幂级数与泰勒展式

1、9.3 冪級數與泰勒展式在這節裡，我們將之前的理論應用在冪級數上面。何謂冪級數 (power series)呢？冪級數有何重要性呢？冪級數冪級數為一含有變數的級數，其形是，其中與皆為實數。冪級數的例子不勝枚舉，如對於這些冪級數，我們將討論哪些值會使冪級數收斂，亦即討論冪級數的收斂範圍，為了方便起見，我們僅討論形如的收斂範圍。例題3.1 討論的收斂範圍。解：因為一公比為的等比級數，故當時，.但當時，顯然發散。然而或時呢？時，；時，因，故不存在。最後我們可得結論如下：僅在(或)上收斂。 例題3.2 討論冪級數的收斂範圍。解：令 ，則，故。所以當為任意數時，絕對收斂。我們可得到以下的結論：在上收斂

2、(或到處收斂)。 例題3.3 討論冪級數的收斂範圍。解：將視為常數，考慮該級數的絕對收斂值。令，則，故。所以當時，收斂。如同例題3.1時，與時的收斂性呢？當時，故此級數收斂；當時，故此級數發散。由以上的討論我們可得到以下的結論：的收斂範圍為。 由以上三個例題可知，冪級數的收斂範圍是以為中心向外擴展到(有可能至無窮遠點)的範圍，此時我們稱為的收斂半徑(radius of convergence)。收斂半徑給定一冪級數，若說級數在上收斂，且為最大值，則我們稱為該冪級數收斂半徑。由以上的定義可知，與的收斂半徑相同，這就是為什麼我們只需討論的收斂性即可。由以上的例題可知，與的收斂半徑皆為，而的收斂半徑

3、為，而有沒有收斂半徑為的冪級數呢？例題3.4 求下列各冪級數的收斂半徑 . . . 解： 令，則，所以當為一常數時，故僅在上收斂，而收斂半徑為。 令 ，則，故，所以當時，收斂，且時，發散，亦即的收斂半徑為1。 令 ，則，故，所以時，收斂，且時發散，亦即的收斂半徑為。 冪級數與函數的泰勒展式(Taylor expansion)有密不可分的關係，因函數的泰勒展式即為冪級數。泰勒級數(展式) (Taylor series)給定一可無窮微分的函數，在的泰勒級數為，其中為微分次在的取值，若則稱為之馬克勞林級數(Maclaurin series)例題3.5 求在的泰勒級數。 求在的泰勒級數。 求之馬克勞林

4、級數。解： 因，所以在的泰勒級數為。 因，故由歸納法可知，因，所以在之泰勒級數為. 因 ，由歸納法知，因，所以之馬克勞林級數為. 例題3.6 求在的泰勒級數。解：因，由前一例題可知，因且，所以在時泰勒展式為. 一個很重要的問題即是：何時與在的泰勒級數相等。例如我們知道與之馬克勞林級數在上相等。其實我們有以下的定理。泰勒定理 若在之泰勒展式為，則在該級數的收斂範圍上與該級數相等。 若與級數在的附近相等，則為在的泰勒級數。例題3.7 求在的泰勒級數。 求在的泰勒級數。解： 因，令，則.當時，.故當時， .由泰勒定理知，在的泰勒級數為. 令，則，當時，且，故對所有的，。由泰勒定理知之馬克勞林級數為.

5、 若一冪級數的收斂半徑為，則此冪級數有以下的性質：冪級數的特質若的收斂半徑為，且在其收斂範圍內與函數相等，則在冪級數收斂範圍內，.例題3.8 求在的泰勒展式。解：因 ，且當時，所以當時，.因，故當時，所以在時的泰勒級數為. 例題3.9 求函數之馬克勞林級數。解：因時，故之馬克勞林級數為. 習 題於1-6題中求各冪級數的收斂範圍。1. . 2. .3. . 4. .5. . 6. .於7-16題中求各冪級數的收斂半徑。7. . 8. .9. . 10. .11. . 12. .13. . 14. .15. . 16. .於17-24題中求各函數的馬克勞林級數。17. . 18. .19. . 2

6、0. .21. . 22. .23. . 24. .25. 求在的泰勒展式。26. 求在的泰勒展式。27. 求在的泰勒展式。28. 求在的泰勒展式。29. 求在的泰勒展式。30. 求在的泰勒展式。9.4 泰勒展式的應用在這節中我們將泰勒級數的概念應用在某些數值上的逼近 (approximation)。泰勒多項式 (Taylor polynomial)給一無窮可微函數，在是階泰勒多項式為.若，則稱為之階馬克勞林多項式。例題4.1 利用在之6階泰勒多項式逼近。解：因在之泰勒多項式為，故. 例題4.2 求在之3階泰勒多項式及用其逼近。解：因 ，故，所以. 例題4.3 用8階泰勒多項式逼近。解：題意為先求在之8階泰勒多項式，而因，則，所以，因此我們可得. 例題4.4 利用5階泰勒多項式去逼近。解：因在的泰勒展式為，故，且，所以. 例題4.5 若，求及。解：因時，故之馬克勞林級數為，但之馬克勞林級數為，所以之係數為，故，。另一方面，之係數為，故，. 習 題於1-6題中用階泰勒多項式逼近所給定的數。1. ；. 2. ；.3. ；. 4. ；.5. ；. 6. ；.於7-12題用階泰勒多項式逼近所給定