二次根式的基本定义

1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式， 其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。、4、形如 b(a的式子也是二次根式， b 与是相乘关系，当b 是分数时，写成假分数。5、式子(a表示的是非负数。6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。二次根式定义：【例 1】下列各式1 , 2) 5,3)x22, 4) 4,5)

2、( 1)2 ,6) 1 a,7) a22a 1 ，其中是二次53根式的是 _（填序号）变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）2A、aB 、10C 、a1D 、a1欢迎共阅2、在a 、 a2b 、 x 1、 1 x2 、 3 中是二次根式的个数有 _个3、下列的式子一定是二次根式的是（）ABCD4、式子：；中是二次根式的代号为（）ABCD【例 2】若是正整数，最小的整数 n 是（）A6B3C 48D 2变式练习：1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（）A 0B 1C 2D 52、二次根式是一个整数，那么正整数a 最小值是注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。(a，02、如

3、果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0.【例 3】式子有意义的 x 的取值范围是变式练习：1、使代数式x3 有意义的 x 的取值范围是（）x4A 、x3B、x3C、 x4D 、x3 且 x42、使代数式21 有意义的 x 的取值范围是x2x3、如果代数式m1 有意义，那么，直角坐标系中点（ ， ）的位置在（）Pm nmn欢迎共阅A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 4】若 y=x5 +5 x+2009，则 x+y=变式练习：1、若 x 1 1

4、x(x y) 2 ，则 xy 的值为（）A1B1C2D32、若 x、y 都是实数，且 y=2x 33 2 x 4 ，求 xy 的值3、当 a 取什么值时，代数式2a11 取值最小，并求出这个最小值。4、若实数 a、b、c 满足+|a+b|=+，则 2a-3b+c 2 的值为5、已知 y=，求 2x+y 的算术平方根二次根式整数部分小数部分：已知 a 是 5整数部分， b 是5的小数部分，求 a1的值。b21、若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3ab。的整数部分为 x，小数部分为 y，求 x212、若 17y 的值 .二次根式性质：1. 非负性： a(a 0) 是一个非负数注意：此性

5、质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2.(a) 2aa(0) 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a ) 2 (a0)3.a 2aa( a0)|0)a(a注意：（ 1）字母不一定是正数欢迎共阅（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替（ 3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4. 公式a2aa( a0)与( a ) 2aa()的区别与联系| |a(a0)0（ 1） a2 表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一切实数（2） ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的

6、平方， a 的范围是非负数（3） a2 和 (a) 2 的运算结果都是非负的a2b320，【例 5】若c 4则 a b c变式练习：1、若 m3(n1) 20，则 mn 的值为。2、已知 x, y 为实数，且x 1 3 y2 20 ，则 xy 的值为（）A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边x、y 的长满足 x24 y 25 y 6 ，则第三边长为0 .4、若 a b1 与 a20052b4 互为相反数，则 a b_ 。【例 6】如果 2- x，那么 x 取值范围是（）Ax2B x 2Cx2D x 2【例 7】化简二次根式 aa 2 的结果是a 2（ A）a2(B)a 2(C)a 2(D)

7、a 2变式练习：1、把二次根式 a1 化简，正确的结果是（）a欢迎共阅A.aB.aC.aD.a2、已知 0a1，化简+=3、若化简的结果为 2x-5 ，则 x 的取值范围是（）A、任意实数B 、1C 、xD、x4、若实数 a、b、c 在数轴的位置，如图所示，则化简- |b- c|=5、已知：实数 a，b 在数轴上的位置如图所示， 化简：+2-|a-b|6、已知，求-的值。最简二次根式：（ 1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式 , （被开方数中每个因数 ( 式) 的指数都小于根指数 2，都是 1）；分母中不含根号化最简根式时注意：（1）被开方数是

8、带分数的要化成假分数。（2）被开方数学是小数的要化成分数。（3）被开方数中含有能开方的多项式时，要先因式分解再开方。同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【例 7】在根式 1)a2b2 ;2)x ;3) x2 xy ;4) 27abc ，最简二次根式是（）5A1) 2)B3) 4)C1) 3)D1) 4)2、下列根式中，不是 最简二次根式的是（）欢迎共阅A 7B 3C 1D 223、下列根式不是最简二次根式的是()A. a21B.2x 1C.2bD. 0.1y4【例 8】下列根式中能与3 是合并的是 ()A.8B.27C.25D.12【例 9】将 a根号外的因式移入根号内的结果是练习：化简：，(y，分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式： 利用aaa 来确定，如：a与a ， ab与ab ，ab 与ab等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab 与 ab ，ab与ab ，a xby与axby 分别互为有理化因式。【例 10】 把下列各式分母有理化（1） 1（2）43（3） 11