二次函数与平行四边形综合

1、第十八讲二次函数与平行四边形综合1、 教学内容1. 二次函数的表示,二次函数图像与性质；2. 平行四边形的性质和判定；3. 函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题；2、 例题细看【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、轴的交点分 别为，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点（1）直接写出点的坐标，并求过三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为为线段上一点，直接写出的取值范围.【考点分析】二次函数综合题【PEC分析】（1）点A的坐标是纵坐标

2、为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6AB=10，AH=4，设OC=x，则AC=8-x由勾股定理得：x=3点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的

3、交点为K，当点Q与点K重合时，|QA-QO|取得最小值0【跟踪练习】例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；A（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由【例2】 如图，点是坐标原点，点是轴上一动点.以为一边作矩形，点在第二象限，且矩形绕点逆时针旋转得矩形

4、过点的直线交轴于点，抛物线过点、且和直线交于点，过点作轴，垂足为点 求的值； 点位置改变时，的面积和矩形 的面积的比值是否改变？说明你的理由【PEC分析】（1）由题意知OB=2OA=2n，在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF的表达式，也就求出了FB的长，由于F的坐标为（0，m）据此可求出m，n的关系式，可用n替换掉一次函数中m的值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值（2）思路同（1）一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a，b，c与n的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出AMH的面

5、积和矩形AOBC的面积进行比较即可图4【跟踪练习】（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是， ， ；图1图2图3（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 运用与推广（4） 在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行

6、四边形？并求出所有符合条件的点坐标【例3】 如图1，中，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点的抛物线的一部分（如图2所示）（1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么表示当时，的长与矩形面积的对应关系.赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了.请根据上述对话，帮他们解答这个问题. 【考点点评】本题结合

7、三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键【PEC分析】（1）由于y是x的函数且过（12，36）点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长（2）与（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值【跟踪练习】如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，

8、定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由1234554321【例4】 如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点设点是平分线上的一个动点（不与点重合）（1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确 定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标。【PEC分析】本题综合考

9、查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题（1）通过POCPOD而证得PC=PD（2）首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；（3）此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与AOC的平分线的交点，再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标进而求的PED的周长；（4）要使CPN=90°，则P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出P点的坐标【例5】 如图，已知抛物线：的图象与轴相交于两点，是抛物线上的动点(不与重合)，抛物线与关于轴对称，以为对角线的平行四边形的第四个顶点为（1）求的解析式；（2）求证

10、：点一定在上；（3）平行四边形能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由（注：计算结果不取近似值）【PEC分析】（1）根据l1的解析式可求l1与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l2与l1关于x轴对称，实际上是l2与l1的顶点关于x轴对称，即l2的顶点为（0，4），设顶点式，可求抛物线l2的解析式；（2）平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B（m，n），则点D（-m，-n），由于B（m，n）点是y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，-n=-（m

11、2-4）=-m2+4=-（-m）2+4，可知点D（-m，-n）在l2y=-x2+4的图象上；（3）构造ABC=90°是关键，连接OB，只要证明OB=OC即可，为求OB长，过点B作BHx轴于H，用B的坐标为（x0，x02-4），可求OB，用OB=OC求x0，再计算面积【跟踪练习】如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于，两点(点在点的左侧)，顶点为，四边形的面积为若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点

12、重合为止求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，说明理由3、 课堂一试1.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴、直线于，连结交轴于，直线交轴于 求证：点为线段的中点； 求证：四边形为菱形； 除点外，直线与抛物线有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由2.如图，在平面直角坐标系内，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点（1）求这条抛物线所对应的二次函

13、数的关系式；（2）将（1）中所求抛物线沿轴平移在题目所给的图中画出沿轴平移后经过原点的抛物线大致图象；设沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线相交于点判断以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；（3）点是沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。求点的坐标，使得以 四点为顶点的四边形是平行四边形yxABBOM3.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的

14、平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由yxODECFAB4.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-4-0图10(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF

15、，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.5.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在

16、邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由6. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理

17、由；若存在，求出点Q的坐标图1图24、 课后有练1.如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积（1） S与相等吗？请说明理由（2）设AEx，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形 图11图102.如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4） 点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ （1）点 （填M或N）能到达终点；（2）求AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由图123.已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两