浙教版相似三角形压轴题

1、相似三角形内容一选择题（共6小题）1（2016徐州模拟）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E若抛物线y=ax24ax+10（a0且a为常数）的顶点落在ADE的内部，则a的取值范围是（）ABCD2（2013乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且mk+1=2k+n=1，则代数式2k28k+6的最小值为（）A2B0C2D2.53（2009温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示已

2、知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A第4张B第5张C第6张D第7张4（2013春惠山区期中）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为（）A2.5B3.25C3.75D45（2008荆州）如图，直角梯形ABCD中，BCD=90°，ADBC，BC=CD，E为梯形内一点，且BEC=90°，将BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到DCF，连EF交CD于M已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（）A5：3B3：5C4：3D3：46（2005湖州）如图，在等边ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，

3、BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F若=6，则ABC的边长为（）ABCD1二填空题（共12小题）7（2009江津区）锐角ABC中，BC=6，SABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MNBC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC公共部分的面积为y（y0），当x=，公共部分面积y最大，y最大值=8（2013长春模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是9（2010江津区）已知：在面积为7的梯形ABCD中，ADBC

4、，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F，则PEF面积最大值是10（2009德州）将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知AB=AC=3，BC=4，若以点B、F、C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是11（2015成都校级模拟）如图，等腰ABC中，底边BC=a，A=36°，ABC的平分线交AC于D，BCD的平分线交BD于E设k=，则DE=12（2015春会宁县校级月考）如图，在RtABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形则a

5、、b、c满足的关系式是13（2011春扬州期末）如图，在ABC中，AB=AC=2，BAC=20°动点P，Q分别在直线BC上运动，且始终保持PAQ=100°设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系式为14（2010菏泽）如图，三角板ABC的两直角边AC，BC的长分别是40cm和30cm，点G在斜边AB上，且BG=30cm，将这个三角板以G为中心按逆时针旋转90°，至ABC的位置，那么旋转后两个三角板重叠部分（四边形EFGD）的面积为cm215（2012崇川区校级三模）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1A2B2A

6、3B3，A2B1A3B2A4B3若A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，9，则图中三个阴影三角形面积之和为16（2016贵阳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于17（2014和平区一模）如图，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为18（2013百色）如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PEDP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm三解答题（共7小题）19（2011厦门）已知抛物线y=x2+2m

7、xm2+2的顶点A在第一象限，过点A作ABy轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CDx轴于点D并交抛物线于点P（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求OEP的面积S的取值范围20（2016泰州校级二模）如图，二次函数y=a（x24x+3）（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点（1）若ABD为直角三角形，求此二次函数的解析式；（2）P为抛物线对称轴上一点，且P点的纵坐标t是大于3的常数，试问是否存在一个正数a，使得四边形PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（

8、即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由（3）是否存在实数a，使得OAC沿AC翻折后，点O的对应点O落在ABC的外部？若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由21（2011广州）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1S2为常数，并求出该常数22（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂

9、线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值23（2014西宁）如图，抛物线y=x2+x2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将BDC绕点C逆时针旋转，使

10、点D旋转到y轴上得到FEC，连接BF（1）求点B，C所在直线的函数解析式；（2）求BCF的面积；（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由24（2011遵义）如图，梯形ABCD中，ADBC，BC=20cm，AD=10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EFBC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0t10）（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平

11、行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由25（2014春崇安区校级期中）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF（1）求证：ABGAFG； BG=GC；（2）求FGC的面积相似三角形参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1（2016徐州模拟）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E若抛物线y=ax24

12、ax+10（a0且a为常数）的顶点落在ADE的内部，则a的取值范围是（）ABCD【分析】利用对折的性质，得到线段的关系，用勾股定理建立方程，最后用相似AFGABD得到比例式，计算出点G，H的纵坐标即可【解答】解：如图，过点E作EMy轴于M，交BC延长线于N，AME=DNE=90°，AEM=DEN，AEMEDN，设AM=BN=m，ME=你，EN=MNME=3n，DN=BNBD=m3代入得，根据勾股定理得，m2+n2=（3）2，由得n1=3，m1=0（舍）n2=2，m2=5，点A的坐标为（0，4），点D（3，1），DE=BD=3，AB=3，AF=2，E（2，1）AFG=ABD=90

13、76;，FAG=BAD，AFGABD，即：=，FG=2EG=EFFG=3点G的纵坐标为2y=ax24ax+10=a（x2）2+（1020a），此抛物线y=ax24ax+10的顶点必在直线x=2上又抛物线的顶点落在ADE的内部，此抛物线的顶点必在EG上11020a2，故选B【点评】此题是二次函数的综合题，主要考查对折的性质，解本题的关键是要看出抛物线的对称轴是定值，本题的难点是应从哪里入手2（2013乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且mk+1=2k+n=1，则代数式2k28k+6的最小值为（）A2B0C2D2.5【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k=时，代数式2k28k

14、+6的最小值求出即可【解答】解：m，n，k为非负实数，且mk+1=2k+n=1，m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：，0k，2k28k+6=2（k2）22，a=20，k2时，代数式2k28k+6的值随k的增大而减小，k=时，代数式2k28k+6的最小值为：2×（）28×+6=2.5故选：D【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据二次函数增减性得出k=时，代数式2k28k+6的最小值是解题关键3（2009温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条

15、中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A第4张B第5张C第6张D第7张【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则，解得x=4.5，所以另一段长为22.54.5=18，因为18÷3=6，所以是第6张故选：C【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用4（2013春惠山区期中）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为（）A2.5B3.25C3.75D4【分析】根据相

16、似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可【解答】解：斜边l所分得的三个三角形相似，根据相似的性质可知=，解得x=2.5，即阴影梯形的上底就是32.5=0.5再根据相似的性质可知=，解得：x=1，所以梯形的下底就是31=2，所以阴影梯形的高是（2+0.5）×3÷2=3.75故选：C【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例5（2008荆州）如图，直角梯形ABCD中，BCD=90°，ADBC，BC=CD，E为梯形内一点，且BEC=90°，将BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到DCF，连EF交CD

17、于M已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（）A5：3B3：5C4：3D3：4【分析】由题意可得BCEDCF，从而得到CD=BC，根据相似三角形的判定方法得到ECMFDM，则勾股定理可求得DF的长，从而可得到DM：MC的值【解答】解：由题意知BCE绕点C顺时转动了90度，BCEDCF，ECF=DFC=90°，CD=BC=5，DFCE，ECD=CDF，EMC=DMF，ECMFDM，DM：MC=DF：CE，DF=4，DM：MC=DF：CE=4：3故选C【点评】本题利用了旋转后的图形与原图形全等，及全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质求解6（2005湖州）如图，在等边AB

18、C中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F若=6，则ABC的边长为（）ABCD1【分析】过点A作直线PQBC，延长BE交PQ于点P；延长CF，交PQ于点Q证明BCEPAE，CBFQAF，构造+与BC的关系求解【解答】解：过点A作直线PQBC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点QPQBC，PQDBCD，点D在ABC的中位线上，PQD与BCD的高相等，PQDBCD，PQ=BC，AE=ACCE，AF=ABBF，在BCE与PAE中，PAE=ACB，APE=CBE，BCEPAE，=同理：CBFQAF，=+，得：+=+=3，又=6，AC

19、=AB，ABC的边长=故选C【点评】本题综合考查了三角形中位线定理及三角形的相似的知识，解题的关键是作平行线构造相似，从而得到已知与所求线段的关系二填空题（共12小题）7（2009江津区）锐角ABC中，BC=6，SABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MNBC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC公共部分的面积为y（y0），当x=3，公共部分面积y最大，y最大值=6【分析】公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小为正

20、方形时可求出面积的值，为矩形时需求面积表达式再求最大值【解答】解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小（1）求公共部分是正方形时的面积，作ADBC于D点，交MN于E点，BC=6，SABC=12，AD=4，MNBC，即，解得x=2.4，此时面积y=2.42=5.76（2）当公共部分是矩形时如图所示：设DE=a，根据得=，所以a=4x，公共部分的面积y=x（4x）=x2+4x，0，y有最大值，当x=3时，y最大值=6综上所述，当x=3时，公共部分的面积y最大，最大

21、值为6【点评】此题需分类讨论，综合比较后得结论8（2013长春模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是【分析】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围【解答】解：顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内

22、部）的一个动点，当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a（x1）2+3， 解得a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a（x3）2+2， 解得a；顶点可以在矩形内部，a故答案为：a【点评】本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决9（2010江津区）已知：在面积为7的梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ

23、交DQ于F，则PEF面积最大值是【分析】设PD=x，SPEF=y根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明PEFQFE、AEPAQD、PDFADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入SPEF=（SAQDSDPFSAPE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则PEF面积最大值【解答】解：设PD=x，SPEF=y，SAQD=z，梯形ABCD的高为h，AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，解得PEDQ，PEF=QFE，EPF=PFD，又PFAQ，PFD=EQF，EPF=EQF，EF=FE，PEF

24、QFE（AAS），PEDQ，AEPAQD，同理，DPFDAQ，=，=（）2，SAQD=3，SDPF=x2，SAPE=（3x）2，SPEF=（SAQDSDPFSAPE）÷2，y=3x2（3x）2×=x2+x，y最大值=，即y最大值=PEF面积最大值是【点评】本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质10（2009德州）将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知AB=AC=3，BC=4，若以点B、F、C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是或2【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑BFC与

25、ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论【解答】解：根据BFC与ABC相似时的对应关系，有两种情况：BFCABC时，=，又AB=AC=3，BC=4，BF=BF，=，解得BF=；BCFBCA时，=，AB=AC=3，BC=4，BF=CF，BF=BF，而BF+FC=4，即2BF=4，解得BF=2故BF的长度是或2故答案为：或2【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比11（2015成都校级模拟）如图，等腰ABC中，底边BC=a，A=36°，ABC的

26、平分线交AC于D，BCD的平分线交BD于E设k=，则DE=a【分析】根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求得【解答】解：AB=AC，A=36°ABC=ACB=72°，BD平分ABC，ABD=DBC=36°，在ADB中，BDC是外角，BDC=A+ABD=72°，AD=BD，BD=BC，ABCBDC，AB：BC=BC：CD，同理DCE=BCE=36°DEC=36°+36°=72°，BDC=72°CDEABC，=设CD=x，则BD=BC=AD=a，=，解得x=a或

27、x=a（舍去），=，解得DE=a，故答案为：a【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形对应边成比例列出等式，注意把不合题意的解舍去12（2015春会宁县校级月考）如图，在RtABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形则a、b、c满足的关系式是b=a+c【分析】因为RtABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是DHE和GQF，只要它们相似即可得出所求的结论【解答】解：如图，DHABQFEDH=A，GFQ=B；又A+B=90°，EDH+DEH=90°，GFQ+FGQ=90°；EDH=FGQ，DE

28、H=GFQ；DHEGQF，=，=，ac=（bc）（ba）b2=ab+bc=b（a+c），b=a+c【点评】此题考查了相似三角形的判定，同时还考查观察能力和分辨能力13（2011春扬州期末）如图，在ABC中，AB=AC=2，BAC=20°动点P，Q分别在直线BC上运动，且始终保持PAQ=100°设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系式为【分析】由AB=AC，BAC=20°，得ABC=80°，即P+PAB=80°，由BAC=20°，PAQ=100°，得PAB+QAC=80°，由此可得P=QAC，同理可证PAB=Q

29、，从而证明PABAQC，利用相似比求函数关系式【解答】解：AB=AC，BAC=20°，ABC=（180°BAC）÷2=80°，即P+PAB=80°，又BAC=20°，PAQ=100°，PAB+QAC=80°，P=QAC，同理可证PAB=Q，PABAQC，=，即=，y=故答案为：y=【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是利用等腰三角形的性质，外角的性质证明角相等，从而证明三角形相似，利用相似比得函数关系式14（2010菏泽）如图，三角板ABC的两直角边AC，BC的长分别是40cm和30cm，点G在斜边AB上，

30、且BG=30cm，将这个三角板以G为中心按逆时针旋转90°，至ABC的位置，那么旋转后两个三角板重叠部分（四边形EFGD）的面积为144cm2【分析】把所求重叠部分面积看作AFG与ADE的面积差，并且这两个三角形都与ABC相似，根据勾股定理求对应边的长，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可【解答】解：由勾股定理得AB=50，又BG=30，AG=ABBG=20，由ADGABC得，=，即=，解得DG=15，AD=25，AD=AGDG=AGGD=2015=5，由ADEABC，可知=，由AGFACB，可知根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知S四边形EFGD=SAFGSADE

31、=SABCSABC=××40×30=144cm2【点评】本题考查了旋转图形的面积不变，勾股定理、相似三角形的性质的运用15（2012崇川区校级三模）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1A2B2A3B3，A2B1A3B2A4B3若A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，9，则图中三个阴影三角形面积之和为30【分析】已知A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，9，且两三角形相似，因此可得出A2B2：A3B3=1：3，由于A2B2A3与B2A3B3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积

32、比为1：3，根据A3B2B3的面积为9，可求出A2B2A3的面积，同理可求出A3B3A4和A1B1A2的面积即可求出阴影部分的面积【解答】解：A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，9，又A2B2A3B3，A2B1A3B2，OB2A2=OB3A3，A2B1B2=A3B2B3，B1B2A2B2B3A3，=，=，A3B2B3的面积是9，A2B2A3的面积为=×SA3B2B3=×9=3（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：A3B3A4=3×SA3B2B3=3×9=27；A1B1A2的面积=SA2B1B2=×1=故三个阴影面积之和=+3+2

33、7=30故答案为：30【点评】本题考查了平行线分线段成比例、三角形的面积解题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积16（2016贵阳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于【分析】根据ABEECF，可将AB与BE之间的关系式表示出来，在RtABE中，根据勾股定理AB2+BE2=AC2，可将正方形ABCD的边长AB求出，进而可将正方形ABCD的面积求出【解答】解：设正方形的边长为x，BE的长为aAEB+BAE=AEB+CEF=90°BAE=CEFB=CABE

34、ECF=，即=解得x=4a在RtABE中，AB2+BE2=AE2x2+a2=42将代入，可得：a=正方形ABCD的面积为：x2=16a2=【点评】本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题隐含了整体的数学思想和正确运算的能力注意后面可以直接这样x2+a2=42，x2+（）2=42，x2+x2=42，x2=16，x2=无需算出算出x17（2014和平区一模）如图，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为【分析】连接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出ODAOEB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE的值【解答】解：连接OA、O

35、D，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，AOBC，DOEF，EDO=30°，BAO=30°，OD：OE=OA：OB=：1，DOE+EOA=BOA+EOA 即DOA=EOB，DOAEOB，OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1=，故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可18（2013百色）如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PEDP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm【分析】设AP=x，B

36、E=y通过ABPPCQ的对应边成比例得到=，所以=，即y=x2+x利用“配方法”求该函数的最大值【解答】解：设AP=x，BE=y如图，四边形ABCD是正方形，A=B=90°PEDP，2+3=90°，1+2=90°1=3，ADPBPE，=，即=，y=x2+x=（x5）2+（0x10）；当x=5时，y有最大值故答案是：【点评】本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法”三解答题（共7小题）19（2011厦门）已知抛物线y=x2+2mxm2+2的顶点A在第一象限，过点A作ABy轴于点

37、B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CDx轴于点D并交抛物线于点P（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求OEP的面积S的取值范围【分析】（1）根据题意得顶点A的坐标为（2，a），然后设P（1，n）代入x=，得A点的横坐标为m，求得函数的解析式，把P点的坐标代入得n=1，从而求得函数的解析式；（2）把抛物线化为顶点式：y=（xm）2+2，求得其顶点坐标，设C（n，2），然后表示出P（n，（nm）2+2）根据AC=CP求得mn的值，然后表示出OB、OE的值从而表示出OPE的面积，进而求得面积的取值范围【解答】解：

38、（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），设P（1，n）据x=，得A点的横坐标为m，即m=2，所以y=x2+4x2，把P点的坐标代入得n=1，即P点的坐标为（1，1）（2）把抛物线化为顶点式：y=（xm）2+2，可知A（m，2），设C（n，2），把n代入y=（xm）2+2得y=（nm）2+2，所以P（n，（nm）2+2）AC=CPmn=2+（mn）22，即mn=（mn）2，mn=0或mn=1，又C点不与端点A、B重合mn，即mn=1，则A（m，2），P（m1，1）由AC=CP可得BE=ABOB=2OE=2m，OPE的面积S=（2m）（m1）=（m）2+，边长为正数，2m0，m10，1m2，0S【

39、点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标，并利用题目的已知条件得到有关的方程或不等式，从而求得未知数的值或取值范围20（2016泰州校级二模）如图，二次函数y=a（x24x+3）（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点（1）若ABD为直角三角形，求此二次函数的解析式；（2）P为抛物线对称轴上一点，且P点的纵坐标t是大于3的常数，试问是否存在一个正数a，使得四边形PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由（3）是否存在实数a，使得OAC沿AC翻折后，点O的对应点O落在ABC的外部？

40、若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由【分析】（1）求出A、B、D坐标，理由等腰直角三角形性质即可解决问题（2）存在先求出直线CD解析式，再求出线段CD的垂直平分线的解析式，即可求出点P坐标，观察点P纵坐标即可解决问题（3）存在如图2中，作AFBC，垂足为F，求出OA=AF时，OC的长即可解决问题【解答】解：（1）令y=0，则x24x+3=0，解得x=3或1，A（1，0）B（3，0），又y=a（x2）2a，顶点D（2，a），ABD是直角三角形，DA=DB，|a|=AB，|a|=1，a0，a=1，二次函数解析式为y=x24x+3，（2）存在理由：如图1中，点P在对称轴上，PA=PB，四边形P

41、A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等，PC=PD，设点P（2，t），C（0，3a），D（2，a），直线CD解析式为y=2ax+3a，线段CD的垂直平分线的解析式为y=x+a，点P的纵坐标t=+a，当a=3时，t3，存在一个正数a，使得四边形PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（3）如图2中，作AFBC，垂足为F，当OA=AF=1时，在RTAFB中，AB=2，AF=1，AB=2AF，ABF=30°，在RTBOC中，BOC=90°，OBC=30°，OB=3，OC=OBtan30°=3×=，由图象可知当03a时，即0

42、a时，点O的对应点O落在ABC的外部【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是构建一次函数求出点P坐标，学会添加常用辅助线，第三个问题的关键是求出AF=OA时OC的长，属于中考压轴题21（2011广州）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1

43、时，求证：S1S2为常数，并求出该常数【分析】（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=1a，求出方程ax2+bx+1=0，的b24ac的值即可；（3）设A（a，0），B（b，0），由根与系数的关系得：a+b=，ab=，求出AB=，把y=1代入抛物线得到方程ax2+（1a）x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MNCD于M，交x轴于N，根据CPDBPA，得出=，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1S2的值即可【解答】（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，解得：c=1，答：c的值是1（2）解：把A（1，0

44、）代入得：0=a+b+1，b=1a，即ax2+（1a）x+1=0，b24ac=（1a）24a=a22a+10，a1，答：a的取值范围是a0，且a1；（3）证明：ax2+（1a）x+1=0，（ax1）（x1）=0，B点坐标是（，0）而A点坐标（1，0）所以AB=1=把y=1代入抛物线得：ax2+（1a）x+1=1，解得：x1=0，x2=，过P作MNCD于M，交x轴于N，则MNX轴，CDAB，CPDBPA，=，=，PN=，PM=，S1S2=1，即不论a为何值，S1S2的值都是常数答：这个常数是1【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三

45、角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中22（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD

46、上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MNAC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3设点M的横坐标为x，则求出MN=|x24x|；解方程|x24x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t（0t3），利用平移性质求出S的表达式：S=（t1）2+；当t=1时，s有最大值为【解答】解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）抛物线过原点，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，解得，抛物线的表达式为：y=x2+x（2）存在设直线

47、OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k=，直线OD解析式为y=x设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2+x），MN=|yMyN|=|x（x2+x）|=|x24x|由题意，可知MNAC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3|x24x|=3若x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x=或x=；若x24x=3，整理得：4x212x+9=0，解得：x=存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或（3）C（1，3），D（3，1）易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x如解答图所示，设平移中的三角形为AOC，点C在线段CD上设OC与x轴

48、交于点E，与直线OD交于点P；设AC与x轴交于点F，与直线OD交于点Q设水平方向的平移距离为t（0t3），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，+t），C（1+t，3t）设直线OC的解析式为y=3x+b，将C（1+t，3t）代入得：b=4t，直线OC的解析式为y=3x4tE（t，0）联立y=3x4t与y=x，解得x=t，P（t，t）过点P作PGx轴于点G，则PG=tS=SOFQSOEP=OFFQOEPG=（1+t）（+t）tt=（t1）2+当t=1时，S有最大值为S的最大值为【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平

49、移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法23（2014西宁）如图，抛物线y=x2+x2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到FEC，连接BF（1）求点B，C所在直线的函数解析式；（2）求BCF的面积；（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）

50、根据坐标轴上点的坐标特征可得点B，C的坐标，再根据待定系数法可得点B，C所在直线的函数解析式；（2）根据勾股定理可得BC的长，根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解；（3）存在分两种情况讨论：过A作AP1x轴交线段BC于点P1，则BAP1BOC；过A作AP2BC，垂足点P2，过点P2作P2Qx轴于点Q则BAP2BCO；依此讨论即可求解【解答】解：（1）当y=0时，x2+x2=0，解得x1=2，x2=4，点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0），当x=0时，y=2，C点的坐标分别为（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得直线BC的解析式为y=x2；（2）CDx轴，BDy轴，ECD=90°，点B，C的坐标分别为（4，0），（0，2），BC=2，FEC是由BDC绕点C逆时针旋转得到，BCF的面积=BCFC=