N阶矩阵的幂运算毕业论文

1、大理学院本科毕业论文n阶矩阵的幂运算The power operation of n-order matrix学 院： 数学与计算机学院 项目组成员： 自己姓名 指导教师 ： 老师姓名 专 业： 数学专业 年级（班级）： 起止日期 ： 制表日期： 年 月 日摘要： 一个阶矩阵的幂运算是矩阵论中基本运算问题，在给定的矩阵的阶数较高时，计算量很大。本文针对该问题，结合实例介绍了数学归纳法、二项式展开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、标准形法、最小多项式法及特殊矩阵法等多种方阵高次幂求解方法，为阶矩阵的幂运算提供一个参照。关键词： 矩阵的幂；相似矩阵；分块矩阵；标准形；最小多项式；特殊矩阵；图论算

2、法Abstract： The power operation of a n-order matrix is a fundamental operation in matrix theory.When the given matrix has a high order which will lead to a complex operation.On this question,this paper will introduce many methods to find the solution of high order matrix combine with some living exam

3、ples,such as mathematical induction,multiplication law of association ,binomial expansion method,block diagonal matrix, Jordan standard form, minimum polynomials method and special matrix which offer a reference to the power operation of n-order matrix.Key words： The power of matrix；similar matrix；p

4、artitioning of matrix; Jordan standard form; minimum polynomials; special matrix; algorithm of graph theory目 录引言11 预备知识11.1 矩阵的幂的概念及其运算律12 阶矩阵的高次幂的若干算法及应用举例12.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂12.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂22.3 利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂32.4 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂42.5 利用标准形求解方阵高次幂52.6 用最小多项式法求解方阵高次幂62.7 特殊矩阵法求解方阵高次幂72.7.1 对合矩阵

5、72.7.2 幂等矩阵82.8 利用图论算法求解方阵高次幂92.8.1 邻接矩阵92.8.2 的元素的意义93 结束语10参考文献12致谢13引言矩阵理论是高等代数的主要内容之一。矩阵理论和方法对于图论的研究起了很重要的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。掌握矩阵的运算及它们的运算规律是学习矩阵知识的一个重要环节。矩阵的幂运算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的幂运算是比较麻烦的，因此，不断寻找简便的算法便成为矩阵幂运算方面的重要课题。目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过研究，本文在此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般阶矩阵及一些特殊矩阵的高次

6、幂的求解方法。对简单矩阵的低次幂的求解可直接按矩阵乘法的定义求解，对秩为1的阶矩阵可考虑用矩阵乘法结合律方法求解，另外还有二项式展开法、分块对角矩阵法、一般的阶矩阵可采用标准形法、最小多项式等求解方法，以及特殊矩阵法（如：对合矩阵、幂等矩阵的高次幂求法）、图论算法。诸方法为阶矩阵的幂运算提供一个参照。在实际应用中，可根据方阵的不同特征采用不同的计算方法以简化计算。1 预备知识1.1 矩阵的幂的概念及其运算律在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算。特别地，当一个矩阵为方阵时，可以定义矩阵与它自身的乘法运算，即矩阵的幂。定义（矩阵的幂）1设是矩阵（阶方阵），是正整数，则称为的次幂。由方阵的幂的定

7、义，显然有以下运算律：；，其中，为非负整数。2 阶矩阵的高次幂的若干算法及应用举例2.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂该方法的思路是通过计算，等，从中发现的元素的规律，再用数学归纳法证明。例1 已知矩阵，试求（为自然数）解：可求得,观察这些矩阵的规律可以看到, 的第1行元素是展开式的三项元素,而的第1行元素是展开式的前三项，由此推测，的第1行元素应该是的展开式的前三项元素，现假设，显然当时是成立的；则，即时结论也成立，故由归纳假设法知上述结论正确2.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂若阶矩阵可分解为,且矩阵与的高次幂容易计算， （即与可交换，否则二项展开公式不成立），则有特别：若阶矩阵的主对角

8、上元素相同，这样可表为一个纯量矩阵与另一个矩阵之和，即，且的高次幂易计算，则采用该方法较直观例2 对例1中的矩阵，将矩阵分解为，其中，可以验证矩阵满足，且,即与可交换，由二项式展开公式得： 2.3 利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂对于阶矩阵，若，则矩阵至少有一行元素不为零，且其余各行元素都是它的倍数，于是秩为1的的矩阵的一般形式为，若设，均为非零实数，则，记，则有这种方法就称矩阵的乘法结合律2例3 已知矩阵，求（为自然数）解：对施行初等变换，不难发现，考虑用乘法结合律：取，则，且，于是2.4 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂当一个阶矩阵的阶数比较大时，可以通过用一些横线和竖线将矩阵分成许多小块，

9、这些小块称为矩阵的子阵。若阶矩阵可分成分块对角阵形式，则可以将高阶矩阵的高次幂计算问题转化为简单子阵的高次幂计算问题，从而达到简化计算的目的即对于分块对角矩阵，有，其中均为方阵3例4 已知，求（为自然数）解：矩阵可分块为,其中于是，下面求与，由于，其中，于是又有,其中，且，由二项式展开公式得故2.5 利用标准形求解方阵高次幂我们知道，若与阶对角阵相似，则可求出一个阶可逆阵，使：,于是；若不与阶对角阵相似（即不可对角化），则可用Jordan标准形法来求解定理（定理）4 设，则 与一个矩阵相似，这个矩阵除去其中块的排列次序外是被矩阵唯一确定的，称为的标准形（即存在阶可逆矩阵，使：，其中为阶块，则，

10、故有）此时要用到求块的方幂的如下结果：，其中，且规定为的特征根可见该方法更具有一般性，应用它可计算任何阶矩阵的高次幂例5 设矩阵，求（）解：由于，从而的初等因子为，故相似于标准形下求矩阵，使：,设，有,经计算得：,则，且有，故有2.6 用最小多项式法求解方阵高次幂定理（定理）5设阶矩阵是其特征多项式的根（零点），即令则由以上定理知，以为根的多项式有很多，但把首项系数为、次数最小且以为根的多项式，称为的最小多项式，常用表示这说明的最小多项式是其特征多项式的因式，该事实有一般性，且有以下结论：可整除以为根的任何首项系数为的多项式，且是唯一的；与有相同的根（不计重数）；两相似矩阵的最小多项式相同；，

11、其中是的第个不变因子例6 设，计算解：由于的特征多项式为：，而,故：，当，设，（其中），不妨令，从而有：，亦即，解之得，于是2.7 特殊矩阵法求解方阵高次幂2.7.1 对合矩阵定义1 设为阶矩阵，若有，则称为对合矩阵性质6 (1)；(2)满足的一切二阶方阵为，其中推广性质6 若有，则例7 设，试求（为自然数）解：记，易知，即为对合矩阵，故，由得 特别地：时，有； 时，有； 时，有2.7.2 幂等矩阵定义1 设为阶矩阵，若有，则称为幂等矩阵性质6 (1)；(2)满足的一切二阶方阵有：及形如的矩阵推广性质6 若有，则例8 已知，求解：由，故为幂等矩阵，由其性质知 2.8 利用图论算法求解方阵高次幂

12、若图是结点集合和边的集合所组成的一个系统，是由0和1为元素组成的阶矩阵2.8.1 邻接矩阵定义7 设一有向图，其中，假定各结点从到排列，定义一个，中的元素为，称为图的邻接矩阵，称图为的相关图显然任意一个阶矩阵都有一个相关图2.8.2 的元素的意义当表示存在一条边，或者说从到存在一条长度为1的通路；，中的元素，据图论知识：表示从结点到结点长度为2的路径的数目，（，则长度为2的路径不存在），表示长度为2的回路数目一般地，表示从结点到结点长度为的路径的数目，同理表示长度为的路径不存在，表示长度为的回路数目7据此，可得到阶矩阵幂运算的图论算法步骤：第一步：据所给的阶矩阵，画出其相关图，；第二步：在图上

13、逐步找出从结长度为的路径数目；第三步：写出阶矩阵，便得到所求的幂矩阵例9 设，试求解：先画出矩阵的相关有向图如右图所示： 从图可算出：从结点到 长度为3的路径数目为 其余长度为3的路径都不存在，故说明：当已知方阵的相关有向图较复杂时，此方法的运算量较大，不提倡采用该方法，在此，仅作为一种阶矩阵的幂运算的方法提出3 结束语在具体求解一个方阵的高次幂时，根据方阵的不同特征采用不同的计算方法是求方阵高次幂的关键。上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用（如例4结合使用了方法3与方法4）。总之，在方阵高次幂的求解过程中要充分运用矩阵的特征寻求的最佳计算方法，这对于

14、沟通矩阵各部分内容之间的联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高。参考文献1 徐仲等高等代数考研教案(M)2版西北工业大学出版社2009，7(1):1651722 姜海勤特殊方阵高次幂的简单算法(J)扬州职业大学学报2003，7(3):44453 李战国，卢亚丽等方阵高次幂计算方法研究(J)河南教育学院学报(自然科学版)2002，11(4):234 张禾瑞，赦炳新高等代数(M)5版高等教育出版社2007:4294305 程云鹏矩阵论(M)2版西北工业大学出版社2005，9:52576 严文利求矩阵幂的几种方法(J)淮阴工业专科学校1994，10(1):1891917 杜忠复，陈兆均离散数学(M)高等教育出版社2004，4(1):105109致 谢经过近半年的忙碌，终于完成了本次毕业论文的书写与修改整个过程。一路走来，在感受艰辛的同时也沐浴了关爱。在这里，首先要衷心地感谢我的指导老师张老师。本论文从选题、构思到最后定稿等环节张老师都给予我耐心的指导。张老师严谨的治学态度、渊博的知识、敏锐的学术思维、认真负责的工作态度以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模。导师的悉心教诲，是鞭策我不知疲倦探究问题的力量源泉；导师的学术远见，拓展了我的视野和研究思路。总之，张老师不仅在学