圆周运动典型例题及答案详解

1、“匀速圆周运动”的典型例题WNf【例11如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动.A、B、C三轮的半径大 小的关系是Ra=Rc=2Rb .当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线 速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？【例21 一圆盘可绕一通过圆盘中心 0且垂直于盘面的竖直轴转动. 在圆盘上放 置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么A .木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心B .木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心c 因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的 运动方向相同D 因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所

2、受圆盘对它的摩擦力的方向与木 块的运动方向相反E 因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力【例3】在一个水平转台上放有 A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数 相同.A的质量为2m，B、C各为m. A、B离转轴均为r，C为2r.贝UA 若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动， A、C的向心加速度比B大B 若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C.当转台转速增加时，C最先发生滑动D 当转台转速继续增加时，A比B先滑动【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A、B，相距Lo=O.1m.长L=1m 的柔软细线一端拴在 A上，另一端拴住一个质量为500g的小球

3、.小球的初始位 置在AB连线上A的一侧.把细线拉直，给小球以 2m/ s的垂直细线方向的水 平速度，使它做圆周运动.由于钉子 B的存在，使细线逐步缠在 A、B上.若细线能承受的最大张力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性.通过对运动规律的研究，用递推法 则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义.对本题，还应该熟练掌 握数列求和方法.如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到 细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？【例5】如图（a）所示，在光滑的圆锥顶用长为 L的细线悬挂一质量为m的小球, 圆锥顶角为29，当圆

4、锥和球一起以角速度co匀速转动时，球压紧锥面此时 绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标 原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方 程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子， 演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为 M，在一水平地面运动若自行车 以速度v转过半径为R的弯道.（1）求自行车的倾角

5、应多大？ （ 2）自行车所 受的地面的摩擦力多大？【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量 m=2kg的小球A , L1 和L2的另两端点分别系在一竖直杆的 Oi, 02处，已知OiO2=5m如下图(g = 10m s-2)(1)当竖直杆以的角速度 匀速转动时，02A线刚好伸直且不受拉力求此时 角速度3 1.(2)当OiA线所受力为100N时，求此时的角速度 3 2.【说明】向心力是一种效果力，在本题中 O2A受力与否决定于物体 A做圆周运 动时角速度的临界值在这种题目中找好临界值是关键.例9一辆实验小车可沿水平地面(图中纸面)上的长直轨道匀速向右运动，有 一台发出细光束的激

6、光器装在小转台 M上，到轨道的距离MN为d=10m,如图 所示。转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s,光束转动方向如图箭头所示。当光束与 MN的夹角为45°时，光束正好射到小车 上，如果再经过 t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？(结果保留 二位数字例10图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为 R的 薄壁圆筒(图为其横截面)，转轴的转速是每分钟 n转，一颗子弹沿圆筒的水平 直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从 B点穿出，假设子弹穿壁时速 度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出 A、B两点间的孤长为L,写出 子弹

7、速度的表达式。说明解题过程中，物理过程示意图，是常用的方法，它可以使抽象的物理过程具体形 象化，便于从图中找出各物理量之间关系，以帮助建立物理方程，最后求出答案典型例题答案【例1】【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮 带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相 等根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解.【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设VB=vc= V.由 V= 3 R得两轮角速度大小的关系3 B : 3 c = Rc : Rb=2 : 1.因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即3a=3 B，所以

8、A、B、C三轮角速度之比3 A : 3 B : 3 C=2 : 2 : 1 .因A轮边缘的线速度VA= 3 aRa=2 3 bRb=2vb，所以A、 B、 C三轮边缘线速度之比VA : VB : VC=2 : 1 : 1.根据向心加速度公式a=3 2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比=8 : 4 : 2=4 : 2 : 1.【例2】【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径 指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、 产生向心加 速度的力向心力.以木块为研究对象进行受力分析： 在竖直方向受到重力和盘面的支持力， 它处于 力平衡状态在盘面方向，可能受到

9、的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力）， 木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动.所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心【答】B 【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反， 木块随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方 向应与木块的这种运动趋势方向相反， 似乎应该选D .这是一种极普遍的错误认 识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系.通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的.而静摩擦力的方向总是跟相 对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系.也就是说，对站

10、在盘上跟盘一起转动的观察者， 木块时刻有沿半径向外 滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心【例3】【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转 台的角速度，设为3 .根据向心加速度的公式an=32，已知rA=rBVrc，所以三 物体向心加速度的大小关系为 aA=aB < ac.A错.三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=m® 2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为fA=mA 3 2rA=2m 3 2r，fB=mB 3 2rB=m 3 2r，fc=mc 3 2rc =m 3 2 2r=2m 3 2r.即物体B

11、所受静摩擦力最小.B正确.由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为卩，静摩擦力的最大值可认为是fm=卩mg .由fm = Fn，即 mg = m血匚得不发生滑动的最大角速度为即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小.由于rc> rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体 C最先发生滑动.转速继 续增加时，物体A、B将同时发生滑动.C正确，D错.【答】B、C.【例4】【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在 A、B两钉上，小球的转动半 径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变.【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减 小，

12、线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小.在第一个半圆內 Lv在第二个半圆内匚=m -A ,ta =兀仏) (L-LQv在第三个半圆内=m V1.L 一在躺个半圆内-%七讥宀V2令Tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为=(nL-l + 2 + 3+ - + (n-1) L。,v兀nL -vn(n - 1)2314X8X1-8(8 - 1)2x Q ls,【例5】【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持 力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列 方程，即可求得解答。ySCb）【解】对小球进行受力分析如图（b）所示，根据牛顿第二定律，向

13、心方向上有T sin B -N cos 0 =m w 2r y方向上应有N sin 0 +T cos 0 -G=0 / r = L sin 0 由、式可得T = mgcos 0 +m w 2Lsin 0当小球刚好离开锥面时N=0 （临界条件）则有 Tsin 0 =m w 2r T cos0 -G=0 由、G）式可得=£爲即小球的角速度至少为气匚右J Leos【例6】【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。 当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供， 当水杯在最高 点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所

14、需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律可知：= m *孑，此时重力G与N的合力充当了向心九由上式可知Nl ,当N=0时，帝最小值为極. 即若使水不掉下来，则水杯在最高点的速度预必须大于唐.【例7】【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜从图中可知，当骑 车人拐弯而使身体偏离竖直方向 a角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的 合力Q通过共同的质心0,合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运 动所需要的向心力.【解】（1由图可知，向心力F=Mgtg a,由牛顿第二定律有:mgtgCi（2）由图可知，向心力F可看做合力Q在水

15、平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即f = Mgtg a【例8】【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同【解】（1当02A线刚伸直而不受力时，受力如图所示贝U Ficos 0 =mg Fisin 0 =mR 3 12 由式（2）解得由几何知识知ER0A = R,fi- =4, = 3sin fcos u R=2.4m 9 =37°代入式3仁1.77 (rad/s)(2)当OiA受力为100N时，由(1)式Ficos9 =100X 0.8=80 (N)> mg由此

16、知O2A受拉力F2。则对A受力分析得F1cos9 -F2sin 9 -mg=0 F1sin 9 +F2cos 9 = mR 3 22 由式(4)( 5)得68 - mg cos S 十酉 gm 8mR100X 0,64-20X 0,8 +100X0.622.4474(rad I s)【例9】分析激光器扫描一周的时间T=60s,那么光束在 t=2.5s时间内转过的 角度=1亍激光束在竖直平面内的匀速转动， 但在水平方向上光点的扫描速度是变化的， 这 个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。当小车正向N点接近时，在 t内光束与MN的夹角由45°变为30°dCOS日cos

17、2 e随着9减小，v扫在减小若45°时，光照在小车上，此时v扫v车时，此后光点 将照到车前但v扫J v车不变，当v车v扫时，它们的距离在缩小。解在厶t内，光束转过角度半 x 360°=佇如图，有两种可能1)光束照射小车时，小车正在接近 N点， t内光束与MN的夹角从45°变 为30°，小车走过Li，速度应为由图可知Li=d(tg45° - tg30° )由、两式并代入数值，得vi=1.7m/s (2)光束照到小车时，小车正在远离 N点， t内光束与MN的夹角从45°为 60°，小车走过L2速度为由图可知L2=d(tg60° - tg45° )由、两代并代入数值，得V2=2.9m/s说明光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速 度。很多人把它理解为切向速度的分速度，即cos evco则扫描速度不变化，就谈不上与小车的“追赶”了，将不可能发生经过一段时间， 再照射小车的问题。这一点速度的合成与分解应理解正确。另外光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上有两种