解题方法及提分突破训练：构造法专题

1、解题方法及提分突破训练：构造法专题在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 一 真题链接1.（2012 青海）若m,n为实数，且的值为2.（2012 莆田）3.（2012铁岭）如果，那么xy= 4.（2012佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC（1）求证：ABD=DCA注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据（2）在（1）的证

2、明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？5. （2012佳木斯）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： （1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运

3、费最少的货车调配方案，并求出最少总运费二名词释义所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法：一某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。例1：如果关于x的方程ax+b=

4、2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b 此方程有无数多解，a-4=0且15-b=0 分别解得a=4，b=15二构建几何图形 对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例2：已知，则x 的取值范围是（ ） A    15   B 1    C 1 5   D 5分析：根据绝对值的几何意

5、义可知：表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以15，故选A.4三、构造函数模型，解数学实际问题在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。例3：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原

6、料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品获总利润为（元），生产A种产品件，试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解；（1）设需生产A种产品件，那么需生产B种产品件，由题意得： 解得：3032 是正整数 30或31或32有三种生产方案：生产A种产品30件，生产B种产品20件；生产A种产品31件，生产B种产品19件；生产A种产品32件，生产B种产品18件。（2）由题意

7、得； 随的增大而减小 当30时，有最大值，最大值为： 45000（元） 答：与之间的函数关系式为：，（1）中方案获利最大，最大利润为45000元。 三典题示例一构造方程解题例1 若代数式m2 + 3与4m + 1互为相反数，则m-2等于（ ）A. 4 B. - 4 C. D. -解 由相反数的性质（互为相反数的两个数或两个式子之和为零），得m2 + 3 + 4m + 1 = 0，即m2 + 4m + 4 = 0，(m + 2)2 = 0，解之得：m = - 2，所以m-2 = (-2)-2 =，故本题应选C。例2 当x =_时，分式无意义；当x =_时，此分式的值为零。解 要使此分式无意义，只

8、需x2 - 7x 8 = 0，解之得x1 = 8，x2 = -1，即当x = 8或x = -1时，该分式无意义。要使该分式的值为零，只须分子x2 1 = 0且分母x2 -7 x 8 0；由x2 1 = 0，得x = ±1，但当x = -1时，分母x2 -7x - 8 = 0，分式无意义。故当x = 1时，此分式的值为零。例3 已知x、y是正整数，并且xy + x + y = 23，x2y + xy2 = 120，求x2 + y2的值。解 因、可化为xy + (x + y) = 23，xy(x + y) = 120，则由一元二次方程根与系数的关系知：xy、x + y是方程t2 - 23

9、t + 120 = 0的两个实数根，解之得xy = 8，x + y = 15或xy = 15，x+y = 8。又x、y是正整数，所以只能是xy = 15，x + y = 8。所以x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 64 30 = 34。二构造几何图形解题例4. 如图1，过正方形ABCD的顶点C作任意一条直线与AB、AD的延长线分别交于点E、F。求证：。分析：注意到要证明的不等式的形式，可联想到一元二次方程的判别式。证明：设正方形的边长为a，连AC。因为，所以有。即。从而AE、AF可视为关于x的一元二次方程的两个实数根。所以该方程的判别式得，即。注：应用构造一元二次方程的方法解

10、决一些几何中的不等式问题，的确让我们有耳目一新的感觉，有益于训练大家思维的发散性、创新性。三构建函数解决问题例5 (2012年，辽宁省营口市)（10分）某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多

11、少元？（成本进价×销售量）答案：解：（1）由题意，得：w = (x20)·y=(x20)·().答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润 （2）由题意，得：解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. （3），抛物线开口向下.当30x40时，w2000x32，当30x32时，w2000 设成本为P（元），由题意，得：，P随x的增大而减小.当x = 32时，P最小3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元四 巩固强化1. （2012 常州）已知关于x的方程2x

12、-mx-6=0的一个根2，则m= ，另一个根为 2. （2012 大庆）3.（2012广西）使式子 有意义的x的取值范围是（）Ax-1 B-1x2 Cx2 D-1x24.若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为( )A. 2或3 B. -2或3 C. 3 D. 25. 已知实数x、y满足9x2 + 12x + 4+=0，求代数式2xy的值。6.若(= 5 - m是关于x的一元二次方程，则m =_。7.已知(b - c)2 = (a - b)(c - a)且a 0，则=_。 8.（2012郴州）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个（1）设购买排球数为x

13、（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？9.（2012佳木斯）如图，点A、B、C、D分别是O上四点，ABD=20°，BD是直径，则ACB=70°10. 如图2，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若。求证：。 五 参考答案真题链接答案：1.2.3.解：根据题意得，x+1=0，y-2=0，解得x=-1，y=2，所以，xy=（-1）×2=-2故答案为：

14、-24.证明：（1）连接AD，在BAD和CDA中 AB=CD DB=AC AD=AD BADCDA（SSS）ABD=DCA（全等三角形对应角相等）（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边5.解：（1）解法一、设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得 x+y=18 16x+10y=228 （2分）解得 x=8 y=10 答：大货车用8辆，小货车用10辆（1分）解法二、设大货车用x辆，则小货车用（18-x）辆，根据题意得16x+10（18-x）=228 （2分）解得x=818-x=18-8=10（辆）答：大货车用8辆，小货车用10辆；（1分）（2）w=720a+800（8-a）+

15、500（9-a）+65010-（9-a）（2分）=70a+11550，w=70a+11550（0a8且为整数） （1分）（3）16a+10（9-a）120，解得a5，（1分）又0a8，5a8且为整数，（1分）（3）16a+10（9-a）120，解得a5，（1分）又0a8，5a8且为整数，（1分）w=70a+11550，k=700，w随a的增大而增大，当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900（元） （1分）答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地最少运费为11900元（1分）巩固强化的答案：1. 2.3.解：根

16、据题意，得 x+10 2-x0 ，解得，-1x2；故选B4.解 由同类二次根式的定义可知：5a 3 = a2 + 3，解之得a1 = 2，a2 = 3。但当a = 3时，已知为，它不是最简二次根式，所以a只能取2，故本题应选D。5. 因9x2 + 12x + 4 = (3x+2)2 0， 0，且(3x + 2)2 += 0，则由非负数的性质（几个非负数之和为零，则每个非负数为零）得(3x + 2)2 = 0且= 0，解之得x = -，y = 2。故所求代数式2xy的值：2 × (-)2 = 。6. 根据一元二次方程的定义，得m2 2 = 2，解之得m = ±2。但当m =

17、2时，此方程二次项系数为零，不是一元二次方程，故m = -2。7. 由已知得：(b - c)2 - 4(a - b)( c- a) = 0。当a b = 0时，则b c = 0，a = b = c，所以= 2；当a b 0时，由(b - c)2 - 4(a - b)( c - a) = 0可知关于x的方程(a - b)x2 + (b - c) + (c - a) = 0有两个相等的实数根。又(a b) + (b - c) + (c a) = 0，则x1 = x2 = 1，x1x2 = 1，所以，即= 2。综上所述，知= 2。8.解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，y=20x+80（100-x）=8000-60x；（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100-x），根据题意得： 100-x3x 20x+80(100-x)6620 ，解得：23x25，所以x取25，24，23，当买排球25个时，篮球的个数是75个，当买排球24个时，篮球的个数是76个，当买排球23个时，篮球的个数是77个，所以有3种购买方案（3）根据（2）得：当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：25×20+75×80=6500（元），当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24×20+