泰勒公式及其应用88497

1、 泰勒公式及其应用许文锋华南师范大学 数学科学学院 信息与计算科学专业 2007级6班 指导老师：谢骊玲中文摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在高等数学、数值分析、数值最优化理论、其他非数学领域等应用,其中包括利用泰勒公式求近似值、证明积分、不等式、求行列式等高等数学问题；在数值分析问题上面主要讨论了泰勒公式在数值微积分及微分方程数值解上的应用；在最优化问题上面，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用.关键词 ：泰勒公式，高等数学，数值分析，数值最优化，应用Taylor Formula and its ApplicationXu WenFeng（Gra

2、de 07,Class 6, Major in Information and Computing Science,School of Mathematics,South China Normal University)Tutor:Xie LiLingAbstractThis paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation.And we discuss the application of Taylor formula in detail in some fields such as advanced mathem

3、atics, numerical analysis, numerical optimization theory and other applications in some nonmathematical fields ,including using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such as approximation, proof of integral, inequality, solution of determinant etc. In numerical analysis we main

4、ly discuss the applications of Taylor formula in numerical differentiation and numerical integration.As for numerical optimization ，we discuss the applications of Taylor formula in theoretical proof and algorithm design.Keyword ： Taylor formula, advanced mathematics, numerical analysis, numerical op

5、timization, applications一、前言 对于某些函数，如果我们要求其在某一点上的值，有时是无法通过直接计算得到的.在学习了导数和微分概念时我们已经知道，如果函数在点可导，则，即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小.然而在通常的场合中，取一次的多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，因此我们提出了用一个多项式去逼近一个函数，泰勒公式就是满足上述逼近性质的多项式.泰勒公式尤其在一些近似计算和数值方法上发挥着举足轻重的作用.本文分为三部分，第一部分是给出了本文所需要用的定理和推论；第二部分是一元泰勒公式的推导和证明以及多元泰勒公式的介绍；第三部

6、分是通过多个实例介绍泰勒公式的应用，包括在高等数学和数值计算方面的应用。二、预备知识及定理1.柯西中值定理设1函数满足是在上连续，在内可导， 则至少存在一点 ，使2.拉格朗日中值定理 取时候，就有于是就得到了拉格朗日中值定理.3.连续函数介值定理函数在闭区间上连续，则在该闭区间必有最大值和最小值，且.那么，对于在开区间内至少存在一点，使得 特别地，当时，在开区间内至少存在一点，使得4.比较原则 设和是两个正项级数，如果存在某整数 ，对于一切都有 则 (i) 若级数收敛，则级数也收敛； (ii)若级数发散，则级数也发散.三、一元泰勒公式 若函数在含有的开区间内有直到阶的导数，则当函数在此区间内时

7、，可展开为一个关于的多项式和一个余项的和：其中 在和之间的一个数，该余项为拉格朗日余项。1.泰勒公式的推导过程我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有，其中误差是在即的前提下才趋于0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：来近似表达函数并且误差为； 设多项式满足 因此可以得出.显然，所以；，所以；，所以，所以有因此，多项式的各项系数已经全部求出了，多项式为： 其实要推出泰勒公式的表达式并不难，关键就是要推出其误差表达式，即余项。2.泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设于是有所以有根据柯西中值定理

8、可得： 是在和之间的一个数；对上式再次使用柯西中值定理，可得： 是在和之间的一个数；连续使用柯西中值定理次后得到： 这里是介于和之间的一个数。由于，是一个常数，故，于是得到：，综上可得，余项： 介于和之间此余项又称为拉格朗日余项。到此为止，我们知道了泰勒公式的一般形式可以表示为：其中为泰勒公式的余项，它可以有一下几种形式：(1)佩亚诺（Peano）余项 (2)施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项 ,介于和之间(3)拉格朗日(Lagrange)余项 介于和之间(4)柯西(Cauchy)余项 介于和之间(5)积分余项 泰勒公式的特殊形式：当取的时候此时泰勒公式为：为相应的余项，

9、该式叫做泰勒公式的麦克劳林展开，也叫做麦克劳林公式；麦克劳林公式主要应用在一些比较特殊的函数，如三角函数，对数函数等.如：对或的麦克劳林展开进行求值计算；欧拉公式 的证明与应用等等.运用麦克劳林展开可以得到一些常用的泰勒展开式：.四、多元泰勒公式除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常的广泛；特别是在微分方程数值解和最优化上面，有着很大的作用。1.二元泰勒展开引人记号：， 则二元函数在处的泰勒展开为：是二元泰勒公式的余项由于二元泰勒展开比较复杂，所以在一般的应用之中，只作二阶泰勒展开.2.二元泰勒展开的余项与一元泰勒公式类似，二元泰勒公式的余项分别有：(1)佩亚诺（Peano）余项

10、(2)拉格朗日(Lagrange)余项 ()是和线段上的一点3.多元函数泰勒展开 (1)多元函数一阶泰勒展开 多元函数，则在的一阶泰勒展开为：或对于任意的及任意的，有： (2)在的二阶泰勒展开式 或对于任意的及任意的，有 多元泰勒公式主要应用在微分方程数值解和最优化上面.五、泰勒公式的应用1.泰勒公式在高等数学中的应用(1)利用泰勒公式求极限例1.1 求 解：由泰勒公式 因此有 (2)利用泰勒公式求高阶导数例1.2 求函数在处的高阶导数.解：设 则 而且在的泰勒展开为： 从而 故 所以(3)泰勒公式在定积分上的应用可利用泰勒展开证明些定积分问题.例1.3 在上，且，试证明证明：任取，利用泰勒公

11、式及条件，可得其中则 所以有即 ()设,使，根据及条件 即 (4)利用泰勒公式证明根的存在唯一性例1.4 设在上二阶可导,且,对,证明：方程在内存在唯一实根. 证明：因为,所以单调减少,又,因此时,故在上严格单调减少.在点展开一阶泰勒公式有由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根.(5)利用泰勒公式判断级数的敛散性例1.5 判定级数的敛散性分析：判定级数的收敛性有多种方法，本例存在对数项，因此首先考虑的就是把指数去掉，因此先用泰勒展开去掉指数项，然后再化简。解：由（麦克劳林）泰勒公式有,所以所以故该级数是正向

12、级数.又因为所以因为收敛,所以由正向级数比较原则知级数 收敛(6)利用泰勒公式求定积分的近似值例1.6 求定积分的近似值 分析：由于被积函数的原函数不是初等函数，用牛顿-莱布尼兹公式无法求出其精确的解.若用泰勒展开，就能方便的求得其近似解.解：由泰勒公式得 故有 所以由牛顿-莱布尼兹公式 因为, 故(7)利用泰勒公式求行列式的值例1.7 求阶行列式的值= 分析：用行列式的性质直接求解该行列式是比较困难的，但是如果把行列式看作是某个变量的泰勒展开，然后再求解就非常简单了.解：设 则在上的泰勒展开为其中将列乘(-1)+第列，故又对求一阶导数 因此有根据递推关系有 再有递推关系有 有上面两个递推关系

13、可以得到： 所以 如果，则 若 ，则 因此行列式2.泰勒公式在数值分析上面的应用(1)泰勒公式在插值问题中的应用 泰勒公式的思想就是用一个多项式去逼近某个连续函数，从而可以简化计算.在数值分析之中，多项式插值是一种常见的逼近法，利用泰勒公式，也能实现插值近似计算.例2.1 对进行插值计算，求其近似值利用泰勒公式将下式展开成泰勒级数形式 (2.1)假设因子为已知的.将该级数在项后截断，这表示误差(在圆括号内)最多为，其中为相邻两个插值点之间的间隔.假设，这个误差就是.它说明，若在项处停止，在计算的值时可以精确到5位十进制数(不是指小数位数).例如，用表1中的数据，的插值进行如下，取 它的全部5位

14、都是正确的，我们的配置多项式(2.1)也会产生同样的结果. 表12.602.652.702.752.8013.46414.15414.88015.64316.445(2)泰勒公式在数值微分和积分的应用(i)利用泰勒公式可以构造各阶精度的数值微分公式 例如 设节点为等距的，即为一个正整数，有阶的微商，对，利用泰勒展开公式有 其中.分别取可以得到： 其中.忽略各式中的余项，可得用差商近似微商的如下数值微分公式： 一阶微商的向前差商近似公式： 一阶微商的向后差商近似公式： 一阶微商的中心差商近似公式： 二阶微商的中心差商近似公式： 当的各阶导函数有界时，可知道，一阶微商的向前、向后差商近似的截断误差

15、量级是，一阶微商的中心差商近似的截断误差量级是，二阶微商的中心差商近似的截断误差量级是.(ii)利用泰勒公式可以推导出数值积分中点公式、梯形公式与Simpson公式的截断误差 设，且已知处的函数值,则我们可以得到一个最简单的求积公式： 该公式称为中点求积公式； 若已知两点的函数值为，则我们可以作的一次插值多项式 从而有 该公式称为梯形公式； 若已知三点的函数值，则我们可以作的二次插值多项式 从而有 该求积公式称为Simpson公式或抛物线公式.例2.2利用泰勒公式证明中点公式的截断误差为 ，证明：假设将在处泰勒展开得对上式两边同时关于在区间上进行积分有 即 同理利用泰勒公式能推导出梯形公式的截

16、断误差为 Simpson公式的截断误差为 (iii)泰勒公式在数值分析中的其他应用，比如利用泰勒公式在Richardson外推加速收敛数值计算方法方面的应用.例2.3 依据的值，用外推算法求的近似值. 解：将在处进行泰勒展开，有 整理得 由于展开式余项仅含的偶次项，故可以用外推技术，利用公式 计算如下32.59807623.13397463.141580163.00000003.141104893.1058286故(iv)泰勒公式是一些数值迭代法的基础，利用泰勒公式能推导出某些数值迭代法，如牛顿(Newton)迭代法.例2.4 牛顿迭代法的推导 设在其零点附近充分光滑，都在附近.由泰勒展开式

17、介于与之间当很小时,忽略右端最后一项高阶小量，从而有 这样我们有，即可以构造迭代序列 ， 这就是牛顿(Newton)迭代法.3泰勒公式在微分方程数值解的应用在微分方程数值方法主要是求初值问题的解.利用泰勒公式可以知道，初值问题的单步法为 证明：设初值问题的解充分光滑.将在处用泰勒公式展开： （3.1）其中，（3.2）令 （3.3）则可将3.1改写为 舍去余项，则得 一般来说，已知，则 ， 于是就得到了初值问题的单步法.4.多元泰勒公式在数值最优化上的应用(1) 泰勒公式在数值最优化理论证明中的应用 (i)定理4.1(无约束问题解的一阶必要条件) 设连续可微，是无约束问题的一个局部最优解，则满足

18、 证明：任给，由局部最优解的定义和多元泰勒展开，对任意充分小的数，有 不等式的两端同时减去后除以，并令可得.特别令得 从而， (ii)定理4.2(无约束问题解的二阶必要条件) 设二次连续可微，是无约束问题的一个局部最优解，则满足且半正定. 证明：由定理4.1，只需证明半正定.任给，由最优解的定义和二阶泰勒展开，对任意充分小的数，有 由和的任意性得 即半正定.(iii)定理4.3(无约束问题解的二阶充分条件) 二次连续可微.若满足且正定，则是无约束问题的一个严格局部最优解.证明：由于正定，故存在常数，使得对所有的，正定.由此，对任意，.由泰勒展开知，存在使得 即是问题的一个严格局部最优解.(2)

19、 泰勒公式在数值最优化算法设计中的应用我们知道最优化算法中我们需要知道两个重要的条件，一个的算法迭代步长，而另外一个就是算法的下降方向，利用泰勒公式展开，能帮助我们确定下降算法的方向. 例4.1 求最速下降法的下降方向. 解： 在的一阶泰勒展开为 若设 则可以知道为在的下降方向. 对任意，由Cauchy-Schwarz不等式，得 当是上式不等式成立，这时我们称为在处的最速下降方向5.泰勒公式在其他领域的应用分子动力学数值方法广泛应用于计算化学、计算物理、材料科学以及生物科学.等领域中一个经典体系的Hamilton量等于它的总能量 这里是动能，为势能，是粒子的动量，是粒子的质量，的粒子的位置.由

20、Newton第二定律有 （5.1）这里是作用于粒子上的力 由的定义，更加一般的运动方程式是 （5.2）求解方程组（5.1）或（5.2）的方法就是分子动力学方法.对此我们仅考虑分子动力学数值方法，其中不考虑分子动力学其他方面.Verlet方法Verlet方法是利用泰勒展开的一种求解方法.由泰勒展开式有 这里是时间步长，上面两式相加，可得 然后应用中心差商可得到 6.总结 本文主要介绍了泰勒公式在高等数学和数值分析上面的应用，通过列举大量的例题证明，说明了从泰勒公式的推导及其到在各领域上的应用，让我们了解到泰勒公式的重要性，只要我们细心观察，认真去总结，我们就会发现我们的学习和生活处处都可以找到泰勒公式的影子.参