常微分方程习题

1、常微分方程习题 李立康习题1.用Euler方法求初值问题在时的近似解（取）。2.初值问题有解。但若用Euler方法求解，对一切和,都只能得到，试解释此现象产生的原因。3.用Euler方法计算在处的值，取，将计算结果与精确值相比较。4.设满足定理2.1的条件，对改进Euler法（2.10）式证明：（1）其局部截断误差为； （2）当时，其整体截断误差满足：（3）方法具有二阶收敛速度且稳定。5.导出用改进Euler法求解计算公式取计算的近似值，并与习题3的结果比较。6.就初值问题分别导出用Euler方法和改进Euler法求近似解的表达式，并与真解相比较。7.证明改进Euler法的绝对稳定区域是整个左

2、半平面。8.对初值问题用的Euler方法求解，求出实际计算值与真解在处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。9.证明：Runge-Kutta方法中关于满足Lipschitz条件的充分条件是关于或满足Lipschitz条件。10.证明定理2.6.11.证明定理2.7的推论（推论2.1）：“级Runge-Kutta方法相容的充分必要条件是”。12.Runge-Kutta方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令，则可将取为，证明这是一个二阶的单步方法。提示：利用Taylor展开后比较相当项的系数的方法。13.证明三阶Runge-Kutta方法对于求解微分方程与三阶Taylor级数

3、法的计算格式的形式完全相同。14.对Heun二阶方法（2.10）式作出如图2.3那样的几何解释。15.用Taylor级数法求方程的的近似值（取），并说明近似值精度情况。16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。（取为参数）17.求具有最高阶的三步方法的计算格式。18.设无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充分必要条件是19.证明：与算子相应的线性多步方法阶相容的充分必要条件是而此时误差常数为20.讨论最高阶的两步方法（Milne方法（2.69）式）和最高阶的三步方法（习题17）的稳定性。21.检验四步方法是否收敛。22.证明：方法的阶为二23.推到计算格式的系数使方法有尽可能高的阶数，并讨论

4、它的稳定性。24.讨论最高阶三步方法（习题17）的绝对稳定性。25.讨论多步方法当取那些值时是稳定的；当取那些值时有绝对稳定区域非空。26.在两步三阶方法中，讨论当在什么范围种变化才能使算法绝对稳定。设此时的绝对稳定区域在实轴上的范围是，求的值。27.用公式（2.101）推到和时的Gear方法。28.用公式（2.101）求下列计算公式的截断误差阶和各项系数：（1）（向后Euler公式）；（2）；（3）和时的Adams外插公式和内插公式。29.证明：一步Gear方法（习题28之（1）和两步Gear方法（2.102）式都是A-稳定的。30.求一级、二级隐式Runge-Kutta方法（2.116）式

5、、（2.117）式局部的截断误差项。31.证明：（2.116）式（2.117）均为A-稳定的方法。计算实习1.编一个用Euler方法解 的程序，使之适用于任意右端函数，任意步长和任意区间。用分别计算初值问题在结点上打印出问题的精确解（真解为）。计算近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）。2.编一个与上题同样要求的改进Euler法的计算程序，的初值用Euler方法提供，迭代步数为输入参数。用它求解上题的问题，并将两个结果加以比较。3.编一个程序用Taylor级数法求解问题取Taylor级数法的截断误差为，即要用的值。提示：可用一个简单的地推公式来获得。4

6、.用四阶古典Runge-Kutta方法（或其他精度不低于四阶的方法），对时的标准正态分布函数：产生一张在0,5之间的80个等距结点（即）处的函数值表。提示：寻找一个以为解的初值问题。5.（一个“刚性”的微分方程）用四阶古典Runge-Kutta方法阶初值问题：取每隔8步打印出数值解与真解的值，画出它们的大致图像，并对产生的结果做出解释。提示：当初值时，方程的真解变为。6.分别用Adams三步和四步外插公式，用求解将计算结果与真解 t进行比较，并对所产生的现象进行理论分析。7.用Adams三步内插公式预测、Adams四步外插公式校正 次的预-校算法重新求解上题的方程，将结果与上题作比较，并解释产

7、生差异的原因。8.对（1.3）式所示的Lotka-Volterra“弱肉强食”模型，令即 （1）取，用任意一种精度不低于三阶的方法求解，要求结果至少有三位有效数字。作出的图像及关于的图像。（2）对解这同一个模型，分别画出关于的函数图像。（3）讨论所获得的结果并分析原因。提示：注意平面上的点（3,2），它被称为平衡点。习题 抛物方程习题1.推导扩散方程的三层差分格式：的截断误差，并证明当时，截断误差的阶达到最高，为。2.求Richardson格式的改进形式Dufort Frankel格式：的截断误差。3.讨论双向加权对称格式：的截断误差。4.用分离变量法求古典隐格式（5.36）的差分真解。5.用

8、分离变量法对六点对称格式（3.38）推导其差分方程的真解。6.利用题4和题5的结果，用分离变量法证明古典隐格式和六点对称格式是绝对稳定的。7.列出求解：的古典显格式，并证明当时格式是稳定的。8.用直接法证明求解扩散方程的两层加权平均格式（5.25）：（1）当时，是绝对稳定的。（2）当时，稳定条件为。9.证明：题3所给出的双向加权对称格式是绝对稳定的。10.证明：题1所给出的三层差分格式是绝对稳定的。11.证明：用最大模方法和传播因子法证明题8的结论。12.证明半隐格式：是绝对稳定的。13.证明（Von Neumann条件为充分条件的）定理5.14中的情况（6）的情况（7）。14.证明：DuFo

9、rt-Frankel格式（5.86）绝对稳定。提示：利用上题的结果15.用分离变量法证明求解波动方程的三层加权格式（5.123）（1）当，格式是绝对稳定的。（2）当，格式稳定的条件是。16.将“跳蛙”格式（5.118）推广到求解线性双曲型方程组（5.136），请写出相应的计算格式，并讨论其稳定性。提示：利用定理5.14中的情况（6）17.导出F-L格式（5.140）和L-W格式（5.141）的增长矩阵，从而说明4.4中所给出的稳定性条件是正确的。18.建立求解二维扩散方程的DuFort-Frankel格式，并证明其绝对稳定性。19.用直接法证明：阶二维扩散方程的六点对称格式是绝对稳定的。20.

10、将局部一维格式推广到三维情形，并证明他的绝对稳定性。提示：此时，延拓后的的特解可取为这里。21.写出空间变量时三维情形时对应于格式（5.158）的计算格式。22.对格式（5.158）和（5.159）导出类似于题8的稳定性条件。计算实习1. 对定解问题：若在处有一个扰动，取分别用古典显格式和Richardson格式计算8层：（1）打印出第8层上个结点处的计算值。（2）预测继续算下去计算值的变化趋势。（3）分析上述趋势产生的原因。2.用古典显格式求解定解问题：分别取和，取，计算1020层：（1）对固定的，比较和时计算值的差别；（2）分别取观测稳定和不稳定格式的计算值随初始函数变化的情况。3.改用D

11、uFort-Frankel格式（5.86）算出实习题1在第8层上的值，并与Richardson格式的计算值作比较。4.任选一种差分方法求自由振动问题的周期解，求出处一个周期的计算值。5.对定解问题：分别用表5.13的左偏显式和中心显式，取分别为和分别为计算10层，并分析所得到的计算结果，说说从中可获得什么规律性的东西。6.用分别为和的古典显格式计算，比较计算结果间的差别。习题 椭圆型1.用二阶Gear公式导出区间左端的第三类边界条件：的类似（3.8）式的差分形式。2.用极值原理证明：当差分方程组（3.13）的两个边界条件都是第一类或都是第三类时，相应的差分方程组的解仍存在且唯一。3.用“不可约

12、对角占优矩阵必定非奇”的结论证明第2题。4.证明：若将差分方程组（3.13）左端点的条件也改为第三类边界条件，则差分解收敛于原微分方程的解，且收敛速度亦是。5.证明：采用差分格式（3.31），（3.32）求解微分方程（3.20）时，其截断误差满足估计式（3.33）。6对九点差分格式（3.34）证明余项（3.35）式。7.用积分守恒公式在矩形网格或三角形网格上构造逼近方程：的五点差分格式，这里8.证明：当取所有三角形单元为相同的直角三角形时，在内点上按§2.3的方法导出的差分格式恰为§2.1中的污点差分格式。9.对边长为的正三角形组成的网格的内点证明公式（3.47）。10.对

13、正六边形（边长为）网格的内点导出Poisson方程相应的差分格式。11.证明：三角形网格上的Poisson方程的第一或第三边值问题的差分格式的系数矩阵对称。12.对Laplace方程：取做矩形部分，请用五点差分格式求出内点处的近似值。13.记是平面上以为顶点的六边形区域，是其边界，以边长为2的正三角形对做剖分，将4个内点从（1,0）起按顺时针方向依次编为1,2,3,4用差分法求方程在结点处的近似解14.对方程取，令为的差分解，求出。同时求出方程的精确解在处的值，比较与的误差情况并分析产生这种情况的原因。15.验证矩形网格上的五点差分格式（3.25）和三角形网格上的差分方程（3.45）满足条件（3.19）式和（3.50）式。16.证明：椭圆型差分方程的极值原理（定理3.1）。17.利用“不可约对角占优矩阵必定非奇”证明差分方程（3.48）的解存在且唯一。18.证明：当充分小时，第三类边值问题的差分方程的解存在且唯一。19.证明：若则方程的解满足(当在上恒为零时，本命题就是定理3.3)20.对非正则内点采用（3.40）式处理的五点差分格式，试仿照定理3.5的证明过程导出其收敛速度的阶。21.证明（3.57）式。计算实习1.