随机变量的联合概率分布

1、随机变量的联合概率分布本章主要学习内容一、随机变量的联合概率分布 二、随机变量的独立性二、随机变量的独立性 三、常见随机变量的联合分布 四、随机向量的函数的分布 第一节、随机变量的联合概率分布一、离散型随机变量的联合分布 1、联合分布联合分布 设随机变量设随机变量X和和Y是离散型随机变量，其一切是离散型随机变量，其一切可能值相应为 xi 和 yi随机变量X和Y的联合概率分布，亦称做随机向量(X, Y)的概率分布，表示为：jijipyYxX,P其中 ijijijp,p1 0离散型随机变量X和Y的联合概率分布常用列联表表示（表3.1） 表3.1 离散型随机变量X和Y的联合概率分布 2、边缘概率分布

2、、边缘概率分布 凡是可以由联合分布得到或决定的概率分布，统称为联合分布的边缘概率分布边缘概率分布随机变量X的概率分布和Y的概率分布，完全决定于X和Y的联合分布： , iiji jijjXxXx YyppPP，, jiji jjiiYyXx YyppPP3、条件概率分布、条件概率分布由变量X和Y的联合分布可见，对于给定的xk ，若PX= xk0，则 ， )1,2,( ,jppxXyYxXxXyYkjkkjkkjPPP称做Y在X= xk条件下的条件分布，或Y关于X= xk的条件分布条件分布具有（无条件）概率分布的一切性质 4、多元离散型联合分布、多元离散型联合分布 读者自己容易把二元情形推广到多个

3、离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布n个随机变量的联合分布的边缘分布，包括任意m(1mn)个变量的概率分布和联合概率分布 例例 3.3 假设随机变量X和Y的联合概率分布为 30. 020. 010. 025. 015. 0) 1 , 2()2 , 1 () 1 , 1 ()2 , 0() 1 , 0(,YX分别求X和Y的概率分布求Y关于X的条件概率分布 解解 易见X有0,1,2等3个可能值，而Y有1,2等两个可能值 00,10,20.4 XXXYXy1PPP（）、 的概率分布 ，11 ,11 ,20.301222,1 0.3 0.4 0.3 0.3XXYXyXXYX PPPPP，；

4、10,112,10.55YXYXYXYPPPPY的概率分布，1221110.550.45 0.550.45YYY PP；，02| 213 . 03 . 021, 22| 1XYXYXXYPPPP1 ,11 ,20.10 10.20 21|12|110.3310.30 3XYXYYXYXXX PPPPPP，0,10,20.15 30.25 51|02|000.40 800.40 8XYXYYXYXXX PPPPPP，(2) 求Y关于X的条件概率分布Y关于X=0的条件概率分布： Y关于X=1的条件概率分布： Y关于X=2的条件概率分布： 二、连续型随机变量的联合密度 1、联合密度联合密度 对于二连

5、续型变量X和Y，(X,Y)可视为平面上的点对于平面上的任意区域G，点(X,Y)属于G的概率通过一非负二元函数f(x,y)的积分表示： .dd ),(),(yxyxfGYXGP特别，若G=(x,y):axb,cy0，称 )( )( ),( )|(11 | 2yxfyxfxyf为Y关于X=x的条件密度条件密度同样定义X关于Y=y的条件密度f1|2 (x|y) 显然 )|()( )|()(),(2 | 121 | 21yxfyfxyfxfyxf称做密度乘法公式密度乘法公式 例例3.4 假设 是原点为圆心、半径 222 : )(ryxx,yG为r的圆（图3.1）；已知X和Y的联合密度为f(x,y)，在

6、圆G上为常数，在圆G外f(x,y)=0试求， (1) 联合密度f(x,y)，(2) f(x,y)的边缘密度，即X和Y的密度f1 (x)和 f2(y)；(3) Y关于X=x的条件密度f2|1 (y|x) 221 ( )1 , ( , )( , ) 0 , ( , )crx yGXYf x yrx yG从而若，于是得到 和 的联合密度为若221 1( , )d d d dGrf x yx yc x yc r 解：（）、由于 G的面 等于可圆 积 见( , ) f x yXYG（ ， ）在 上这时，称 为二元均匀密度二元均匀密度，称服从二元均匀分布二元均匀分布 (2) X和Y的密度f1 (x)和 f

7、2(y),当|x|r时，显然f1 (x) =0设|x|r，则X的密度 222212d 1d),()(2222xrryryyxfxfxrxr于是，得X的概率密度 若，若rxrxxrrxf| 0| ,2)(2221同理可得Y的联合概率密度 若，若ryryyrryf| 0| ,2)(2222(3) 对任意x, 只要f1 (x) 0，则Y关于X=x的条件密度为 | , 0 | 21)(),()|(22222211 | 2若，若，xryxryxrxfyxfxyf注意，X和Y的分布不是均匀分布，它们之中一个关于另一个的条件分布都是均匀分布4、多元联合密度多元联合密度 类似地可以引进多个连续型随机变量的联合

8、密度、边缘密度和条件密度因为很容易由二元密度f(x1,x2) 推广到多元密度f(x1,x2 ,xn ) 故留给读者自己完成注意，n(n2)个随机变量的联合密度的边缘密度，包括任意m(1m)个变量的概率密度或联合密度 三、随机变量的联合分布函数 1、联合分布函数和边缘分布函数联合分布函数和边缘分布函数 (1) 称r元函数 ),(,),(21221121rrrrxxxxXxXxXxxxFP为随机向量X=( X1 ,X2 ,Xr )的分布函数,或随机变量X1 ,X2 ,Xr的联合分布函数联合分布函数 (2) 随机变量X1 ,X2 ,Xr中，各变量的分布函数，以及其中任意m个变量的联合分布函数F(X1

9、 ,X2 ,Xr)，统称为联合分布函数的边缘分布函数边缘分布函数. 2、联合分布函数的性质 以随机变量X和Y的联合分布函数F(x,y)为例基于一元分布函数的性质和二元分布函数的定义，不难理解F(x,y)的如下性质(1) 0F(x,y)1，且对于每一自变量单调不减(2) 对于每一自变量，F(x,y)右连续 (3)(, )( ,)0,(,)1.FyF xF 、(4) 对于任意实数ab,cd,，有（图3.2） ),(baFxxbybayaOdcO图3.2二元分布函数示意图b(a)(b),(),(),(),( , caFcbFdaFdbFdYcbXaP(5) F(x,y)完全决定X和Y的分布函数F1(

10、x)和F2(y) （反之未必）： 1( ),( ,)F xXxXx YF x PP，2( ),(, )F yYyXYyFy PP(6) 连续型随机变量X和Y的联合分布函数F(x,y)，可以表示为： )( dd),(),(- xuufyxFxyvv其中f(x,y)是X和Y的联合密度；对于几乎一切(x,y)，有 ),(),(2yxfyxyxF例例3.7 假设随机变量X和Y的联合概率密度为 ，若不然。，若 0 10 , 104),(yxxyyxf(1) 求X和Y的联合分布函数F(x,y)；(2) 求X和Y的分布函数F1(x)和F2(y) 解解 (1)当x0 或y0时显然F(x,y)=0；当x1或y1

11、时显然F(x,y)=1；对于0 x1, 0y1，220 0( , )4d d (01,01) yxF x yst s tx yxy；120 0( , )4d d (01,1) xF x yst s txxy；120 0( , )4d d (1,01) yF x yst s tyxy于是2222 1 1101,01( , ) 01,1 01,1 0 xyx yxyF x yxxyyyx，若或，若，若，若，其他(2)当x1时， F1(x) =1；现在设0 x1，有 21( )( ,),1( ,1).F xF xXx YXx YF xx PP于是，X的分布函数 210 ,0,( ) 01,1 , 1xF xxxx若， 若 若类似可得F2(y) 因此，有 220 ,0,( ) 01,1 , 1yF yyyy若， 若 若例例3.8 设随机变量X和Y的联合分布函数为 0 min , 0 , ( , )min , 0min , 1 , mi