射影面积法求二面角

1、射影面积法（凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。S斜例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD中,AD/ BC,ZABC=90 , S/平面 ABC SA=AB=BC=11AD=2 .求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法1:可用射影面积法来求，这里只要求出SSCD与 Ssab即可，故所求的二面角B应满足cos = _ 5 1=1111 32 32 2例2.（2008理）如图，在三棱锥 P ABC中，AC BC 2， ACB 90；，AP BP AB，PC AC .（I）求证：PC AB;（n）求

2、二面角 B AP C的大小；C解：(I)证略(n) AC BC , AP BP , APC BPC .又 PC * AC, PC BC 又 ACB 90；，即 AC BC，且 AC” PC C ,BC 平面PAC .取AP中点E 连结BE, CE .1 AB BP , BE AP .:EC是BE在平面PAC的射影，CE AP.人。是厶ABE在平面 ACP的射影，于是可求得:AB BP AP 、AC2 CB22、2 , BE .AB2 AE2.6 ,一1i -AE EC 、2 则 S射 S ace AE?CE f2 1,11厂 厂厂S Sabe $AE?EB 22? 63设二面角B AP C的大

3、小为，则cos1、3面角B AP C的大小为arccos3练习1: 如图5, E为正方体 ABCD- AB1C1D的 棱CG的中点，求平面 ABE和底面A1B1C1D1所成 锐角的余弦值2（答案：所求二面角的余弦值为cos 0上）.3图5圏_又：BC AB, AB 什 PA A , BC 平面 BAP. 又 *BC 平面PBC , 平面PBC 平面BAP.由题（1），PC 平面BEF，PC 平面BEF， 平面PBC 平面BEF .:PB . PA2 AB22 2, PF2PCAbBC2PA2 ,sin PBFPFPBF -PB 242.如图一，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是矩形， P

4、A 平面ABCD ,AP AB 2, BC 2 2, E, F 分别是 AD, PC 的中点.（1）证明：PC 平面BEF ; （2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小. 题（1）解略；题（2）中平面BEF与平面BAP夹角即为平面 BEF与平面 BAP所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得 的图形便是二面角的平面角 如图一： PA 平面 ABCD，BC 平面 ABCD, PA BC *所以 PBF是所求二面角的平面角即平面BEF与平面BAP夹角为一.4方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成

5、的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角 如图二：取BC的中点G，连接FG, EG .；E,F 分别是 AD,PC 的中点， EG # AB, FG !j PB .又FGEG G,ABPB B,平面EFG I）平面BAP.二面角B EF G的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.可以证明 BFG为二面角B EF G的平面角，并求出其大小为 一.4方法三：射影法S利用公式cos，其中S表示二面角的一个半平面某个多边形的面积，S表示此S多边形在另一个半平面射影的面积,表示原图形与射影图形所成的二面角如图三：取PB的中点H，连接FH , AH ,记平面BE

6、F与平面BAP夹角为 ，则cosS BAHS BEF所以4，即平面BEF与平面BAP夹角为7- F 为 PC 中点， FH # BC, AE / BC .由解法一知，BC 平面BAP,FH 平面BAP, AE 平面BAP,点F、E在平面BAP的射影分别为H、A.BEF在平面BAP上的射影为 BAH .可以证明 BEF和BAH均为直角三角形:HF #BC,AE#BC,HF BC 1 BC ,四边形HFEA为平行四边形，EF AE.3.已知 ABC是正三角形，PA 平面ABC 且PA=AB=a二面角A-PC-B的大小。B思维二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面

7、角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。解1:（三垂线定理法）取AC的中点E,连接BE过E做EF PC,连接BFPA平面ABC PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC二ACBE平面PAC图1由三垂线定理知BF PCBFE为二面角A-PC-B的平面角设 PA=1,E为 AC的中点，BE,EF二/24tan BFE =匹 6EFBFE =argta n 6解2:（三垂线定理法）FMA为二面角A-PC-B的平面角设 PA=1, AM=,AF=2aP 旦2PE 7sinFMA 二竺AM.427FMA=args in427P图3解3:（投影法）过B作BE

8、AC于E,连结PEPA平面ABC PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACBE平面PACPEC是 PBC在平面PAC上的射影设 PA=1,贝S PB=PC=2 ,AB=1丄近S PEC , S PBC44由射影面积公式得，COSS PEC丄S PBC7argcos4.在单位正方体中，A B1C1D1 ABCD求二面角A AC B的度数。三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面 角的平面角，进而求解。解法一 作AO AC,取AB的中点M ,连结OM .AM .AM ABAM BCABpjBC BAM平面ABC由三垂线逆定理知OMACAOM为所求二面角 AACB的平面角在RtAAC中AOAAACACACSinAOM 誥AOM 60：二射影法利用斜面面积和射影面积的关系:S射影S斜面cos（为斜面