函数插值与最小二乘拟合

1、第11章 函数插值与最小二乘拟合 典型问题解析考试知识点：拉格朗日插值多项式、均差与牛顿插值多项式、直线拟合、二次多项式拟合。（18-21%）考试题型：选择题、填空题、计算题、证明题。学习要点：拉格朗日插值多项式、均差与牛顿插值多项式、分段插值、最小二乘法典型问题解析：1. 拉格朗日插值多项式n次插值多项式 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=其中基函数 (k=0,1,2,，n) 且Pn(xk)=yk(k=0,1,2,n).f(x)»Pn(x)注意：过n+1个互异节点，所得插值多项式应该是次数不超过n的多项式特例：当n=1时，线性插值 P1(x)=yklk(x

2、)+yk+1lk+1(x)其中基函数 , （过2个互异节点，所得插值多项式是直线）当n=2时，二次插值. P2(x)=yk-1lk-1+yklk+yk+1lk+1其中基函数 （过3个互异节点，所得插值多项式是次数不超过2的多项式）拉格朗日插值多项式的余项为 其中，例1 已知数据表xk10111213f(xk)2.302 62.397 92.484 92.564 9试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)并回答用线性插值计算f(11.75)，应取哪两个点更好？解 因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值先作插值基函数已知x0=11, y0=2.397 9，x

3、1=12, y1=2.484 9 ，x2=13, y2=2.564 9P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)P2(x)=f(11.75)»P2(11.75)= =2.463 8若用线性插值，因为所求点x11.75在11与12之间，故应取x=11,x=12作线性插值合适注：在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果差些例2 已知函数y=f(x)的数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日多项式Pn (x)，并计算P(1)。解 先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= P3(1)例3 设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函

4、数，证明：证明 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)= 当f(x)º1时， 1由于，故有2. 均差与牛顿插值多项式均差：函数值之差与自变量之差的商就是均差一阶均差 二阶均差 （一阶均差的均差）n阶均差 （n-1阶均差的均差）均差的性质：(1) 均差用函数值yk的线性组合表示；即 f(x0,x1,x2,xn)=(2) 均差与插值节点顺序无关(对称性).(3) n阶均差与导数的关系为：例4 已知函数y=f(x)的数据如表。计算它的各阶均差。kXkf(xk) 010 132 2415 3712解 计算公式为一阶均差 二阶均差 三阶均差 结果列表中kXkf(xk)一阶均

5、差二阶均差三阶均差 010 1321 2415134 3712-1-3.5-1.25牛顿插值多项式：以均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式。 Nn(x)= f(x0)f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1) f(x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1) 牛顿插值多项式的余项为 Rn(x)=f(x)Nn(x) =f(x, x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)=例5已知函数表x012345F(x)-7-452665128求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1。解：作均差表xkf(xk)一阶均

6、差二阶均差三阶均差四阶均差0-71-4325933262161465399105128631210 因为三阶均差均为常数1，可见该函数表的牛顿插值多项式最高次幂为3次，且其系数为1。牛顿插值多项式为Nn(x)= f(x0)f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1) f(x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)= -73(x0)3(x0)(x1)1(x0)(x1) (x2)= x32x-73. 分段线性插值用分点a=x0<x1<<xn=b将区间a,b分成n个子区间xk, xk+1(k=0,1,n1)在子区间xk, xk+1上用

7、直线Qk(x)近似函数y=f(x)，将Qk(x)(k=0,1,n-1)组合在一起，得到a,b上的折线形式的函数P(x)，P(x)满足：(1)P(x)在a ,b上连续；(2) P(xk)=yk(k=0,1,2,n)；(3)P(x)在子区间xk ,xk+1上是线性函数P(x)称为分段线性插值函数。其中lk(x)(k=0,1,2,n)是分段线性插值基函数，具体为 li(x)= ln(x)= 例5 已知函数ex的下列数据，用分段线性插值法求x=0.2的近似值x0.100.150.250.30ex0.904 8370.860 7080.778 8050.740 818解 用分段线性插值，先求分段线性插值

8、基函数. 所求分段线性插值函数为 所以，e0.2=P(0.2)=0.819 07×0.2+0.983 569=0.819 7554* 三次样条插值函数（不作要求）用分点a=x0<x1<<xn=b将区间a,b分成n个子区间xk, xk+1(k=0,1,n1)构造三次样条函数S(x)：(1) 在区间a,b上有二阶连续导数；(2)满足S(xk)=yk(k=0,1,n)；(3)在子区间xk, xk+1上是三次多项式三次样条插值函数 其中S²(xk)=mk (k=0,1,2,n), hk=xk+1xk (k=0,1,2,n1), m0,m1,mn满足的方程组是 (*

9、)其中： , (k=1,2,n1) (1) 当已知S¢(x0)=y¢0 ,S¢(xn)=¢y¢n时，(*)式中m0=1, ln=1, .(2) 当已知S²(x0)=y²0=m0, S²(xn)=y²n=mn时，(*)式化为 5. 最小二乘法用j(x)拟合n对数据(xk,yk) (k=1,2,n)，使得误差平方和 最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法(1) 直线拟合若，a0,a1满足法方程组 即a0, a1是法方程组的解例6 已知一组试验数据 22.5 3 455.5 44.5 6 88.59试用直线拟合

10、这组数据. (计算过程保留3位小数)解 设直线ya0+a1x，那么a0, a1满足的法方程组公式为 计算列表如下： kxkykxkyk 12448 22.54.56.2511.25 336918 4481632 558.52542.565.5930.2549.5 S224090.5161.25.故法方程组为 解得a0=1.229 a1=1.483 所求直线方程为 y=1.229+1.483x(2) 二次多项式拟合若满足法方程组 即a0, a1, a2是法方程组的解(3) m次多项式拟合若满足法方程组例7 已知一组试验数据 0.781.562.343.123.81 2.501.201.122.254.28试用二次多项式拟合这组数据. (计算过程保留2位小数)解 设满足法方程组 计算列表如下： kxkykxkykyk 10.782.500.610.470.371.951.52 21.561.202.433.805.921.872.92 32.341.125.4812.8129.982.626.13 4