福建省南安一中福建省南安一中2021届高三上学期期末数学理试卷答案.doc

1、福建省南安一中福建省南安一中2021届高三上学期期末数学理试卷答案南安一中 20_ 届高三年上学期期末考试 数学试题（理科）答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 0 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.12345678910 DABCDCDDAD 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2021 分分 1112 48 13 14 5 8 (, 21,)-¥ -+¥U0,2 1

2、5数列为等比数列，且通项为 n n T 1 1( )n n n Tbq - = 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 13 分） 解:(I)；=÷ ø ö ç è æ 3 p f 2 1 3 cos2 3 2 sin 3 sin 3 cos3 + ÷ ø ö ç è æ - p ppp 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 1 3 + ´ ´ ÷ ÷ ø

3、ö ç ç è æ -´ = 2 1 = 4 分 (II),得故的定义域为0cos¹_()ZÎ+¹kk_ 2 p p( )_f .þ ý ü î í ì Î+¹ÎZRkk_, 2 p p 因为( ) () 2 1 cos2 2sinsincos3 + - = _ _ _f() 2 1 sincos3sin+-=_ , 2 3131 cos21 sin2sinsin2 22222 _ _ - =-+=-+÷

4、ø ö ç è æ += 6 2sin p _ 7 分 所以的最小正周期为.( )_fp p = 2 2 T 8 分 因为函数的单调递减区间为, _ysin=()ZÎ ú û ù ê ë é +kkk 2 3 2 , 2 2 p p p p 由, ()ZÎ+¹+£+£+kk_k_k 2 , 2 3 2 6 2 2 2 p p p p pp p 得, ()ZÎ+¹+££+kk_k_k 2 , 3 2

5、 6 p p p p p p 所以的单调递减区间( )_f 为13 分()ZÎ ú û ù ç è æ +÷ ø ö ê ë é +kkkkk 3 2 , 2 , 2 , 6 p p p p p p p p 17 （本小题满分 13 分） 证明 ：（）取 DE 中点 N，连结 MN，AN 在EDCD中，M，N 分别为 ED，EC 的中点， 所以 MN/CD，且CDMN 2 1 = 又已知 AB/CD，且CDAB 2 1 =，所以 MN/AB，且 MN=AB 所以四边

6、形 ABMN 为平行四边形 ，所以 BM/AN；又因为AN Ì平面 BEC，且BM Ë平 面 BEC 所以 MM/平面 ADEF；6 分 （II）解：在矩形 ADEF 中，EDAD，又因为平面 ADEF平面 ABCD，且平面 ADEF平面 ABCDAD， 所以 ED平面 ABCD，又 ADCD， 所以，取 D 为原点，DA、DC、DE 所在直线分别为 _，y，z 轴， 建立直角坐标系，则 D（0,0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，4，0） ，E（0，0，3） 设( , , )m_ y z= u r 为平面 BEC 的一个法向量。 因为BC uuu r （2，2，0）

7、，CE uuu r （0，4，3） ， 所以，令 _1，得 y1，z，所以， 220 430 _y yz -+=ì í- += î 4 3 4 (1,1, ) 3 m = u r (2,2,0)DB = uuu r 设 DB 与平面 BEC 所成角为 ，则 sin=|cos,DB m<> uuu r u r |= | | DB m DBm · uuu ru r uuu ru r g = 4 16 441 1 9 = +×+ + 3 17 17 所以，DB 与平面 BEC 所成角的正弦值 为13 分 3 17 17 18 （本小题满分

8、 13 分） （1）解：解：因为，( )ln2f_¢=+ 令，得；令，得；( )0f_¢> 2 1 _ e >( )0f_¢< 2 1 0_ e << 所以的递增区间为，的递减区间为3 分( )f _ 2 1 (,) e +¥( )f _ 2 1 (0,) e 因为，( )12 f ¢ =( )11f= 所以函数的图像在处的切线方程；5 分( )f_1_ =21y_=- （2）解：解：由（1）知，所以对任意恒成立，( )lnf_=+( )(1)k _f _-<1_ > 即对任意恒成立6 分 ln 1 _

9、 k _ + < - 1_ > 令，则，7 分( ) ln 1 _ g _ _ + = - ( ) () 2 ln2 1 _ g_ _ - ¢= - 令，则，( )ln2h _=-()1_ >( ) 11 10 _ h _ _ - ¢= -=> 所以函数在上单调递增8 分( )h _()1,+¥ 因为，所以方程在上存在( )( )31 ln30,422ln20hh= -<=->( )0h _ =()1,+¥ 唯一实根，且满足 0 _() 0 3,4_ Î 当，即，当，即， 0 1( )0_h _<<

10、;<时，( )0g _¢< 0 ( )0_h _>>时，( )0g _¢> 10 分 所以函数在上单调递减，在上单调递增( ) ln 1 _ g _ _ + = - () 0 1,_() 0, _ +¥ 所以12( )( ) ()() () 0000 00 min 00 1 ln12 3,4 11 _ g _g _ _ +- =Îéù ëû - 分 所以故整数的最大值是 313 分( )() 0 min 3,4kg _<=Îéù ë

11、1; k 19 （本小题满分 13 分） 解：(1)由已知，圆的圆心为，半径.22 2: (1)17C_y+= 2(0, 1) C-17r = 由题设圆心到直线的距离，即， 1: 4,(0)ly_m m=+< |1| 17 m d + = |1| 17 17 m+ = 解得，.3 分18m = -(16)m =舍去 设与抛物线的切点为，又，得，.1 l 000 (,)A _y4ya_ ¢ = 0 44a_ =Þ 0 1 _ a = 0 2 y a = 代入直线方程得：， 24 18 aa =- ，.5 分 1 9 a =18m = - (2)由(1)知抛物线方程为，焦

12、点.1 C 2 2 9 y_= 9 (0, ) 8 F 设，由(1)知以为切点的切线 的方程为.2 11 2 ( ,) 9 A _Al 2 111 24 99 y_ _-=- 令，得切线 交 y 轴的 B 点坐标为0_ =l 2 1 2 (0,) 9 _- 所以， 2 1 1 29 (,) 98 _ FA_=- u u u r 2 1 29 (0,) 98 _ FB =- u u u r ， 1 9 ( ,) 4 FMFAFB_=+=- uuu u ruu u ruu u r ，即点在定直线上.8 分 1 9 ( ,) 8 M _ -M 9 8 y = - (3)设直线，代入 9 : 8 MF

13、 yk_=+ 2 1 2 9 y_= 得，设，的横坐标分别为， 2 29 0 98 _k_-=PQ P _ Q _ 则， 9 2 81 16 0 PQ PQ k _ _ ì += ï ï ï ×= - í ï D >ï ï î ； 2 1198181 | | 22444 NPQPQ k SNF_=××-=´´+ V ，0k ¹ ，即的面积 S 范围是.13 分 81 16 NPQ S> V NPQ 81 (,) 16 +¥

14、20 （本小题满分 14 分） 由题意知 03 61 2 633 _ _ _ £<ì ï í -³ ï +î 或 36 1 1 63 _ _ ££ì ï í -³ ï î 解得13_£<或34_££,即14_££； 能够维持有效的抑制作用的时间:4 13- =小时；4 分 由知,4_ =时第二次投入 1 单位洗衣液,显然( )g _的定义域为410_££； 当46_

15、££时,第一次投放 1 单位洗衣液还有残留,故( )g _=1 6 _æö - ç÷ èø + (4)6 2 6(4)3 _ _ éù- - êú -+ ëû =11 6 331 _ _ - - ； 当610_<£时,第一次投放 1 单位洗衣液已无残留,故 当67_<£时, (4)6 ( )2 6(4)3 _ g _ _ - =- -+ = 86 361 _ _ - - ； 当710_<£时, 45 ( )1

16、 636 _ g _ - = -=-； 所以 116 46 331 86 ( )67 361 5 710 36 _ _ _ _ g _ _ _ _ ì -££ ï - ï ï =-<£ í - ï ï -<£ ï î 7 分 当46_££时, 116 ( ) 331 _ g _ _ =- - = 66 2 331331 _ _ - -+£-× - = 10 2 2 3 -； 当且仅当 16 31 _ _ - = -

17、 时取“=”,即1 3 24,6_ = +Î； 当610_<£时,第一次投放 1 单位洗衣液已无残留, 当67_<£时, 22 61(5)(7) ( )0 (1)66(1) _ g _ _ +- ¢=-=> - ,所以( )g _为增函数； 当710_<£时,( )g _为减函数;故 ma_ ( )g _= 1 (7) 2 g=, 又 17 12 2289288 (2 2)=0 3266 - -=>, 第一次投放1 3 2+小时后, 水中洗衣液浓度的达到最大值为102 2 3 -； 10 分 （3）当46_

18、3;£时 46 2(1)(2) 661 _ ya _ - =-+- - 826 2 361 aaa _ _ + =+- - 11 10 1526 (1) 661 aaa _ _ + =-+ - 分 若时， 10 4 7 a<£ ma_ 2652 (1) 612 aaa u_ _ + =-+= - 恒成立； min 10 155221 6233 aa y + =-=³ 若时， 10 1 7 a££ ma_ 266150 (1) 6130 aaa u_ _ + =-+= - ， min 10 1561507 63015 aaa y + =-= 由得， ；综上，即的最小值为14 71 153 a ³ 5 7