一、圆锥曲线的光学性质及其应用

1、圆锥曲线定值定点子弦的课例分析一内容介绍1教材内容分析本节课“圆锥曲线定值定点子弦”是普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-1 A版第二章的内容。圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考考查的重 点和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高，这些问题重点 考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.定值问题与定点问题是这类 题目的典型代表，为了提高学生的解题效率，特别是高考备考效率，列举了一些典型的 定点和定值问题，以起到抛砖引玉的作用。2.学生情况分析新课标下的高考数学，越来越重视对学生综合素质的考察。圆锥曲线中的定点定 值问题，便是考察学生综合数学素质的一个重

2、要途径。此类问题主要涉及到直线、圆 与圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数、化归、数形结合的思想，所以是高考的热点 题型之一。但是这类问题难度相对较大，学生在学习中的掌握情况较差。为了提高学 习的有效性，本人通过变式探究的方法为学生创设了积极主动多效的学习方式，使课堂充满乐趣，大大提高了学生的综合素质，自然也提高了备考效果。二、教学目标：知识与技能：1、培养运算能力。2、通过引入参数，建立含参等式寻找定点。3、培养由特殊到一般的探索能力。过程与方法：通过小组合作、自主学习培养学生分析、解决问题的能力。情感态度与价值观：1、认识世界总是从特殊到一般，再由一般到特殊，数学研究也不例外，由特殊到一般，再

3、由一般到特殊的基本认识过程，就是数学研究中的特殊 与一般思想。2、在运动中寻找不变量，动静结合，体现哲学中动静既对立又统一思想重点：1、掌握圆锥曲线中斜率等和子弦的定点定值。2、掌握圆锥曲线中斜率等积子 弦的定点定值。难点：运算技巧，化简。引入：圆锥曲线上的定点定值子弦的含义设点P是圆锥曲线上的一个定点，PA, PB是该曲线过定点P的两条弦，当直线 PA PB的斜率之积为定值时，称线段AB为该曲线上定点P的关于定值的斜率等 积子弦；当直线PA, PB的斜率之和为定值'时，称线段AB为该曲线上定点P的关 于定值的斜率等和子弦；并把这两个子弦统称为定点 P关于定值的定值子弦。四、教学过程：

4、a2 b高考题回顾：（2017年，全国I卷，理数20）已知椭圆C：刁£=1（a>b>0）,四点 R (1,1), P2 (0,1), P3 ( -1 , ), P4 (1,)中恰有三点在椭圆 C上.2 2(1) 求C的方程；(2) 设直线I不经过P2点且与C相交于A, B两点若直线P2A与直线RB的斜率 的和为-，证明：I过定点.解：(D根据椭圆对称性可得，P1(")P4( 1,冷)不可能同时在椭圆上，P3( - 1, l ), P4( 1,舟 )一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过P2 ( 0,1 ), P3 ( - 1 ,扌)，P4( 1,13代入椭圆方程可

5、得：b = 1, = 1= a = 2 ,a 42故而可得椭圆的标准方程为： y1 04 根据题题意，直线AB的斜率存在，设AB的方程为y二kx m设Ax1,y1 ,Bx2,y2 ,联立方程得消去 y 可得：4k消去 x 可得：4k2 1 y2 - 2my m2 - 4k2 二 01 x2 8kmx 4m2 - 4 = 028km4m -4洛 X22 , NX?y = kx m2 y2 =1 .4y1 y22m荷,y1"匚曲(此题不用，后面改编题可用上)4k 1kF2AkP2BX1X2即x2 二 x2 % _1x1 y214k2 14k2 1一 XjX2 = x2 kxj m _1

6、|亠 x-i kx2 m -12k 1 XjX2 亠m -1 x1 x2 = 02k 14m2 - 424k 1m-1-8km24k 1=0m -1 m 2k 1 =0m =1时，直线AB方程：y二kx1过2,舍去。m=2k-1 时，直线 AB 方程：y=kx-2-1，过定点(2,-1)。分析：弓I入课题，为求解定点提供模板。提出新问题探索新定值定点。改编1:设直线I不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的 积为-1，试探I是否过定点？4解：设 A xn y1 , B X2, y2 ，则:kP3AkP3B ='，即:y1 -1 y2 _1X21y2 - 力y2

7、1X1X22 22mm 4k2 , y1 y224k 14k 1428km4m -4X1 X22 , X1X2 ：4k +14k +11 4m2 - 44k2 14k2 12 2 2 2m -4k -2m 4k 1 =1-m解得：m = 0过定点(0,0)m=1(舍去)改编2:设直线I不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的 积为-，试探I是否过定点？4解：设 A X1, y1 , B X2, y2 ，则:kP3AkP3B ='，即:X1x241河2 -出y 1NX?4x-ix2 二8km4k2 1,X-X24m244k2 1yi2m4k2 1,y2 二2 2

8、m - 4k4k2 1m2 _4k2（ 2m 1 4m2-4、4k +114k +1 丿 4 i 4k +1 /2 2 2 2m -4k -2m 4k 1 二 m -1解得：m=1（舍去）改编3:设直线I不经过P3点且与C相交于A, B两点若直线P3A与直线P3B的斜率的 积为1，试探I是否过定点？4.3.3x11x21解：设 A X1, y1 , B X2, y2，则:28km4m 42, X1x2 =24k2 14k2 1y1y22m4k2 1,y2 二m2 _4k24k2 1刘2 -弓23 1y1y2X1X2X1X214 4kp3Akp3B =，即:彎14k2 1m2 -4k2'

9、' 2m 十3 _ 1 4m2 -44k2+1 - 2 i4k2+1 丿 4 一 4 i 4k2+1-8k2 8km -4. 3m 6 =02k - 3 -4k 4m 2、3 =0解得：k牛或m«T舍去） 改编4:设椭圆上任意一点P x0, y0 ，直线I不经过P且与C相交于A， B两点.若直线PA与直线PB的斜率的积为，试探I是否过定点？解：设 P X0, y0 , A X1, y , B 沁皿，则:kPAkPB，即:yi 'y0y2 y0*xi -'X。x2 -'X。z Hi yy： - Ex? -x。XiX2 - x21X-Ix2 =28km4m

10、 -4,XiX2:4k i2m%力"m2 - 4k2,yiy：4k2 i代入得:m2 -4k24k2 i2m4k2 i y。 yo = ,z4m2,4k2+i-48km 24!kMXo Xom2 _4k2 _2my0亠4k2i y0二4m2_ 48k m(x亠4k2ix014 -i m28k x0 2y0 m 4k2 i x： - 4k2 i y； 4 k2 - = 022x 4y =400常数项化简为：2 2 2 2 24k i Xx0 - 4k i y0 4 k -':=4k2 i x0 - 4k2 i y0 x： 4y： k2 - =4 k2x： 一 y0 k2x： _

11、4 y0=14 i k2x2 - £4 -i m2 8k x° 2y° m 4 i 疋运-y； =0m kx° -y°4' -i m kx° y° 4 ' i I - 0情形 i: m kx° -y° =0 (舍去)情形 2：4 , -i m 矶 y° 4，i =0直线AB方程为:4''' i4- -iy。:(41)° 一4 i4 -iy。丸=丄时 k =(x()式0 )4'X0例3 :已知抛物线C:y2 =4x , p（0,0）,设直线

12、I不经过P点且与C相交于A, B两点.若直线PA与直线PB的斜率的积为-,试探I是否过定点？解：由抛物线的性质易推出直线 AB过定点2p,0 。推广：已知抛物线C:y22小结：给定椭圆一2=1 a b o及椭圆上的定点P xo, yo o对于定值二，当乂 :二-2a baf 2、+ .22.22时，定点p的斜率等积子弦所在直线经过定点呼 b2 xo，-彎 b2 yo ;当“岂时,九一ba扎一b 丿a定点P的斜率等积子弦所在直线斜率为定值，或斜率不存在。给定抛物线y2 =2px p o及抛物线上的定点P xo, yo。对于定值，当 = o =2px，P xo,y。在抛物线C上，设直线I不经过P点

13、且与C相交于A，B两点若直线PA与直线PB的斜率的积为试探I是否过定点？同理:X2 -X。y2yokpA$ + y。人 y2 +yo j解：设 P x0, y0 , A x1, y1 , B x2, y2，AB方程:x =my n，则:x = my + n22y_2pmy _2pn = 0yi " =2pm, yi y? = -2 pny= 2px'2yi= 2pxi22clyi yo2p2yi-yo =2p(xi -Xo 旨Jo=2 pxoXi - Xoyi +y°y 2 2p y°2 yo yi y2 y： =4p2'-2pn 2yopm y：

14、 l=4p2 =0二 myo2.血一2p 二 myo2p时，定点P的斜率等积子弦所在直线经过定点Xo2p直线AB方程为：x = myn = m yyox。_ p我的启示：我以问题串的形式进行启发、弓I导学生自己归纳总结，找出共同点，得 到定值定点的寻找方法，主要是想培养学生的审题能力，以及培养学生的归纳概括能力。题型的推广学生不太熟悉，所以我提出可以相互讨论，希望可以通过合作学 习的方式对基础相对较弱的学生给予指导，培养学生一种互帮互助的精神。这里我 根据知识的发生，发展过程以及对学生的能力的适当的评估，引导学生自己动手， 这个过程我并没有刻意去追求“还课堂给学生”，但整个过程自然，流畅，营造

15、了 人人参与的气氛，让学生得到了充分的锻炼，激发了学生的灵气。附加题：（2017年4月北大自主招生题）2已知椭圆 y1，AB为长轴，Mi,M2,M3,M4,M5为AB的六等分点，过2M=123,4,5作斜率为k的直线，交椭圆于R,P2,Pio，则AR,AP2,，AR。这十条线的斜率之积为（）B4我的启示：起到画龙点睛的效果。五、教学反思从圆锥曲线的定义看，它本身就是“定点定值问题”。这一章是平面解析几何的 内容，以“椭圆”和“双曲线”和“抛物线”这三种曲线作为研究对象，通过引进坐 标系，借助“数形结合”思想，来研究曲线本身的方程和简单几何性质，以及直线与 曲线的位置关系及弦长等问题。解析几何是

16、用代数的手段解决几何问题，在教学中我发现了许多圆锥曲线中过定 点或比值为定值问题。讲清楚这类问题不难，教者只要讲清这类问题的原理为等式恒 成立，方法为待定系数法即可。后来发现如果只讲方法与原理，不少学生的掌握仅限 于模仿，处于知其然不知其所以然的境况；而在几何中过定点问题可以依据的几何方 法找到直观的解释。如果教者能潜心研究，发现其几何解释，这样不仅很好地解释过 定点或定值问题，而且能让学生易于接受结果，学生学习积极性的会有更好提高、 对 解几的运算更能接受。本课从2017年全国I卷出发，通过类比的手法，逐步寻找规律，由特殊到一般， 椭圆类比双曲线，扩展至抛物线。培养了学生的探索能力，数学思维

17、能力，学生小组 合作，计算能力也得到很好的展示。同时“转化、讨论”思想也相映其中，无形中增 添了数学的魅力以及优化了知识结构。 从学生角度而言，大多数学生普遍反映平面解 析几何的学习是不轻松的、做题就更困难了。这章公式是多，而且后面内容较抽象， 计算量非常大，所以难度就大大增加，进而给学习带来了挑战及困惑。关于公式，不 少学生仍然采用的是传统的学习方式： 死记硬背，机械模仿，导致在解题中往往碰壁 而影响了学习兴趣及积极性。所以就有了“解析几何”是高中阶段最难的内容。但是 用代数方法研究几何思路清晰，可以充分运用各种公式解题，特别要注意寻找题目中 或者曲线本身所含的等量关系，解题方法就自然和容易了。当然，对于高考中这道大 题来说“运算量大，解题过程繁琐，结果容易出错”等等，无疑也影响了解题的质量 及效率。新课程改革提出把课堂还给学生， 表面上好像解放了老师， 其实不然。 要让一堂 课的知识点完全由学生自己总结、 归纳，目前是不大现实的， 所以老师应该在整个课 堂中起好启发、引导作用，而这个引导者的角色并不好当。如果问题太简单，启发过 了头，学生起不到思考的作用，此时老师就应该把问题的难度，跨度加大；如果问题 太难，引导不到位，最后问题还是由老师自己解决，学生也起不到锻炼的效果，此时 老师就应