二次函数专题讲解

1、 1 二次函数专题讲解二次函数专题讲解 一、知识综述：一、知识综述： 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，。 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx . 4.二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： 2axy ； kaxy2； 2hx

2、ay； khxay2；cbxaxy2. 它们的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x（y轴） （0,0） kaxy2 0 x（y轴） (0, k) 2hxay hx (h,0) hx (h,k) cbxaxy2 abx2 (abacab4422，) 开口大小与a成反比，a越大，开口越小；a越小，开口越大。 5.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交

3、点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 6.二次函数图象的平移 左加右减（对 X） ，上加下减（对 Y） 。 二、二、考点分析及例题解析考点分析及例题解析 考点一：二次函数的概念考点一：二次函数的概念 khxay2 2 例例 1 1：如果函数1) 3(232mxxmymm是二次函数，那么 m 的值为 。 考点二：二次函数的图象考点二：二次函数的图象 例例 2（2016 年广东省广州市）已知抛物线 yx22x2 （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x y （3）若该抛物线上两点 A（x1，y1）

4、 ，B（x2，y2）的横坐标满足 x1x21，试比较 y1与 y2的大小 例例 3 (2016 年安徽省芜湖市)二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，反比例函数 y ax 与正比例函数 y（bc）x在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） 例例 4 4 (2016 年兰州市)抛物线cbxxy2图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图像的解析式为322xxy，则 b、c 的值为（ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 例例 5.（2006，大连）右图是二次函数 y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2=mx+n

5、 的图像，观察图像写出 y2y1时，x 的取值范围_ 变式训练：变式训练： 1、在同一坐标系中，直线baxy和抛物线cbxaxy2的图象只可能是（ ） 2、 （山西）抛物线 y=2x24x5 经过平移得到 y=2x2，平移方法是（ ） A向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 -5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5xy-11Y O X Y O X Y O X Y O X 3 B向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 C向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 D向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 考点三：确定二次函数的解析式考点三：确定二次函数的解析式 例例 4

6、 4： （2016 年宁波市）如图，已知二次函数cbxxy221的图象经过 A（2，0） 、B（0，6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点 C， 连结 BA、BC，求ABC 的面积。 解： （1）把 A（2，0） 、B（0，6）代入cbxxy221 得：6022ccb 解得64cb 这个二次函数的解析式为64212xxy （2）该抛物线对称轴为直线4)21(24x 点 C 的坐标为（4，0） 224OAOCAC 6622121OBACSABC 变式训练变式训练： 1、已知：函数cbxaxy2的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A）322xxy （B）

7、322xxy （C）322xxy （D）322xxy 考点四：最值问题考点四：最值问题 例例 5 5：矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8 cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式.并求出 CQ 的最大值。 例例 6 6：如图，抛物线的对称轴是直线 x=1，它与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于 C 点。点y x C A O B 第 4 题 3 o -1 3 y x A B C D P Q 4 A,C 的坐标分别是(-1,0),(0,23) （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）若点 P

8、 是抛物线上位于轴上方的一个动点，求ABP 的面积的最大值。 变式训练：变式训练： 1、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这个正方形面积之和的最小值是_cm。 2、 如图，在 RtABC 中，C=90，BC=4，AC=8，点 D 在斜边 AB 上，分别作 DEAC，DFBC，垂足分别为 E、F，得四边形 DECF，设 DE=x，DF=y （1）用含 y 的代数式表示 AE； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值 考点五：以二

9、次函数为基架的综合题考点五：以二次函数为基架的综合题 例例 7：某超市经销一种销售成本为每件 40 元的商品。据市场调查分析，如果按每件 50 元销售，一周能售出 500 件， 若销售单价每涨 1 元， 每周的销售量就减少 10 件。 设销售单价为每件 x 元 （x50） ,一周的销售量为 y 件。 （1）写出 y 与 x 的函数关系式； （标明 x 的取值范围） （2）设一周的销售利润为 s，写出 s 与 x 的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，香洲随着单价的增大而增大； （3）在超市对该种商品投入不超过 10000 元的情况下，使得一周销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多

10、少？ 变式训练：变式训练： 某商店经销一种销售成本为每件 40 元的商品据市场分析，若按每件 50 元销售，一个月能售出 210 件；销售单价每涨 1 元，则每个月少卖 10 件设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，每个月的销售利润为 y 元。 (1)求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大的利润？最大利润是多少元？ 三、课堂练习三、课堂练习 5 1已知二次函数bxay2) 1(有最小值 1，则 a 与 b 之间的大小关系是 （ ） Aab Ba=b Cab D不能确定 2 （长沙）二次函数 y=ax2+bx

11、+c 的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ） Aa0 Ca+b+c0 3 （2008，威海）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像过点 A（1，2） ，B（3，2） ，C（5，7） 若点 M（2，y1） ，N（1，y2） ，K（8，y3）也在二次函数 y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y3y2 4如图所示，抛物线的函数表达式是（ ） Ay=x2x+2 By=x2x+2 Cy=x2+x+2 Dy=x2+x+2 5 （，泰安）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m和 y=mx2+2x+2（m是常数，且 m0）

12、的图像可能是（ ） 6求下列函数的最大值或最小值 （1）xxy22； （2）1222xxy 7已知二次函数mxxy62的最小值为 1，求 m 的值 8心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分）之间满足函数关系：)300(436 . 21 . 02xxxyy 值越大，表示接受能力越强 （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？ 9如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m） ，围成中间隔有一道篱笆的长

13、方形花圃设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2 6 （1）求 S 与 x 的函数关系式； （2）如果要围成面积为 45 m2的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比 45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由 10如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，线段 EF 在对角线 AC 上，EGAD，FHBC，垂足分别是 G、H，且 EG+FH=EF （1）求线段 EF 的长； （2）设 EG=x，AGE 与CFH 的面积和为 S， 写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围，并求出 S 的最小值 11在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面 19 米，当球飞行距离为 9 米时达最大高度 55 米，已知球场长 18 米，问这样发球是否会直接把球打出边线？ 12. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系） 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与时间 t（月）之间的函数关系式；（2） 求截止到几月末公司累