2011中考数学知识点梳理+试题分类汇编(21)圆的基本概念性质

1、2011中考数学试题分类汇编(21)圆的基本概念性质知识点：一、圆 1、圆的有关性质 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 由圆的意义可知： 圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；

2、小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。 能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 二、过三点的圆 l、过三点的圆 过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 2、反证法 反证法的三个步骤： 假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。 证明：设有两个以上是钝角 则

3、两个钝角之和180 与三角形内角和等于180矛盾。不可能有二个以上是钝角。 即最多只能有一个是钝角。 三、垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 顶点是

4、圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 五、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆

5、周角的辅助线。 六、圆的内接四边形 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 例如图61，连EF后，可得： DEFB DEFA180AB18ryBCDA 七、直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。 2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： 直线和圆相交dr；直线和圆相切dr；直线和圆相离dr；直线和圆相交dr

6、例如：图62中，直线与圆O相割，有：rd 图63中，直线与圆O相切，rd 图64中，直线与圆O相离，rd八、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 例如图65中，O为圆心，AC是切线，D为切点。 B90 则有BC是切线 OD是半径 ODAC 九、三角形的内切圆 要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切 分角线上的点到角的两边距离相等。两条分角线的交点就是圆心。 这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切

7、三角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 十、切线长定理 经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图66 B、C为切点，O为圆心。 ABAC，12 十一、弦切角 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。 弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。 推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。例如图67，AB为切线，则有：CBAE，BAEDCD十二、和圆有关的比例线段 相交弦定理

8、：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图68，若F为切点 则有：AF2=AHAC，AGABAF2 EMMD=BMMG CNNH=DNNE（2010哈尔滨）如图，AB是O的弦，半径OA2，AOB120，则弦AB的长是（ ）B （A） （B） （C） （D）（2010珠海）如图，O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OAC

9、B的面积（结果保留）解：弦AB和半径OC互相平分OCAB OM=MC=OC=OA在RtOAM中，sinA=A=30又OA=OB B=A=30 AOB=120S扇形（2010珠海）如图，ABC内接于O，AB6,AC4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时，PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）若cosPCB=，求PA的长.解：（1）当BDAC4时，PAD是以AD为底边的等腰三角形P是优弧BAC的中点 弧PB弧PCPBPCBDAC4 PBD=PCAPBDPCAPA=PD 即PAD是以AD为底边的等腰三角形（2）由（1）可知，当BD

10、4时，PDPA，ADAB-BD6-42过点P作PEAD于E，则AEAD=1PCB=PADcosPAD=cosPCB=PA=1. （2010红河自治州）如图2，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为 （ A ）A.30 B.40C.50 D.60（2010年镇江市）11如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，若AB=10，CD=8，则线段OE的长为 3 .（2010年镇江市）26推理证明（本小题满分7分）如图，已知ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E，连结OE，CD=，ACB=30. （1）求证：DE是O的切线； （

11、2）分别求AB，OE的长； （3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为 .（1）AB是直径，ADB=90 （1分）ODDE，DE是O的切线. （3分） （2）在， （4分） （3） （7分） (2010遵义市)如图,ABC内接于O,C=,则ABO= 度.答案：50、（第5题）ABOCD(2010台州市)如图，O的直径CDAB，AOC=50，则CDB大小为 ()A25 B30 C40 D50答案：A（玉溪市2010）11. 如图6，在半径为10的O 中，OC垂直弦AB于点D， ABC我先从小丽的袋子中抽出张卡片，再从小兵的袋子中抽出张卡片.OD

12、图6AB16，则CD的长是 4 （2010年兰州）4. 有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有 A4个 B3个 C 2个 D 1个答案 B2010年兰州）7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点A、B的读数分别为86、30，则ACB的大小为A15 B28 C29 D34 第7题图 答案 B（2010年无锡）15如图，AB是O的直径,点D在O上AOD=130,BCOD交O于C,则A= （第15题）（2010年兰州）22.（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、

13、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）（本小题满分2分）若ABC中AB=8米，AC=6米，BAC=，试求小明家圆形花坛的面积第 22题图答案（本题满分6分）(1)（本小题满分4分）用尺规作出两边的垂直平分线 2分作出圆 3分O即为所求做的花园的位置.（图略） 4分（2）（本小题满分2分） 解：BAC=,AB=8米,AC=6米, BC=10米 ABC外接圆的半径为5米 5分 小明家圆形花坛的面积为2平方米 . 6分（2010年连云港）16如图，点A、B、C在O上，ABCD，B22，则A_A

14、DBADOCFEBAD第16题答案 44（2010宁波市）24如图，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE2，DPA45（1）求O的半径；（2）求图中阴影部分的面积6.（2010年金华）如图，ABC内接于O，A=40，则BOC的度数为（ ）DA. 20 B. 40 C. 60 (第6题图) ACBO21（2010年金华）(本题8分)ACBD(第21题图)EFO如图，AB是O的直径，C是的中点，CEAB于 E，BD交CE于点F12（1）求证：CFBF；（2）若CD 6， AC 8，则O的半径为 ，CE的长是 解：(1) 证明：AB是O

15、的直径，ACB90 又CEAB， CEB90 290A1 又C是弧BD的中点，1A 12, CFBF 4分(2) O的半径为5 ， CE的长是 4分（各2分）8（2010年长沙）如图，在O中，OAAB，OCAB，则下列结论错误的是 DA弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 CDBAC=30OACB第8题图24（2010年长沙）已知：AB是O的弦，D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C（1）求证：ADDC；（2）过D作O的切线交BC于E，若DEEC，求sinCOADBEC第24题图证明：连BDAABDADBD 2分A+C90，DBA+DBC90CDB

16、CBDDCADDC 4分（2）连接ODDE为O切线 ODDE 5分 ，OD过圆心 ODAB又ABBC 四边形FBED为矩形DEBC 6分BD为RtABC斜边上的中线BDDC BEECDEC45 7分sinC= 8分（2010年湖南郴州市）7.如图，是的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是答案D(2010湖北省荆门市)16在O中直径为4，弦AB2，点C是圆上不同于A、B的点，那么ACB度数为_答案60或120（2010年毕节）20如图，AB为O的弦，O的半径为5，OCAB于点D，交O于点C，且CDl，则弦AB的长是 20 64(10重庆潼南县)如图，已知AB为O的直径，点C在O上,C=15,则

17、BOC的度数为( )BA15 B 30 C 45D60 20(10湖南怀化)如图6，已知直线AB是O的切线，A为切点，OB交O于点C，点D在O上，且OBA=40，则ADC=_（2010陕西省）9.如图，点A、B、P在O上，点P为动点，要是ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（D）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 （2010陕西省）14、如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为 0.4 米 （2010年天津市）第（7）题BCADPO（7）如图，O中，弦、相交于点， 若，则等于（C）（A）（B）（C）（D）1.（2010宁德）如图，在O中，

18、ACB34，则AOB的度数是（ ）D第5题图AOCBA.17 B.34 C.56 D.682.（2010黄冈）如图，O中，的度数为320，则圆周角MAN_.201（2010山东济南）如图所示，ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，3)、B (2，2)、C (4，2)，则ABCOx第17题图yABC外接圆半径的长度为 答案 （2010年常州）16.如图，AB是O的直径，弦DC与AB相交于点E，若ACD=60，ADC=50，则ABD= ，CEB= .16.60，100.（2010株洲市）21（本题满分8分）如图，是的直径，为圆周上一点，过点的切线与的延长线交于点求证：（1）；（2）21（1）是的直径，由，又， 4分（2）在中，得，又，由切于点，得在和中， 8分MRQ图3ABCP（2010河北省）6如图3，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是A点P B点Q C点R D点M（2010年安徽）13. 如图，ABC内接于O，AC是O的直径，ACB500，点D是BAC上一点，则D_1、（2010山东烟台）如图， ABC内接于O，D为线段AB的中点，延长OD交O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论ABDE,AE=BE,OD=DE,AEO=C,正确结论的个数是A、2 B、3 C、4 D、5答案：BOABC第10题图2（2010山东青