双曲线几何性质的应用

1、上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲双曲线几何性质的应用举例1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为（0,2）,则双曲线的标准方程为（）44D.y28x2 =4 =的倒数和 为 （A. 1 B. 2 C 325.直线y= k（x + .2）与双曲线:y2 = 1有且只有一个公共点，则k此双曲线上，贝y圆心到双曲线中心的距离是.答案:463答案：B2 22. 设P是双曲线 £ = 1（a>0）上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x 2y= 0, F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|= 3,则呼| 等于（）A. 7B.

2、 6 C. 5D. 3答案：Ax2 y3. （2011湖南高考）设双曲线72 y = 1（a>0）的渐近线方程为 3xi2ya 9=0,则a的值为（）A. 4B. 3 C. 2D. 1答案 ：C4. 如图 1 所示，在 ABC 中，/ CAB = Z CBA = 30° AC、BC 边的不同取值有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案：D2 26. 已知点F1、F2分别是双曲线字一善=1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A, B两点，若 ABF1是锐角三角形，则 该双曲线的离心率的取值范围是（）A. （ 2+ 1,+° ）b.（1 ,

3、V3）c.（1,1 +V2）d.血,+°）答案：Cx2 y27. 已知圆C过双曲线9 1的一个顶点和一个焦点，且圆心在2 2双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则 AFB的面积为8. 设双曲线X 16= 1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于点，求|AB|.11. （15分）过双曲线M : x2b2= 1的左顶点A作斜率为1的直线I, 若I与双曲线M的两条渐近线分别相交于点 B、C,且|AB| =|BC|，求双曲线 M的离心率.12. （15分）直线I: y= kx+ 1与双曲线C : 2x2 y2= 1的右支交于不 同的两点A、B.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实

4、数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右 焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.答案：329.双曲线中心在原点,一个焦点坐标为FC.7, 0）,直线y = x 1与其相交于M , N两点,MN中点的横坐标为一舟，则双曲线的方程为x2 y2答案：2 5 = 110. （10分）双曲线的两条渐近线的方程为 y= ±. 2x,且经过点（3,2 3）.（1）求双曲线的方程；过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°勺直线交双曲线于 A、B两=0,则a的值为（)3A. 4B.C. 2D.1解析:双曲线纹a-冷=1的渐近线方程为a -£ = 0,整理得 3x

5、7;ay=双曲线几何性质的应用举例1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的.2倍,且一个顶点的坐标为（0,2）,则双曲线的标准方程为（）B.y2442x_4 =解析：由已知可知双曲线的焦点在y轴上，从而可设方程为器一b2 =1(a>0, b>0).T 顶点为(0,2), a a= 2.又v实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍,a 2a+ 2b= 2 2c.又 v a2 + b2= c2, a 解得 b2= 4.y2 x2a所求方程为y = 1.442. 设P是双曲线M¥ = 1（a>0）上一点，双曲线的一条渐近线方程a 9为3x 2y= 0,F2分别是双曲线的左、右焦

6、点，若|PR|= 3,则阳等于（）A. 7B. 6C. 5D. 333 3解析：由方程可得渐近线为y= 士x, a3=aa 2a a= 2.又v |PF* = 3小于两顶点间的距离4,a点P只能在双曲线的左支上.a 由 |PF|PF1|= 2a,得 |PF2|= |PFj + 2a= 3+ 4= 7.答案：Ax2 y23. （2011湖南咼考）设双曲线2 y = 1（a>0）的渐近线方程为 3x±2ya 9答案：C的不同取值有（）A. 1个 B. 2个C. 3个 D . 4个解析：由已知可得，双曲线的渐近线方程为 y=£x,顶点（±,0），而直线恒过（2,

7、0）,故有两条与渐近线成平行，有两条切线，共4条直4.如图 1 所示，在 ABC 中，/ CAB = Z CBA = 30° AC、BC 边 上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲 线的离心率的倒数和为（ ）线与双曲线有一个交点，故选 D.A. 1B. 2C. 3D. 2 3解析：如题图，设AB = 2c,由于/CAB = Z CBA = 30°答案：D6.已知点F1、F2分别是双曲线x2 b = 1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A, B两点，若 ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）则 AE = BD =

8、c, BE = AD = 3c.A. ( 2 + 1,+乂 )C. (1,1 + 2)则椭圆的离心率为23+ 1,双曲线的离心率为故两个离心率的倒数和为，3.答案：Cx25.直线y= k（x + .2）与双曲线” y2 = 1有且只有一个公共点，则kB. (1,3)图2解析：如图2所示.由于Z F1AB =Z F1B A, ABF1为锐角三角形,故/ AFiB为锐角.故只需要/ AFiF2<45°即可b22 2 lAFcla c a即 ice： i<1,二 J=<1 即 c2 a2v2ac.IF1F2I2c 2ac即 e2 2e 1<0,解得 1- 2<

9、e<1 + .2,又因为 e>1，故 1<e<1 + 2答案：C±437)或 (4,16.易求得它到双曲线中心的距离为罟.7.已知圆C过双曲线X9 16= 1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是解析：由双曲线的几何性质，易知圆 C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为±4故圆心坐标为（4,解析：如图3,双曲线渐近线方程为4 y=§x, F（5,0）,4二直线过F且斜率为§,4方程是 y="3（x 5）,答案：乎&设双曲线X9 16= 1的右顶点为A，右焦点为F，过点

10、F平行于y=4 x- 5Q<=916=双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则 AFB的面积为x2 (x 5)29 -917即 10x= 34, x=,y=-3215而 |AF| = c a= 5 3= 2,答案:3215M(x1, yd, N(X2,y2)，则 a- 7i=1,1132 32Sfb = 2 |AF| |y|= 2X 2X15=话9. 双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F( 7, 0),直线y = x12与其相交于M , N两点，MN中点的横坐标为一f,则双曲线的方程为故双曲线方程为% 召=1.答案：x2y=110. (10分)双曲线的两条渐近线的方程为 y= 士. 2

11、x,且经过点(3,2 3).(1) 求双曲线的方程；(2) 过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于 A、B两 点，求|AB|.解：(1)丁双曲线的两条渐近线方程为y=士. 2x,可设双曲线的方程为2X25解析：由题意知中点坐标为(一f, 3), 2设双曲线方程为拿一= 1.a 7 a2 y2=入何0)又T双曲线经过点(3, 2 3),代入方程可得 入=6,7 a2，一得X1 + X2 X1 X2屮 + y y1 y27 a22 2二所求双曲线的方程为:善=1.X1 + X2a2y1 y2 . 2 ，y1 + y27 a X1 X2设 A(X1, yd、B(X2, y2),

12、过F且倾斜角为60°的直线方程为y= 3(x 3),所以3 = a2=7a2,3解得a2 = 2,y= 3 x3联立 2x2y2 = 6得 x2 18x + 33=0,由韦达定理得 X1 + X2= 18, X1X2= 33,1C(b1=2 324132= 16 3，即弦长 |AB|= 16 3211. (15分)过双曲线M : x2 b = 1的左顶点A作斜率为1的直线I,若I与双曲线M的两条渐近线分别相交于点 B、C,且|AB| =|BC|，求双曲线M的离心率. 解：由双曲线M为x2 2= 1,二左顶点A的坐标为(-1,0),两条渐近线为y=ibx又T直线I的斜率为1,I的方程为

13、y= x+1.从而可求得直线I : y= x+1与渐近线y= bx的交点为 b,b2 b贝卩=b，得b= 3,2 b 12 b 1c=12 + 32 = 10, e=a= 10.双曲线的离心率为10.12. (15分)直线I: y= kx+ 1与双曲线C : 2x2 y2= 1的右支交于不 同的两点A、B.(1) 求实数k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解：将直线I的方程y= kx+1代入双曲线C的方程2x2 y2= 1 后，整理得，(k2 2)x2 + 2kx + 2 = 0.依题意，直线I与双曲线C的右支交于不同两点，故AC的中点为(丄 ,L),2(b 1) 2(b 1)2k2 2半 0,= 2k 2 8 k2 2 >0,2k nk2 2，k22 >0.2解得k的取值范围是2<k< 2.设A、B两点的坐标分别为(xi, yi)、(X2, y2),则由式得Xi + X2 =2k2 k2，整理得(k2 + 1)XiX2 + (k c)(Xi + X2