第四节向量组的秩和矩阵的秩

1、第四节 向量组的秩和矩阵的秩一、向量组的秩定义定义3.83.8 设有两个向量组1212( ),( ),.sta aab bbIP 如果向量组()的每一个向量 都可以由向量组()表出，则称向量组()可由向量组()线性表出(线性表示)；(1,2, )iisa= 如果向量组() 和()可以相互线性表出，则称向量组()和()等价等价，记作 或( )( )I P1212,.sta aab bb例例1 1设向量组123( )(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1) ,TTTeeeI=123( )(1,1,1) ,(1,1,0) ,(1,0,0) .TTTaaaP=不难看出：112321231,.

2、aeee aee ae=+=+=即向量组() 可以由向量组()线性表出。由此又可解出13223312,.eaeaaeaa=-=-即向量组()可由向量组 ()线性表出。于是向量组()和()等价。考虑向量组123()(0,0,0)(1,1,0)(1,0,0)TTTbbb=，则向量组() 可由向量组()线性表示：112321231000beeebeebe=+=+=，故向量组()不能由向量组 ()线性表示。于是向量组()、 ()不等价。但向量 不能由 线性表示。3e123,b bb向量组等价具有下述性质：(1) 反身性反身性任一向量组和它自身等价，即1212,ssa aaa aa(2) 对称性对称性如

3、果1212,staaab bb则1212,tsb bba aa(3) 传递性传递性如果1212,staaab bb1212,ssa aag gg则而1212,tsb bbg gg定理定理3.73.7 如果向量组 可由向量组 线性表示，并且st，则向量组 线性相关。12,sa aa12,sa aa12,tb bb推论推论 如果向量组 线性无关，并且可以由向量组 线性表示，则12,sa aa12,tb bb.st二、极大线性无关组和向量组的秩定义定义3.93.9如果向量组 的一个部分组 满足12,sa aa12,jjjraaa(1) 线性无关；12,jjjraaa(2) 向量组中的任意一个向量都可

4、以由 线性表示，12,jjjraaa 则部分组 称为此 向量组的一个极大线性无关极大线性无关组组，简称极大无关组极大无关组。12,jjjraaa(2) 任意向量组 中的一个向量 添到部分组 中，则 线性无关。12,sa aa12,jjjraaa12,jjjriaaaaia例例2 2 设向量组 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).aaa=不难看出，部分组 是线性无关的，且 中的任一向量都可以由此部分组线性表示：12,a a123,a aa1122123120,0,aaaaaaaaa=+=+=+所以部分组 是向量组 的一个极大无关组。12,a a123,a aa例例3 设向量组

5、线性无关，其极大无关组就是自身。12,sa aa如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。定理定理3.83.8任一向量组和它的极大无关组等价。推论推论1 向量组 中任意两个极大线性无关组等价。12,sa aa推论推论2 2两个等价的线性无关的向量组所包含的向量的个数相同。推论推论3 3 向量组 的任意两个极大无关组所包含向量的个数相同。12,sa aa定义定义3.103.10 向量组 的极大无关组中所包含向量的个数，称为次向量组的秩，记作12,sa aa12(,).sra aa若一个向量组仅含零向量，规定其秩为零。例例4 4对于例2中的向量组 有 123,a aa123(,)2.r

6、a aa=例例5 5 则仅含 的向量组必线性无关，其极大无关组就是其本身，所以a( )1.ra=设向量 12(,)0na aaa=定理定理3.93.9则它们的秩相等。如果向量组 与向量组 等价，12,sa aa12,tb bb定理定理3.103.10 如果向量组 可由向量组 线性表示，且 ，则12,sa aa12,tb bb1212(,), (,)strr rpa aab bb=.rp三、矩阵的秩定义定义3.113.11 在mn矩阵 中任取k行、k列 位于这些行、列交叉处的k2个元素按原来的相应位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式子式。 ()ijAa=(min( , ),km n

7、例例6 6在矩阵 中112401520000A轾 -犏犏=-犏犏臌若取定A的第1行和第2列，交叉处元素可构成一阶子式det( 1)1.-= -若取定第1行、第2行，再取定第2列、第4列，可构成二阶子式14212-= - 在例6中，已求得一个二阶子式不等于零。由于A的第三行为零行，所以A的任意三阶子式都等于零，所以r (A)=2.定义定义3.123.12 设 ，A中不等于零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩秩，记作(A)=r或r (A)=r，即A中存在一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零时， r (A)=r.()ijm nAa=对于零矩阵 它的任一子式都等于零。规定r (O)=0.m

8、nO例例7 7 注意到例6中，矩阵A是一个阶梯形矩阵，A的秩恰等于它的非零行的行数，一般，这一结论也是正确的。矩阵 的秩有下述性质：m nA(1)( )();Tr Ar A=(2) 0( )min( , ).r Am n 特别地，当r (A)=m时，称A为行满秩矩阵行满秩矩阵；当r (A)=n时，称A为列满秩矩阵列满秩矩阵。 当 时，称矩阵 A为满秩矩阵满秩矩阵。( )min( , )r Am n=定理定理3.113.11 矩阵经初等行变换后，其秩不变。例例9 9设矩阵31422101101213414330A轾-犏犏-犏=犏犏犏-臌求A的秩。解解对A施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：31422

9、101101213414330A轾-犏犏-犏=犏犏犏-臌1210110011121213414330rr轾-犏犏-犏揪井犏犏犏-臌121314310110011120222404220rrrrrr-+-+轾-犏犏-犏揪井犏犏犏-臌23242410110011120000000268rrrr+轾-犏犏-犏揪井犏犏犏-臌3410110011120026800000rr轾-犏犏-犏揪井犏-犏犏臌由最后一个矩阵，有三阶子阵1010110,002-而所有四阶子阵都等于0，得r (A)=3.如果继续对A施以初等列变换，A就可以化为等价标准形310000010000010000000EOOO轾犏犏轾犏犏=犏

10、犏臌犏犏臌同样得到r (A)=3.由定理3.11，得推论推论 设A为mn矩阵， 其中 均为可逆矩阵，,BPAQ=,m mn nPQ创则( )()( ).r Ar PAQr B=定理定理3.123.12设A, B均为mn矩阵，则矩阵A, B等价充分必要条件是( )( ).r Ar B=四、矩阵的秩与向量组的秩的关系设矩阵 如果A按行分块为.()ijm nAa12123,(,)(1,2,)iiiinAim a则向量组 的秩称为矩阵A的行秩。12,m 如果A按列分块为 ，12(,)nA 其中12(,) (1,2, ),Tjjjmjaajn则列向量组 的秩称为矩阵A的列秩。12,n 定理定理3.133

11、.13矩阵 的秩等于A的秩。m nA推论推论矩阵的行秩和列秩相等，都等于矩阵的秩。例例1010已知向量组1234(1, 1,2,1,0),(2, 2,4, 2,0)(3,0,6, 1,1),(0,3,0,0,1) 试求向量组 的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。1234, 解解把向量 看作一个矩阵的行向量组，得矩阵1234, 123411210224203061103001A 对A仅施以初等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换，把A化为阶梯形矩阵：1213141121000040203041303001A1121331411210200040303041300000112133

12、2141121030304120004000000 由最后的阶梯形矩阵，得r (A)=3。因此向量组 的秩也是3。1234, 由阶梯形矩阵的最后一行，得43210由此可知4123 于是向量组 可以由向量组 线性表示。1234, 123, 因此 1234123, 所以123(,)3.r 即 就是与原向量的一个极大线性方程组，且123, 4123 例例1111设A, B均为mn矩阵，证明：()( )( )r ABr Ar B证证设矩阵 A, B的列向量组分别为1212,nn 和，则1122(,)nnAB 要证()( )( )r ABr Ar B只需证11221212(,)(,)(,)nnnnrrr

13、 设向量 的一个极大无关组为12,n 121,;riii 向量组 的一个极大无关组为12,n 122,;rjjj向量组 的一个极大无关组为1122,nn 112233,.rrkkkkkk根据最大无关组的定义， 可由向量组3(1)rtktr 121,riii 线性表示；3(1)tktr 可由向量组 线性表示；122,rjjj于是 可由向量组rttkk121212,rriiijjj 线性表示。因此可得312rrr()( )( )r ABr Ar B即例12证明()min( ( ), ( )r ABr A r B证证设矩阵111211112121222212221212,snsnmmmssssnaaabbbaaabbbABaaabbb()ijm nABCc把矩阵A和C按列分块为1212(,),(,)snAa aaC 其中 是矩阵A的第j列， 是矩阵C的第j列。(1,2, )jjs(1,2, )jjn1112121222121212( ,)(,)nnnssssnbbbbbbbbb 22