专题椭圆的切线方程

1、“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中 刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义

2、相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。(二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆与直线只有一个公共点（1）请你写出一条直线的方程；（2）若已知直线的斜率为，求直线的方程；（3）若已知切点,求直线的方程；（4）若已知切点,求直线的方程。设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如。先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式。切线斜率确定，切线不确定。（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程

3、，判别式。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式。（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。问题一般化：猜想：椭圆与直线相切于点，则切线的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程为进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。探究：在椭圆中，有关切线问题，还可

4、以求哪些量？例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程。经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程为，且直线OP垂直于切线，所以，1.点与圆设点P(x0，y0)，圆则点在圆内，点在圆上 ，点在圆外由圆方程及直线的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为，则 与圆相交， 与圆相切，与圆相离类比到圆中：已知圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点.结论（1）过点P的切线方程为；（2）；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的时，椭圆圆，所以）（3）过点P的切线方程为与轴、轴分别交于点,，所以；（椭圆中也可理解为趋于时，

5、趋于）（4），当且仅当时，取“=”由2014年浙江高考题最后一道题2014·浙江卷 如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点P，且点P在第一象限.（1）已知直线的斜率为，用a，b，k表示点P的坐标；（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点P，且点P在第一象限.（1）已知直线的斜率为，用a，b，k表示点P的坐标；(1)解：设直线l的方程为ykxm(k<0)，由联立消去y得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于l与C只有一个公共点，所以，化简得(*)，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，

6、故,所以点P的坐标为.（2）设点，且点在第一象限，用点P的坐标表示椭圆的切线方程；(2)解：，则由（1）知，则可设过点P切线的方程为消参得 代入得化为整式（因为点P在椭圆上，所以），两边同除以得椭圆的切线方程，与圆的切线方程做类比，形式相仿。所以，过切点的椭圆的切线方程.(3)连接OP，切线的斜率为，直线的斜率为,求证定值；(3)由（2）中所得的又因为，所以=定值（与圆的做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的时，椭圆加强为了圆，所以）问题2、已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点，求线段的最小值。直线的方程设为，则根据两点间的距离公式可得，又因为前面根据直线和椭圆相

7、切已求出(*)，代入可得 ，线段的最小值为.当且仅当时，取到“=”.下面再继续讨论“=”取到时的条件。由前面已证过的知，此时 代入得，所以可得到，代入得.问题3、已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点.若过原点O的直线l1与l垂直交与点D， 证明：定值.证明：由于过点P的切线方程为，直线与轴、轴分别交于点，所以，则由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为xky0，所以点P到直线l1的距离，前面已证过，代入得=定值（c为椭圆的半焦距）问题4、如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点P，且点P在第一象限.若过原点O的直线与垂直，证明：点P到直线的距离的最大值为.证明：方法一、由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为xky0，所以点P到直线