运动路径参考答案

1、运动路径一填空题（共6小题）1（2010南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG（1）设AE=x时，EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长考点：正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积；E、A不重合时；易证得AEMFDM，则EM=

2、FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MNBC于N，则AB=MN=2AM，由于AME和NMG同为EMN的余角，由此可证得AEMNGM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MG的比例关系式，即可求得MG的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；（2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P为E与B重合时的对应点），此时可发现PP正好是EGG的中位线，则P点运动的距离为GG的一半；RtBMG中，MGBG，易证得MBG=GMG，根据MBG的正切值即可得到GG、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解解答

3、：解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2当点E与点A不重合时，0x2在正方形ABCD中，A=ADC=90°MDF=90°，A=MDF在AME和DMF中，AMEDMF（ASA）ME=MF在RtAME中，AE=x，AM=1，ME=EF=2ME=2过M作MNBC，垂足为N（如图）则MNG=90°，AMN=90°，MN=AB=AD=2AMAME+EMN=90°EMG=90°GMN+EMN=90°AME=GMNRtAMERtNMG=，即=MG=2ME=2y=EF×MG=×2

4、15;2=2x2+2y=2x2+2，其中0x2；（2）如图，PP即为P点运动的距离；在RtBMG中，MGBG；MBG=GMG=90°BMG；tanMBG=2，tanGMG=tanMBG=2；GG=2MG=4；MGG中，P、P分别是MG、MG的中点，PP是MGG的中位线；PP=GG=2；即：点P运动路线的长为2点评：此题考查了正方形的性质，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性质以及二次函数等知识；综合性强，难度较大2（2012福州）如图1，在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向

5、点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDBC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=82t，PD=t（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）根据题意得：CQ=2

6、t，PA=t，由RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，PDBC，即可得tanA=，则可求得QB与PD的值；（2）易得APDACB，即可求得AD与BD的长，由BQDP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DPBD，可判定PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；（3）设E是AC的中点，连接ME当t=4时，点Q与点B重合，运动停止设此时PQ的中点为F，连接EF，由PMNPQC利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：解：（1）根据题意得：CQ=2t，P

7、A=t，QB=82t，在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，PDBC，APD=90°，tanA=，PD=t故答案为：（1）82t，t（2）不存在在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，AB=10PDBC，APDACB，即，AD=t，BD=ABAD=10t，BQDP，当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即82t=，解得：t=当t=时，PD=，BD=10×=6，DPBD，PDBQ不能为菱形设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8vt，PD=t，BD=10t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10t

8、，解得：t=当PD=BQ，t=时，即=8，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系依题意，可知0t4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）设直线M1M2的解析式为y=kx+b，解得，直线M1M2的解析式为y=2x+6点Q（0，2t），P（6t，0）在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）把x=代入y=2x+6得y=2×+6=t，点M3在直线M1M2上过点M2作M2Nx轴于点N，则M2N=4，M1N=2M1M2=2线段PQ中点M所经过的路径长为2单位

9、长度点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用3（2010桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边AEP和等边PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是3考点：梯形中位线定理；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：动点型分析：分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN再求出CD的

10、长，运用中位线的性质求出MN的长度即可解答：解：如图，分别延长AE、BF交于点HA=FPB=60°，AHPF，B=EPA=60°，BHPE，四边形EPFH为平行四边形，EF与HP互相平分G为EF的中点，G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MNCD=1022=6，MN=3，即G的移动路径长为3点评：本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点4（2013桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分

11、别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是3考点：正方形的性质；轨迹菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长解答：解：如图所示：当P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O的长，线段AB=10，AC=BD=2，当P与C重合时，以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，AP=2，BP=8，则O1P=，O2P=4，O2P=O2B=4，当P与D重合，则PB=2，则AP=8，OP=4，OP=，HO=BO=，

12、O2O=4=3故答案为：3点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键5（2014义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P（1）若AE=CF；求证：AF=BE，并求APB的度数；若AE=2，试求APAF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；动点型分析：（1）证明ABECAF，借用外角即可以得到答案；利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形

13、相似定理求得的比值，即可以得到答案（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；解答：（1）证明：ABC为等边三角形，AB=AC，C=CAB=60°，又AE=CF，在ABE和CAF中，ABECAF（SAS），AF=BE，ABE=CAF又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60°APB=180°APE=120°C=APE=60°，PAE=CAF

14、，APEACF，即，所以APAF=12 （2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，且ABP=BAP=30°，AOB=120°，又AB=6，OA=，点P的路径是当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：所以，点P经过的路径长为或3点评：本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用6（2014连云港）某数学兴趣小组对线段上的动

15、点问题进行探究，已知AB=8问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在APK、ADK、DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长（4）如图3，在“问题思考

16、”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值考点：四边形综合题菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）设AP=x，则PB=8x，根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x2+（8x）2，配方得到2（x4）2+32，然后根据二次函数的最值问题求解（2）根据PEBF求得PK=，进而求得DK=PDPK=a=，然后根据面积公式即可求得（3）本问涉及点的运动轨迹PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示；（4）本问涉及点

17、的运动轨迹GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如答图41所示；然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如答图42所示解答：解：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值设AP=x，则PB=8x，根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8x）2=2x216x+64=2（x4）2+32，所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK与DFK依题意画出图形，如答图2所示设AP=a，则PB=BF=8aPEBF，即，PK=，DK=PDPK=a=，SAPK=PKPA=a=，SDFK=DKEF=（8a）=，SAPK

18、=SDFK（3）当点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A此时在RtAPQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2×4=6（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为如答图41，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形点O为中点，OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS为定值点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上MN=6，点P在线段