北京市顺义区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷（word版含答案）.docx

1、北京市顺义区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷考生 须 知1. 本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分。考试时间120分钟。2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级。3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.c (|)在复平面内，复数一!-对应的点在(D)第四象限(D) (-2,0)l-i(A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(2) 集合 4 =

2、一2,1,0, B = xx2,则 =(A) -1)(B) (-1,0(C) -2,-1(3) 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(C) y = log,x(D) y = sinx(4)已知。=时=1,且。_L (。+ 3片)，则向量。，片夹角的余弦值为(B) 4(A)3(5)在等差数列%中，0-6=2，4=1，则(A) 5(B) 4(C)-5%2(C)(D)(D)(6)己知xgR,则“上 1 ”是，以 1 ”的X(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)己知过的平面与正方体ABCDWCn相交，分别交棱cq于M, N.则下列关

3、于截面BMD】N的说法中，不正确的是(A) 截面BMRN可能是矩形R(B) 截面BMD】N可能是菱形所以，可解得a = 2,c = &4分r2所以椭圆c方程为彳2 J（II）因为C,D两点不同于A点，所以直线CZ）斜率一定存在,可设方程为y =+ 设C（xl,y1）,£（x2,y2）,其中也工0,邑主0联立方程组y = kx + m.消去），化简可得- + k 彳+E*31-.24x2 + 2kmx + 麻 _ = o6 分所以"尸盖，心=冷式又人（0,1）,所以心。二兰旦，kAD =所以直线AC方程为丫 = 土旦尤-1,直线AO方程为），=五丈1工_1令1 = 4

4、得光=也兰一1，），&=四土一 1M工210分因为鸟和B关于轴对称，所以光+为=0即匀士: +公土一2 = 0M 芍12分乂 Vi =奴+ y2 = kx2 + m 代入上式，整理可得（4A-1）石毛 +2（/?z+l）（x1 +易）=0将式代入可得m = -4k14分所以，直线CD的方程为=公+1-4比，即y-=k（x-4）所以，直线CD过定点（4,1）15分（2）方法二：首先根据3与0关于尤轴对称，有无+），用=0,进而kAC + kAD = kAB + kABl =+"4=!记 CD:y = kx + m ,设。3，凹）,。（工2，）2），其中 *。0，易。0联立方程组

5、，y = kx + m(j , 消去y,化简可得- + k + y- =1(44 从而k_L=J = 兰性也 x2 xx2 tn" -1另一方面,X2 + 2kmx + 麻 一 1 = 0 ,8 分10分«+稣=1=心+心= m+l±l = 2n(ii)仁2 X x2 工|x2石 x2 J所以 2& + (? + 1)-孝%) = ?,12 分化简可知一2* = 5（?一1） <=>4k+ ? = 1,14 分所以，直线C。与直线x = 4相交于定点（4,1）.15分（其它方法酌情给分）21、（I） 7； g（-7-5-3-1,1,3,5,74

6、 分 注：每够两个值给1分，有1个错值扣1分.最少得0分.(II)(充分性U)当=-1时，可得T= -2n' + 纶 2"一2 + % 2”一3 + + %< 21 + % 2°<一2'1 + (T'1 + .+ 2'+2°)7 分= -!<();（必要性=>）当给匕 2"一| + % 2"f + %. 2”-3 + +%.】. 2' + % . 2° < 0 时,用反证法,假设6=1,则 7； = 2"T -2n2-2n3 + +-2' -2&#

7、176; = 2n_,-（2W_,-!）= !>0,矛盾.从而 «=-!.1（）分（III）当EM。时，根据第（2）问结论可知«,=-!,并且反之亦然. 当=-1时，（,，。丽）有2"中不同取值方式，其中举与-2%2"与-与-2°,在所有指数和中出现的总次数都是2咽种，14分因此这些项对指数和的总贡献为零.另一方面-2"在所有指数和中出现2"次, 从而所有指数和之和为（-2"）.2w=-2,98.（其它正确方法酌情给分）（C）截面BMD'N可能是梯形（D）截面BMD、N不可能是正方形已知两点"

8、;（一5，°）,'（5,0）,若直线上存在点，使得 PM-PN=S成立，则称该直线为“单曲直线”.下列直线中，“单曲直线"是y=x+2X = 4；*4©y = x-1(B)（A） ®（9）如图，oA，ab2a2是全等的等腰直角三角形，月,与为直角顶点，三点共线.若点4,R分别是边的动点（不包含端点）.记咋弱定,n=(A)(B)in < n(C)(D)大小不能确定（10）为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛.现有四位选手进入到决赛.决赛按"琴、棋、书、画''的主题分为四个环节，规定每

9、个环节的第一名到第 四名的得分依次为4, 3, 2, 1分，四个环节结束后统计总分.若总分第一名获得14分，总分第二名获得13分.有下列结论: 总分第三名不超过9分； 总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分; 总分第四名不超过6分； 总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名.其中，所有正确结论的序号是(A)（B）（C） ®®第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.(11)函数/(-) = l2-X 4- lg(%+ 1)的定义域为.(12)(13)在（亍+纣5的展开式中次的系数为.x将直线/：x-y+2=0绕着点A（l

10、,3）按逆时针方向旋转15°，得到直线L .则L的倾斜角为.,（用数字作答）方程是,（14）若实数力满足a = b-,贝ij使得0汕2成立的一个。的值是(15) 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的 方式行走.在平面直角坐标系中，定义r/(P,Q) = x 一毛|+|) -对为两点。(易双)之间的"出租车距离给出下列四个结论： 若点0(0,0),点A(l,2),则d(O,A) = 3; 到点O(0,0)的“出租车距离”不超过I的点的集合所构成的平面图形面积是几； 若点A(1,2),点8是抛物线y2=x±的动点

11、，则6/(AB)的最小值是1； 若点人(1,2)，点8是圆疽+)，2=上的动点，则d(A/)的最大值是3 + JL其中，所有正确结论的序号是.三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(16) (本小题14分)如图，在长方体ABCDfBCD】中，AO = M=1，AB = 2，点、E在线段AB上.(I) 证明：(II) 当点E是AB中点时，求A|D与平面所成角的大小.AE B(17) (本小题 14 分)在八ABC中，。=1, csin A = JocosC(I) 求C的大小；(II) 再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为己知，判断ABC是否存在，若不存在，

12、说明理 由；若存在，求出ABC的面积.条件：cosAcosC = ；4条件：b2-c2 =ad条件：a,b,c成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(18) (本小题14分)某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B两种农产品供选择，每人只购其 中种.大家约定：每人通过掷次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2,购买农产品 A,若掷出点数大于2,则购买农产品B.(I)求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；(II)用E 分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记X =乡7,求随机变量X的分布列与数学期望 研X).1 Z7 9(19

13、) (本小题14分)已知函数/Cv) = -ar + (>0)2 2x(I) 若。=1,求曲线>' = /(%)在点(1,/(1)处的切线方程；(II) 若对任意xel,-Hx),都有/(x)>lnx.求实数的取值范围.(20) (本小题15分)已知椭圆W:j +号=1过点A(0,l),且离心率e =(I) 求椭圆W的方程；(II) 点B在直线x = 4±，点B关于*轴的对称点为B.直线ARA；分别交椭圆W于C,。两点(不同于A 点).求证：直线CO过定点.(21) (本小题 14 分)数列&： % %，(22)满足£卜1,1 (1 = 1

14、,2,称Tn = % 2”-* + / 2-2 + % 2”t +. + % . 2' + % 2° 为数列 4 的指数和(I) 若 =3,求£所有可能的取值；(II) 求证：L <0的充分必要条件是 = T ;(III) 若琨<0,求琨的所有可能取值之和.北京市顺义区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.BBDAA BCDBC60° yj；y-3 = >/3（x-l）15、二、填空题共5道小题，每题5分，共25分13、11、(-1,212、1014>。丘树-2V。v-1

15、或()V。vl注：11题不写成集合，但结果正确的，给2分12题没写成数字的，不得分13题第一空给3分，第2空给2分，第2空不化简不扣分14题没有写出具体取值，而是解出取值范围，得2分15题有错不得分，只选1个正确选项得2分，选择2个正确选项得3分三，解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16>A E B(I)连结AQ,因为在长方体ABCD-BD所以有ABA.平面A,ADD,人0 u平面所以AB 1 A.D 2分又因为40 = 44 =1,所以四边形是正方形所以AQJ_A。，又所以A.DL平面ARE 4分又D】Eu平面AD£所以6分注：若第一问中，将E取

16、做中点或其它特殊点，如果证明过程正确，则最多给3分(II)以点。为原点，£)A所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，。所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 则各点坐标为 d(o,o,o), 4(i，°，i)，0 (o,o，i)当点E是AB中点时，可得研1,1,0)所以诳=(1,1,一1), CE = (l-lf0)8 分设云=3 y, z)为平面D,EC的一个法向量则.竺 =o即，nCE = 0所以方= (1,1,2)10分乂蓍=（一1,0,-1）,所以cos（初3）二AD /? _ /3=一设3D与平面。占C所成角为0, 0<6><|,则 sin 9= co

17、s(4D,)=12分即0 =三所以AQ与平面。占C所成的角为;14分17、(I)因为osinA = JocosC,由正弦定理sin A sin C可得 osinC = csin A 所以rzsinC = >/3acosC ,即林迈又0<c<所以(II)选择条件：cosAcosC = 24由知，C = L. cosC = -所以cos4 = 可得A = -4此时ABC存在10分t/sin C _ >/6因为。=1 ,所以Csin A 211分E、L . 5 兀. 71 71又因为sin= sin + 12"7171 . 7t= sincos + cossin =

18、64644所以$昼*=!贝118 =圣普7114分注：如果没有判断A8C是否存在，而直接求出ABC的面积，不扣分选择条件：b2-c2=acjrTT d + C I因为c；'由余弦定理可得弓，lab又。=1所以可得h2-c2=h-,10分x+y-z = 0口令工=1,可得)，= l,z = 2x- y = 012分又由条件：b2-c2=ac可得b2-c2 =。所以c、= Z?l,又a = l,所以可得b = a + c,这与在A8C中，。+。人矛盾故此时AABC不存在14分选择条件：a,b,c成等差数列因为a,b,c成等差数列，所以2b = a + c,7分因为。=1,所以2b = 1

19、+ c2»2又由余弦定理可得cos- = " + 一° = 一，9分3 2ab 2化简得h2-c2=b-10分联立方程组32；二:可解得人=1城=°(舍)12分又i = l, C = -,所以可知AABC为等边三角形，此时ABC存在3所以 S.mbc =absin C = W14 分注：如果没有判断A8C是否存在，而直接求出A3C的面积，不扣分18、(I)由题可知购买农产品A的概率为32分2购买农产品B的概率为§设事件C为4人中恰有1人购买农产品A ,3分依题可知，4人是否购买农产品相互独立，互不影响4分所以 P(C)= C；328?5分注：没

20、有判断是否为相互独立事件，扣1分，没有设事件，扣1分，最后结果不化简，结果正确，不扣分7分(II)用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，则季可取 0,1,2,3,4, 可取。,1,2,3,4,当g = 0时,表示4人全部购买产品B,当4 = 1时,32表示4人中恰有I人购买农产品"概率昨曲当S = 2时,表示4人中恰有2人购买农产品A ,f2?3248?rivbJ3° 1=8?所以由可知，X的可能取值为0,3,4对应的概率P= + =,'5 8140 对应的概率?4对应的概率P=R=，3 81当X=0时,当X=3时,当X=4时,当6 = 3时， =1,表示4人

21、中恰有3人购买农产品概率=当8 = 4时， =0,表示4人中全部购买农产品A,概率R=UX034p178?408?248?所以随机变量X的分布列为14分又/=。，.仲）=!+4分12分所以，数学期望 E（X） = Ox + 3x2 + 4x =-.v 7818181 3注：期望公式表达正确，得1分，期望值结果正确，不化简不扣分.19、（I）当。=1时，函数=定义域为上刊,22.1所以广（1） = 1所以曲线y = f（x）在点（1/（1）处的切线方程为yo = xi即x-yi = o -6分 （II）若 /（x）lnx 在1,+oo）上恒成立，1 c即一破+In x 2 0在1, +8）上恒成立xg1,+oo)Inx,2 2x 可设g（x）=：双+三mxg1,+oo)2x则知）=