5.3证明，对于一维波包有：（解）一维波包的态中，势能不存在故（自由波包）依据力学量平均值时间导数公式：（）但 （）因（）代入（）式，得到待证的一式。5.4 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：证明：总动量为守恒。 证明：待证一试是矢量算符，可以证明其x分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒条件这要求： =+ 第一个对易式中，因为： ， ，故整个 至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式 =又式的

7、第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同粒子的坐标算符和动量算符永远能够对易，式又能简化成： = 再运用对易式（第四章11题） 代入上式得： =满足式，故式得征。5.5多粒子系如所受外力矩为0，则总动量为守恒。证明：与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能： 要考察合力矩是否守恒，可以计算的分量看其是否等于零。 因为 因而可以化简： 用对易关系： 最后一式第一求和式用了等，第二求和式用了：最后的结果可用势能梯度内力表示，因内力合矩为零，故有 同理可证 因此是个守恒量。5.6证明：

8、对经典力学体系，若A，B为守恒量，则A，B即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系若，是守恒量，则也是守恒量，但不一定是新的守恒量。 证明先证第一总分，设qi 为广义坐标，pi为广义动量，A qi ，pi和B qi ，pi 是任意力学量, i=1,2,3,为坐标或动量编号，s自由度，则经典Poisson括号是：（前半题证明c.f.Goldstein：Clessical Mechanlcs）在经典力学中，力学量A 随时间守恒的条件是 或写作：将哈密顿正则方程式组： 代入前一式得 因此，若力学量A，B不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是： 假定以上两条件都适合，我们来考察A

9、，B是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立：为了考察前一式，可令：将此式用泊松括号的定义展开得：仔细地展开前一式的各项，将发现全部有关H的二阶导数都抵消，只留下H的一阶导数的项，化简形式如下： 式中F，G都含A和B的导数，为了确定这两个待定系数，可令H等于特殊函数(这不失普遍性，F与H无关)，代入式后有前式中的值可在中，作替代A>B，B>得到，求法类似。再在式中，令H=，得：I=F（A，B）因而得： 同理令H=得：将所得的F和G代入，并将这结果再和等同起来，得到：A，B，HB，A，H这个式子说明：如果（2），（3）满足，（4）式就成立即A,B守恒。在量子力学体系情形，守恒的条件

10、是 再考察 将此式加减后得到：若，是守恒量，前一式等号右方，左方所以也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，若是守恒量，则有共同本征态，在此态中测得的值为确定值A0和B0（初始时刻的值），的值为0。5.73.2，3.35.8表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）, 是的本征态，相应的本征值为证： 证毕5.8证明周期场中的Bloch波函数（§3.4） ，是的本征函数，相应的本征值是。（证明）是位移算符，它的本征态具有空间的移动（或平移）的对称性，假使是这种态，则同时是有运动对称性的： 将作用于Bloch函数：5.96.75.9设表示的本征态（本征值为），证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，