第二章控制系统的数学模型

1、8确定系统的输入量和输出量8根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程8消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式列写系统运动方程的步骤入变量的运动方程。为输压U为输出变量和以输入电压U试求出以输出电成的电路，如图所示.和电阻R组设有由电感L，电容C 例112L iU2U1RC1U2Udt2duRC2dt2U2dLC 代入（3）并整理得UCi 即 iC1。U 对（2）式求导得（3） 2UdtdiLRi1U（2） idtC1CU2UdtdiLLURiRU（1） CULURU1U有解：根据基尔霍夫定律22 U2U1RLCi解：系统的运动方程作用产生位移Y，求该物体受到外力系统，图中质量为

2、m的如图所示为一弹簧阻尼 例2，ymm0dtdyf F K）yfP2（mP 则有： 2dt2d2P dtdP 记FKydtdyf2dty2dm dtdyffF KysF fFsFFFma 根据牛顿定律输出量：位移y 输入量：外力FyK 解：试建立其数学模型已知二串联液体储罐， 例3，数阀1，阀2的阻力系2，R1R数储罐1，2的容量系2，C1C间）流出量的变化（单位时阀2开度改变引起的fQ（单位时间）的变化引起的流量变化2液位hhQ 1h1k11Q 2h2k1hQ dt2dh2C）fQh（Q-1Q dt1dh1C1QinQ f，QIN，输入量Q2输出量h dtfdQ2R1TfQ2RinQ2R2h

3、dt2dh）2T1（T2dt2h2d2T1TdtfdQ2R1R1C-fQ2R-inQ2R2hdt2dh）2R2C1R1（C2dt2h2d2R2C1R1C 之间的关系式：2输出参数h（干扰作用）与f（调节参数）和Qin参数Q消去中间变量可得输入 Ua 4解解：的的系系统统运运动动方方程程为为输输出出量量时时及及角角位位移移动动机机输输出出轴轴角角速速度度为为输输入入变变量量和和分分别别以以电电以以电电枢枢电电压压统统，如如图图所所示示，试试列列写写设设有有带带载载直直流流电电动动机机系系例例 消消去去中中间间变变量量得得：磁磁力力矩矩为为在在恒恒定定磁磁场场中中产产生生的的电电电电枢枢电电流流，

4、当当电电动动机机空空载载时时，成成正正比比，即即而而电电动动机机的的反反电电动动势势与与运运动动方方程程为为：流流电电动动机机电电枢枢回回路路的的根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律，直直iCMi0MCeEUEiRMLaa fMdtdJdtdiLa可可得得相相应应运运动动方方程程。为为输输出出量量，则则根根据据关关系系若若以以）（）（，则则由由牛牛顿顿定定律律有有时时，当当电电动动机机输输出出轴轴带带负负载载）（）（dtdMRdtdMLUCCCfRdtdfLJRdtdJLdtLaLaaMeMaaaa 22LLaMeMaaa22aM-f-M dtdJ 0MUCCCfRdtdfLJRdJL 将非线性微

5、分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。 小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。解解：）处处展展开开，进进行行线线性性化化，在在预预期期工工作作点点（），（的的非非线线性性函函数数和和，将将具具有有两两个个自自变变量量例例001YXYXFZYX YYYXXYFXYYXXXFYXFYYYXXYFXYYXXXFYXFYXFYXYYYXXYFYXYYXXYXFYYYYFXXXXFYXFYXFZYX 000000000020022002210|0|0000）（）（），（）（）（），（），

6、（项项有有的的二二阶阶及及二二阶阶以以上上高高阶阶，忽忽略略）（）（）（！），（），（）邻邻域域有有，在在（XXfXdxdfXFXFXdXfdXdxdfXFXFYYXXFYXXXXXX ）（）（）（）（）（）（！）（）（）（），）线线性性化化，工工作作点点为为（将将例例，0022200000021.2几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲线。说明：A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导数或偏导数存在,如图所示的继电器特性， 的各界导数处处不存在，本质非线性；B.必须明确工作点的参数；C.如果非线性运动方程较接近线性时，则线性化运动方程对于变量的增量在较大范围适用，反之，只能

7、适用于变量的微小变化。1X.定义定义传递函数传递函数： 初始条件为初始条件为 零时，线性定常系统或零时，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换与输入元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏信号的拉氏变换的比，称为该系统或元件的传递函数。变换的比，称为该系统或元件的传递函数。 )(1)1110()(2)12110( :txmbpmbmpbmpbtxnapnanpanpanp 为为设设描描述述系系统统的的微微分分方方程程解：网络的传递函数，试求例CLR1 1211212121212LCP RCSLCSSUSUSGSUSURCSLCPtUtURCP）（）（条件下的拉氏变换有求该微分方程在零初始）（）（

8、）（由前面知 naSnanSanSmbmSbmSbSXSXSG 111110)(1)(2则其传递函数为则其传递函数为二 传递函数的性质传递函数的性质1 .线性定常系统或元件的运动方程与传递线性定常系统或元件的运动方程与传递函数一一对应，它们是在不同域对同一函数一一对应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。系统或元件的描述。2 .传递函数是表征线性定常系统或元件自传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式身的固有特性，它与其输入信号的形式无关无关 ，但和输入信号的作用位置及输出，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。信号的取出位置有关。).(2)(1P-(S

9、).(2)(1Z-(SkG(S) nPSPSmZSZS3.传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数N大于等于分子多项式的次数M， 。MN 4.传递函数写成 的形式，则 和 为G(S)的零点和极点。mZZZZ321,nPPPP321,5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。 G(S)X1(S)X2(S)X(S)X(S)X(S)(S)G(S)X(S)X 12三.方块图1.定义:每个环节的功能和信号流向的图解表示 ；(3).分支点:信号分出的一点,称为分支点,通过分支点的信号都是相同的；(4).方框:对信号进行的数学变换； (S)X-(S)XE(S)

10、212.常用符号及术语E(S)X1(S)X2(S)(2).相加点(比较点）(1).信号线:带箭头的直线,箭头表示信号方向；G1(S)G2(S)X1(S)X3(S)X2(S)G1(S)G2(S)+X3(S)X1(S)X2(S)X4(S)G2(S)G1(S)+Y(S)X1(S)E(S)X2(S)（5）.方框图的串联、并联、反馈连接。G1(S)G2(S)X1(S)X3(S)X2(S)(nG(S)2(S)G1GG(S) S (S)(S)GGG(S) )()()(X )()()(X 21113322SXSGSSXSGS3方框图的运算(1)串联连接的传递函数 结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。推广：

11、N环节串联，传递函数等于N个环节传函之积。G1(S)G2(S)+X3(S)X1(S)X2(S)X4(S)(.)()()( 21SGSGSGSGn)()( )()()(S)X(S)XG(S) 2114312SGSGSXSXSX(2)并联连接的传递函数结论：二环节并联，其等效传函等于二环节传 函之和。推广：N环节并联，其等效传函等于各环节传 函之和。G2(S)G1(S)+Y(S)X1(S)E(S)X2(S)()(1)()(S)X(S) (S)(S)X(S)GG-(S)(S)XG(S)X (S)(S)XG-(S)(S)XG(S)X (4)(3)(4) Y(S)-(S)(S)XG(S)X (1)(2)

12、(3) (S)(S)XGY(S)(2) Y(S)-(S)X(S)(1) )()()(211122211122211211222112SGSGSGSXESESGSX代入代入(3)反馈回路传递函数的求取前向通道：由偏差信号至输出信号的通道；反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。反馈通道传函前向通道传函前向通道传函闭环传函1当为正反馈时 )()(1)()(211SGSGSGS结论： ) 1 (:1递函数试求如图所示系统的传例G1(S)G2(S)G3(S)G4(S) (S)(S)G(S)GG(S)(S)G(S)GG )()()()()(4314214321SGSGSGSGSG)()()()(1(S)(

13、S)GG(S)432121SGSGSGSG(2)G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)()()()(1)()()()()(1)()()()()()()()()()()()()()()()()()(212212112211SFSHSGSGSGSRSHSGSGSGSGSCSFSXSXSXSGSCSCSHSYSYSRSSSGSX G1(S)G2(S)H(S)R(S)X1(S)X2(S)Y(S)-C(S)(S)F(S)(1)若 则 定义：C(S)/R(S)为被控信号对于控制信号的闭 环传函，记为 ，即 开环传函：前向通道与反馈通道传递函数之积 称为开环传函，记为G(S)。单位反馈：若H(S)=1，则

14、系统称为单位反馈系 统。)(S)()()(1)()()()()( )()()(1)()()()( 21212121SHSGSGSGSGSRSCSSHSGSGSGSGSRSC0)(SF(2)若定义：C(S)/F(S)为被控信号对于扰动信号的闭环传函，记为 。(3)令 称为误差传函(S)-1(S) (S) , )(1)()()()()()(2)(11)()()(2(S)H(S)2(S)G1G1R(S)(S)()()(2)(11)(2)()(0)(eeSGSRSRsSeSHSGSGSFSHSGSfSHSGSGSGSFSCSR)(Sf 控制系统方框图：应用函数方框把控制系统的全部变量联系起来以描述信号

15、在系统中流通过程的图示。 一. 方框图的绘制 步骤: 1.写出组成系统的各环节的运动方程 (传递函数)； 2. 根据传递函数画出相应的函数方框； 3. 按信号流向将函数方框一一连接起来。 : 1解源网络的结构图试绘制如图所示无例式有式有由由(1)(4) )(CS1(S)IR c1 (3) I(S)R(S)U (2) (S)U(S)RI(S)U (1) (S)I(S)II(S) 2111122020011i0112121SIiRdtiiRuuRiuiiii Cii1i2R1R2UiU0I2(S)I1(S) I(S)+R1CSI1(S)I2(S) R2I(S)U0(S)()(1)( )2(0i1S

16、USURSI式变换对U0(S)UI(S)I1(S)1/R+-)()( )4(112SCSIRSI式变换对式有对)3(Ui(S)U0(S)I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)1/RR2CSR1+二. 方框图的简化G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)G(S)X2X1X1 (1)分支点前移分支点等效移动规则分支点前移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。 (2) 分支点后移分支点后移,在移动支路中串入所越过传递函数的倒数的方框。G(S)1/G(S)X1X2X1G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3 (1) 相加点前

17、移2相加点等效移动规则相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 (2) 相加点后移 相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。 G1G2G3G4G5G7G6-BA并求其闭环传递函数。试对其进行简化图所示设多环系统的方框图如例 , 1(1) 前向通道中各串联函数方框的传函乘积保持不变；(2) 各反馈回路所含函数方框的传函之积保持不变。3.方框图的简化原则处移至将分支点解BA:G1G2G3G4G4G5G7G6-点后移或者相加点后移另外亦可把则得将系统的闭环传函BGGGGGGGGGGGGGGGS6325437432114321)(x1x4x3x2abc1节点：用以表示变量或信号

18、的点称为节点，用“o”表示。传输：两节点间的增益或传递函数称为传输。支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段支路的增益即为传输。源点：只有输出支路而无输入支路的节点（与系统的输入信号相对应）。一.信号流图的常用术语 : 阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输 出节点，与输出信号相对应。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径。开通路：如通路与任意节点相交不多于一次，称为开通 路。闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其 它节点相交次数不多于一次，则称为闭通路或 回路。回路增益：回路中各支路传输的乘积。不接触回路：回路间没有任何共有

19、节点，则称其为不接 触回路。前向通路：从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，称为前向通路，前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路增益。二. 信号流图的基本性质x1x4x3x2abc11以节点代表变量，源点代表输入量，阱点代表输出量，用混合节点代表变量或信号的汇合。在混合节点处，出支路的信号等于各支路信号的叠加。2以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。3增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为阱点。4对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相

20、转化。三. 信号流图的简化X1X2X3X4a1a2a3X1X2X4a1a3a2a4abX1X2X1X2aba1 (1) 串联支路的总传输等于各支路传输之积;(2) 并联支路的总传输等于各支路传输之和;(3) 混合节点可以通过移动支路的方法消去;(4) 回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路。四. 梅森增益公式余余子子式式。称称为为前前向向通通道道特特征征式式的的后后的的特特征征式式路路条条前前向向通通道道相相接接触触的的回回中中除除去去与与第第在在益益乘乘积积之之和和每每三三个个互互不不接接触触回回路路增增乘乘积积之之和和每每两两互互不不接接触触回回路路增增益益所所有有回回路路增增益益之之和和其其中中即即信信号号流流图图的的特特征征式式条条前前相相通通道道的的通通路路增增益益第第总