矩量法作业DOC

1、摘要矩量法是将连续方程离散为代数方程组的方法，此法对于求解微分方程和积分方程均适用。本文以直立的线天线为例，详细介绍了矩量法的基本思想及原理、基函数以及检验函数的选择，系统阐述了直立的天线的双位积分方程的建立过程，最后利用矩量法求解双位积分方程、使用matlab编程实现得到直立的天线上的电流分布。本文采用1.77的线天线的频率是0.3GHz，采用矩量法所选用的基函数是正弦函数，检验函数是函数。关键字：线天线；矩量法；双位积分方程引言 计算电磁学被广泛地定义为一门内在和常规地应用数字计算机来获得电磁问题的数值结果的科学。主要有两个类别：数值方法和高频或渐进方法，通常数值方法用于天线或散射体的尺寸

2、在一个波长到几十个波长量级的场合；矩量法数学本质是一种求解线性方程的方法，在电磁场数值计算方面得到了广泛的应用。上世纪60年代，哈林登（Harrington）首先将矩量法应用于电磁场领域。对于辐射问题，是将含有未知电流的积分方程化为矩阵方程，通过求解该矩阵方程得到天线上的电流分布。在现代电磁工程中对于边界不复杂的问题可用解析法得到精确解, 较复杂的边值问题,用解析法不能得到解答, 需用数值法, 如: MOM、FEM(有限元法)、 FDTD（时域有限差分法）等。矩量法是一种误差最小的方法且相对其他的算法来说是一种相对简单高效的方法。对于天线问题可以建立描述天线表面感应电流的积分方程,求出该电流即

3、可进一步得到天线的辐射特性。在矩量法分析过程中，有多种不同的积分方程可供选择，如双位积分方程、Hallen积分方程、Pocklington积分方程、Schelkunoff积分方程、响应积分方程等，这些积分方程一般应用于细的线天线，即假设电流只沿天线轴线流动，忽略天线周向电流和端面径向电流。本文采用双位积分方程，应用矩量法直立的线天线进行深入的分析，并在计算过程中对积分奇异项进行处理，不但简化了数值分析的复杂性，而且大大地减小了计算量并提高其精度。矩量法的基本原理 矩量法的基本思想矩量法（Method of Moments, MoM）是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，对求解微分方程和积分

4、方程均适用。矩量法是基于频域方程的，它的基本思想是将一个泛函方程化为矩阵方程并求解该方程。由于求解过程中需要计算广义矩量，故得名。矩量法包括如下三个基本过程：（1）离散化过程 主要目的是将算子方程化为代数方程，具体步骤是：在算子L定义域内适当的选择一组线性无关的基函数fn；将待求函数f表示为该组基函数的线性组合；利用算子的线性，将算子方程化为代数方程。（2）取样检测过程 主要目的是将求解代数方程的问题转化为求解矩阵方程的问题。基本步骤是：在算子L的值域内适当的选择一组线性无关的权函数Wm；将Wm与代数方程取内积进行N次抽样检验；利用算子的线性和内积的性质，将N次抽样检验的内积方程化为矩阵方程。

5、（3）矩阵求逆过程。R. F. Harrington在计算电磁场的矩量法一书中对其原理及过程进行了详尽的介绍.它所做的工作是将积分方程化为差分方程,或将积分方程中积分化为有限求和,从而建立代数方程组,故它的主要工作量是用计算机求解代数方程组.所以,在矩量法求解代数方程组过程中,矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少,在很大程度上影响了计算的速度.如何尽可能的减少矩阵存储量,成为加速矩量法计算的关键. 矩量法原理根据线性空间的理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子方程，这类算子可化为矩阵方程求解。设有算子方程： （2-1） 式中L为算子，可以是微分方程

6、、差分方程或积分方程；g是已知函数如激励源；f为未知函数如电流。假定上述方程的解存在且是唯一的，则有逆算子 的存在，使 成立。 互为逆算子令： （2-2）式中是系数。被称为展开函数或基函数。用算子的线性便可以得到: （2-3）规定了一个适当的内积<，>，那么在的值域内定义一个权函数或检验函数的集合，并对每个取式(2-3)的内积，则（2-4）式中1，2，3。此方程组可以写成如下的矩阵形式 （2-5）式中（2-6） （2-7）如果矩阵是非奇异性的，于是可写成： （2-8）矩量法的求解步骤依以上原理所述，矩量法的求解步骤可以分为以下四步： （1）将未知量展成由基函数构成的级数 （2）选取

7、与基函数内积的检验函数 （3）由内积构成矩阵方程 （4）解矩阵方程求得未知量基函数和检验函数的选择矩量法求解算子方程的关键问题是基函数和权函数的选择。当选择基函数等于检验函数时,称为伽略金法。在特定的问题中,主要任务是选择基函数和检验函数,它们必须是线性无关的。基函数可以分为整域基和分域基;权函数一般有点匹配法,伽略金法,最小二乘法等。应用矩量法需注意:误差分析;方程收敛性;积分奇异点处理等。下面分别介绍基函数和检验函数的选择：本文的基函数选择的是正弦函数,其中k为波数。选取这样的基函数是考虑到它可以满足细导体末端电流为零的边界条件。文中用点匹配法选择检验函数。下面将简要介绍点匹配法。若选取狄

8、拉克函数为检验函数，即令 （2-9）式中，狄拉克函数的定义为（2-10）由于，因而矩量法方程(2-6)( 2-7)相应矩阵元素的计算结果为（2-11） （2-12）由此表明和的计算归结为只需计算所在点处的对应值，因此称这种方法为点匹配法。3 对称振子天线的矩量法求解假设对称振子天线放在Z轴线上，原点位于中点。如下图所示： 图3.1 对称振子天线示意图图3.1为的对称振子天线，可做如下假设：（1）电流沿导线轴流动，体电流密度可以用线电流I来近似，体电流密度用线电荷密度近似；（2）忽略天线端面的周向电流径向电流；（3）天线上电流仅为长度变量的函数，即3.1 由海伦方程应用矩量法的推导分析过程当对称

9、振子天线上在加上馈电信号时，或在接收电场作用时，其上将产生电流，其电流分布按基函数展开，在此，我们将选用正弦函数作为基函数。 通过以上假设可以知道，半波振子天线的矢量磁位，而 （3-1）其中为格林函数，通过麦克劳林级数展开，舍弃高次项，这样其稳定度也较高。的表达式为： （3-2）为波数。于是z分量的电场表达式为： （3-3）由边界条件可知：（由边界条件可知，在导体表面切向电场为零），其中为电源所产生的场，令，为电压，为狄拉克函数，将上述条件和（3-1），（3-2）式代入（3-3）于是便得到： （3-4）对上式进行求解为： （3-5） 公式中B为常数，为自由空间的波阻抗。该方程为对称振子天线的海

10、伦积分方程（Hallen）。海伦积分方程(3-5)简单变型为： （3-6）选择分布电流展开表达式： （3-7） 为待定系数 （3-8） 本文中取N=4，那么电流表达式变为：，代入海伦积分方程式（3-6），整理得到： （3-9） 式中： ， ， 式中为天线的一般长度，为导体半径，为导体表面上场点的坐标，为导体表面上源点的坐标，在轴线上。（3-9）式中有五个未知量、，因此应选5个加权函数作为五个方程式。课题中我们求解的是=/4， 为波长，为了求对称振子天线上电流分布，采用点配法，检验函数选择狄拉克函数，即，其中m=1,2N，其中选择的点为：变换，即：，。运用选择的的值对每一对（3-9）式两边求内积

11、，这样可以将（3-9）式转变成矩阵的形式: (3-10)式中 其中除了，五个未知量，其余各个元素都可以通过计算机编程来求解，得出各矩阵形式 ，然后再利用矩阵求逆运算，求解出，这样根据公式（3-7）就可以求得天线上的电流分布。本文是基于海伦积分方程的半波振子天线矩量法分析，选择的条件为： ，波长为，振子长度，基函数采用三角正弦函数，检验函数采用函数，采用matlab计算出的电流系数矩阵如下所示：3.2 Matlab编程程序流程图Matlab软件在矩阵处理方面有其独特的优势，故采用matlab语言编写程序仿真天线的性能。Matlab实现矩量法程序流程图如下图所示。 开始 输入天线初始参数 选定基函

12、数和检验函数矩阵元素Z11，Z12，.Zmn的计算计算电流分布（系数），输入阻抗，方向图，增益等参数 输出结果 停止 3.3 由海伦方程应用矩量法计算得到的结果图及其分析利用公式（3-7）可得电流分布表达式为： 从而得到实虚部电流分布图如图3.2所示：图3.2 对称振子实虚部电流分布图从上图我们可以看出，单臂振子在接近源点处，电流的实部值达到最大，且在0.05处，电流的虚部值达到最大。除此之外，我们还看到在振子末端即0.25处，电流的实、虚部电流均为0。电流几乎在馈电点附近达到最大值。图3.3 对称振子的电流分布解析解图由图3.3知，对称振子天线在L/=0的电流分布最大，馈点电流最大，此时辐射

13、电阻近似于输入电阻，因为对称振子的输入电流正好是波腹电流。图3.4 对称振子极坐标下的海伦方程E面方向图从图3.4可以看出=0时，辐射场为0。主瓣的最大辐射方向出现在=的位置。图3.5 对称振子极坐标下的海伦方程H面方向图从图3.5可以看出对称振子极坐标下的H面方向图是圆形，方向函数与的大小无关。图3.6 对称振子极坐标下海伦方程三维方向图从图3.6可以看出，对称振子的三维辐射方向图是全向辐射的。3.4 由仿真软件CST得到的结果图及其与矩量法结果对比分析图3.7 CST中对称振子的E面方向图图3.8 CST中对称振子的H面方向图图3.9 CST中对称振子的三维方向图从图3.7-3.9可以看出

14、，海伦方程计算结果与CST仿真有很好的相似性, 采用Hallen方程稳定度相对较高，计算过程中对马克劳林级数展开，舍弃高次项，大大减少了计算量，同时也满足精度要求，对参数改变的灵敏度相对较低，因此常常被采用。 5 总结通过对矩量法的仿真与实践，加深了我对矩量法原理的了解与掌握，除此之外还加深对Matlab编程软件及其语言的了解。明白了用Matlab实现对称振子天线的设计流程以及处理电磁场边值以避免积分奇异点需要注意的问题，明白了Hallen积分方程化为矩量方程的推导过程，清楚了矩量法的工程应用。对称振子是分析其他形式天线的基础，矩量法还可以适用于其他天线的分析，如环形、阵列、微带、其他线形天线

15、等。不过，要熟练掌握运用基于海伦方程的矩量法来分析各种天线的特性，还需要经过大量的案例分析和工程实践，当然也离不开扎实的计算电磁学理论。同时，也非常感谢姜老师在电磁辐射与散射课程中精心地教诲，且耐心地在课堂中帮助我们解决许多工程实践中遇到的问题。老师和蔼的姿态以及严谨治学的精神是值得我们敬仰和学习。相信通过姜老师这门课程的启蒙，在之后的电磁学习道路上我们会越走越顺畅。参考文献1 (美)哈林顿( R. F. Harrington) . 王尔杰译.计算电磁场的矩量 M 北京:国防工业出版社, 1981.2 B. D. 波波维奇等. 导线天线的分析与综合 M . 北京:人民邮电出版社, 1987.3 谢处方. 近代天线理论.成都：成都电讯工程学院出版社,1987.4 谢处方,吴先良. 电磁散射理论与计算.合肥：安徽大学出版社,2002.5 李世智. 电磁辐射与散射问题的矩量法.北京：电子工业出版社,1985.6 吕英华. 计算电磁学的数值方法M . 北京: 清华大学出版社, 2006.7 姜光兴，曹伟，朱洪波.基于不同积