导数在不等式证明中的应用

1、导数在不等式证明中的应用引言不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题

2、、分析问题的能力。本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。一、利用导数的定义证明不等式定义 设函数在点的某领域内有定义,若极限 存在则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作令 ，则上式可改写为所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率( 又称差商)，而导数则为在处关于的变化率。以下是导数的定义的两种等价形式：（1）（2）例1: 设，并且，证明：证明 ，可得出，因为 ,

3、则 又由导数的定义可知所以 ， 即可得 .例2、 已知函数，求证: .分析 令，因为,要证当时，,即,只需证明在上是增函数。证明 令，则，因为 当时, ,所以在上是增函数，就有,，即可得.注:证明方法为先找出，使得恰为结论中不等式的一边；再利用导数的定义并结合已知条件去证明。二、利用微分中值定理证明不等式证题思路 将要证的不等式改写成含变量之商或的不等式，则可尝试利用中值公式或者 并做适当的放缩到待证不等式中1.使用拉格朗日中值定理证明不等式定理 若函数满足如下条件:(i)在闭区间a,b上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得例3、 证明对一切,成立不等式证

4、明 设，则，当时，由可推知，当时，由可推得,从而得到所要证明的结论.注:利用拉格朗日中值定理的方法来证明不等式的关键是将所要证明的结论与已知条件归结为一个函数在某区间上的函数增量，然后利用中值定理转化为其导数的单调性等问题.2使用柯西中值定理证明不等式定理 设函数和满足(i)在a,b上都连续；(ii)在(a,b)内都可导；(iii)和不同时为零；(iv)，则存在，使得例4、证明不等式 分析 该不等式可化为 可设 ，注意到，故可考虑对使用柯西中值定理证明 如上分析构造辅助函数和，则对任意，由柯西中值定理，存在，使得.三、利用函数的单调性证明不等式证明思路 首先根据题设条件及所证不等式，构造适当的

5、辅助函数，并确定区间a,b；然后利用导数确定在a,b上的单调性；最后根据的单调性导出所证的不等式.1.直接构造函数，再运用函数的单调性来证明不等式例5 证，其中分析 欲证，只要证在a,b上单调递增，即证即可若的符号不好直接判定，可借助于，以至于进一步判定.证明 令，则 ，于是时，有单调增加所以,有单调增加，可推得，即.2.先将不等式变形，然后再构造函数并来证明不等式例6、已知,，求证：为(自然对数的底)证明 设则 ，就有 ，因为 ,所以 ，则在上递增；又因，所以，就有从而有， 即.注: 对于一些不易入手的不等式证明, 可以利用导数思想,先通过特征不等式构造一个函数, 再判定其函数单调性来证明不

6、等式成立,这就是利用函数的单调性证明不等式的思想。构造辅助函数有以下几种方法:1.用不等式的两边“求差”构造辅助函数； 2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数； 3.根据不等式两边结构构造“形似”辅助函数； 4.如果不等式中涉及到幂指函数形式,则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.四、利用泰勒公式证明不等式证题思路若在(a,b)内具有(n+1)阶导数，则其中介于与之间 例7、 设在0,1上二阶可导，,且，求证：存在，使得.证明 因在0,1上二阶可导，故在0,1上连续, 据最值定理，必使得为最大值，即=1，且有.而在=1的一阶泰勒展式为 ，其中介于与间分别

7、在上式中令得，.故当时，当时, ，所以存在,使得.注: 用泰勒展式证明不等式的方法是将函数 在所给区间端点或一些特点( 如区间的中点，零点) 进行展开，通过分析余项在点的性质，而得出不等式。值得说明的是泰勒公式有时要结合其它知识一起使用,如当使用的不等式中含有积分号时,一般要利用定积分的性质结合使用泰勒公式进行证明;当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时,需要作一个辅助函数并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙灵活的证明不等式往往使证明方便简捷。五、利用函数的最值(极值)证明不等式由连续函数在a,b上的性质,若函数在闭区间a,b上连续,则在a,b上一定有最大、最小值，这就为我们求连续函

8、数的最大,最小值提供了理论保证。若函数的最大(小)值点在区间(a,b)内,则必定是的极大(小)点。又若在可导,则还是一个稳定点。所以我们只要比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到在a,b上的最大值与最小值。证明方法：先构造辅助函数，再求出在所设区间上的极值与最大、最小值，进而证明所求不等式。例8、 已知: ，证明当时，有证明 令，则令，求得，则因为 ，令 ,求得驻点为，又因为当时，,所以在0,1上的最小值为，最大值为1,从而，r>1.例9、 证明：当时, 证明 作辅助函数，则是在内的唯一驻点，且当时， ；当时， .故是的极大值点，是的极大值.因为当由小变大时，由单调

9、增变为单调减,故同时也是的最大值,所以，当时， ,即.注:在对不等式的证明过程中， 可以以不等式的特点为根据，以此来构造函数，从而运用导数来得出函数的最值，而此项作用也是导数的另一个功能，即可以被用作求函数的最值。例如，当此函数为最大或最小值的时候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永远成立的，从而可以将证明不等式的问题转化到求函数最值的问题上来。六、利用函数的凹凸性质证明不等式证明思路 若，则函数的图形为凹的，即对任意，有，当且仅当时成立例10、设，证明，且等号仅在 时成立分析 将欲证的不等式两边同除以2，变形为由上式看出，左边是函数在，两点处的值的平均值，而右边是它在中点处的函数值这时只需证即可证明构造辅助函数，那么就有：, 成立.故由不等式:可得 也即 且等号仅在 时成立.例11、已知: , ，求证：.证明 设，则 就有是凸函数设，则就有如下式子成立:而又因为有 ，所以 成