电磁场课件3静电场环路定律、高斯定律、电极化

1、作作 业业P19: 1-2-1、1-2-3P67: 1-4、1-5梯度梯度散度散度旋度旋度 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理xyzuuuueeexyz ()SldAdSlAyxzFFFFxyzxyzxxxeeeFxyzFFF高斯定理高斯定理斯托克斯定理斯托克斯定理SVddVASA 库仑定律库仑定律 库仑定律是一个库仑定律是一个实验定律实验定律，也可以说是牛顿，也可以说是牛顿万有引力定律在电学和磁学中的万有引力定律在电学和磁学中的“推论推论”。库仑定律：库仑定律：真空真空中两个静止的点中两个静止的点电荷电荷之间的作用力与这两个电荷之间的作用力与这两个电荷所带所带电量电量的乘积成的乘积成正比正比，和它们，

2、和它们距离距离的平方成的平方成反比反比，作用力的方向，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同名电荷相斥，异名电荷相吸。沿着这两个点电荷的连线，同名电荷相斥，异名电荷相吸。 库仑定律是库仑定律是17841785年间库仑通过年间库仑通过扭秤扭秤实验实验总结出来的。总结出来的。 roerqqF22141 q1q2rFre214troqqFer电场强度定义定义tFEqroerq24 点电荷的电场强度带电体的电场强度20( )4qrrE rrrrr301( )4VdqrrE rrr推导推导库伦定律电场强度电场强度 E 的定义和计算的定义和计算电场强度电场强度 E 矢量场有什么特性呢？矢量场有什么特性呢？

3、VqddSqddlqdd304q)(rrrrrE304q)(rrrrrE矢量恒等式矢量恒等式FFFCCC)(1)(1333rrrrrrrrrrrr直接微分得直接微分得0)(rr0)(3)(133rrrrrrrrrr故故( )0E r 静电场强度的旋场为零。静电场强度的旋场为零。 1. 静电场的旋度静电场的旋度1.1.1 静电场的环路定律静电场的环路定律静止点电荷的电场强度静止点电荷的电场强度两边取旋度两边取旋度可以证明可以证明，上述结论亦适用于点电荷群和连续分布带电体产生的电场。，上述结论亦适用于点电荷群和连续分布带电体产生的电场。表明：表明： 静电场是一个无旋场。静电场是一个无旋场。即任一分

4、布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即2. 静电场的环路定律静电场的环路定律 在静电场中在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。 电场力作功与路径无关，电场力作功与路径无关，静电场是保守场。静电场是保守场。ldEl由斯托克斯定理，得由斯托克斯定理，得( )0E r 电场力作功：电场力作功：llWdqdFlEl0 0 a.b.L10qL2()sd EsE在静电场中可通过求解电位函数在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地求再利用上式可方便地求得电场强度得电场强度E 。

5、式中。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2) 已知电荷分布，求电位：已知电荷分布，求电位：304q)(rrrrrECq41)r(N1iii0rr 点电荷群点电荷群Cdq41)r( v0rr 连续分布电荷体连续分布电荷体1) 电位的引出电位的引出以以点电荷点电荷为例推导电位：为例推导电位：31rrrrrr)r(4q)(0rrrEC4q)r(0rr, 0E 根据矢量恒等式根据矢量恒等式()0 , , dqdVdSdl1.1.2 电位函数电位函数 ( Electric Potential )3) E 与与 的微分关系的微分关系E 在静电场中，任意

6、一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度 E 的方向总是沿着电位减少的最快的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：在直角坐标系中：xyzEeeexyz 00E？ ( )0E 0？ ( ) 根据根据 E 与与 的微分关系，试问静电场中的某一点的微分关系，试问静电场中的某一点 可以通过先求得电位，再来计算电场强度。可以通过先求得电位，再来计算电场强度。 标量电位函数的引入，把静电场矢量问题转化为标量场标量电位函数的引入，把静电场矢量问题转化为标量场问题，给求解分析问题带来了很大方便。问题，给求解分析问题带来了很大方便。线积

7、分00ddPPPPllE式中)ddd()(dzyxzyxzyxzyxeeeeeelddddzzyyxx设P0为电位参考点，即 ，则P点电位为00P0dPPPEl000ddPPPPPPlE所以4)4) 与与 E 的积分关系的积分关系5) 电位参考点的选择原则电位参考点的选择原则 场中任意两点的场中任意两点的电位差电位差与与参考点参考点无关。无关。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如例如：点电荷产生的电场：点电荷产生的电场：Cr4q000rC0rr4q00

8、C表达式无意义表达式无意义0RrR4qr4q00R4qC0 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。 一般工程上，选大地或设备外壳为电位参考零点。一般工程上，选大地或设备外壳为电位参考零点。电位计算电位计算叠加积分法叠加积分法（1）点电荷的电势）点电荷的电势：04qr00qr 00qr 04iPiiiiqr电势叠加原理电势叠加原理（2）连续带电体的电势：）连续带电体的电势：+q.PqdrP0d4PPqr电势是标量电势是标量，积分是标量叠加，电势叠加比电场叠，积分是标量叠加，电势叠加比电场叠加要简便，一般通过先求电位再来求电场。加要简便，一般通过先

9、求电位再来求电场。取电荷元取电荷元 ，则任意点，则任意点 P 处的电势：处的电势：dq01( )4VdVrrr2204qRx计算均匀带电计算均匀带电 q 的圆环轴线上任意一点的圆环轴线上任意一点 P 的电势。的电势。Rrxxo先考虑环上电荷元先考虑环上电荷元 dq 在在 P 点产生的电势，再点产生的电势，再对环电荷进行积分求总电势。对环电荷进行积分求总电势。qd0dd4qr2204dxRq P q(1)当当x= 0，04PqR(2)当当x R，04Pqx相当于点电荷相当于点电荷(3)若是一带电圆盘？若是一带电圆盘？222200dd42qrdrrxrxdq = 2 rdr220d2Rxx.Pr6

10、) 电场（力）线与等位线（面）电场（力）线与等位线（面）E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度 E 的方向一致，的方向一致，若若 dl 是电场线的长度元，是电场线的长度元，E 矢量将与矢量将与 dl 方向一致，方向一致，0d lE电力线微分方程电力线微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐标系中：在直角坐标系中：微分方程的解即为微分方程的解即为电场线电场线 E 的方程。的方程。当取不同的当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。值时，可得到不同的等位线（面）。 在静电场中电位相等的点的曲面称为在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面等位面，即，

11、即C)z ,y,x(等位线等位线(面面)方程方程:-+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - 电场线的性质：电场线的性质： (1)电场线起自正电荷电场线起自正电荷,止于负电荷，或延伸到止于负电荷，或延伸到无穷远处。无穷远处。 (2)电场线不形成闭电场线不形成闭合曲线。合曲线。 (3)在没有电荷处在没有电荷处,任两条电场线不会任两条电场线不会相交相交,也不会中断。也不会中断。平行电极板的电场平行电极板的电场正负点电荷的电场正负点电荷的电场在球坐标系中：在球坐标系中：2101201 211()44prrqqrrrr2200cos44rpq

12、drrp e30(2cossin)4prqr Eee代入上式，得代入上式，得其中，其中， 表示表示电偶极矩电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。，方向由负电荷指向正电荷。qp= d图图1.2.2 1.2.2 电偶极子电偶极子r1 1r2例例. 画出画出电偶极子（正负电子对）电偶极子（正负电子对）的等位线和电力线的等位线和电力线 。)(dr 先分别考虑正负点电荷在先分别考虑正负点电荷在 P 点产生的电势，再对正负电荷点产生的电势，再对正负电荷的电势进行叠加。的电势进行叠加。因因 ，rd则则 ， 。21 2rrr21cosrrd由电势求电场，得电偶极子产生的电场强度由电势求电场，得电偶极子产生的电场强

13、度2200cos44rpqdrrp e30(2cossin)4prqr Eee图图1.2.2 1.2.2 电偶极子电偶极子r1 1r2求出电偶极子的等位线方程和电场线方程。求出电偶极子的等位线方程和电场线方程。ErdEdrr1 1）电场线微分方程）电场线微分方程（球坐标系）：（球坐标系）：sinDr 将将 和和 分量代入上式，解得分量代入上式，解得线方程为线方程为ErE2 2）等位线方程）等位线方程（球坐标系）：（球坐标系）：cosCr 20cos4PpdCr ，电力线与等位线（面）的性质：电力线与等位线（面）的性质： E 线不能相交线不能相交; ; E 线起始于正电荷，终止于负电荷线起始于正

14、电荷，终止于负电荷; ; E 线愈密处，场强愈大线愈密处，场强愈大; ; E 线与等位线（面）处处正交；线与等位线（面）处处正交；电偶极子的等位线和电力线电偶极子的等位线和电力线 相邻相邻两等位面之间的电位差相等；两等位面之间的电位差相等； 等位面愈密处，电场强度愈大。等位面愈密处，电场强度愈大。 对上式等号两端分别求散度，对上式等号两端分别求散度，利用矢量计算性质，得利用矢量计算性质，得1.1.3 静电场的高斯定律静电场的高斯定律1) 1) 静电场的散度静电场的散度高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式301( )( )4VdVrrE rrrr静止带电体产生的电场静止带电体产生的电场d) ()

15、1(4120VVrrr) (4)1(2rrrrd) ()(41)(30VVrrrrrrE所以0) (d) () (1)(0rrrrrEVV31 rrrrrr单位冲激函数单位冲激函数00( ) ()d()baf xxxxf x0E高斯定律微分形式高斯定律微分形式：0E0E0E说明静电场是一个有源场，说明静电场是一个有源场，电荷就是场的散度源电荷就是场的散度源。 物理意义物理意义:2) 2) 高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式VV0dV1dVE0SqdES散度定理散度定理静电场中任何一闭合曲面静电场中任何一闭合曲面 S 的电通量的电通量 E ，等于该曲面所等于该曲面所包围内的电荷的代数和的包围内

16、的电荷的代数和的 0 分之一倍。分之一倍。0ESE+qSdES204rSdqreS04q0q0ESVddVESESVddVESEVqdV例证：例证：点电荷电场的高斯面积分点电荷电场的高斯面积分高斯定理的应用高斯定理的应用：当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。 当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域的电荷。当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域的电荷。高斯定理的意义：高斯定理的意义：2.正负电荷就是场源正负电荷就是场源0 iq0 E电场线穿出电场线穿出

17、0 iq0 E电场线穿入电场线穿入0 iq0 E无净电场线穿出无净电场线穿出定理中定理中E 是所取的封闭面是所取的封闭面S（）上的场强，它是）上的场强，它是由由S 面内的电荷产生的场强。面内的电荷产生的场强。 E 只决定于只决定于S 面包围的电荷，面包围的电荷，S 面外的电荷对面外的电荷对 E 无贡献。无贡献。01SVddVEs1.用电通量方程表示用电通量方程表示电场电场与与场源电荷场源电荷之间的关系。之间的关系。利用高斯定理求电场强度利用高斯定理求电场强度当场源电荷分布具有某种对称性时当场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定理，选取适当的，应用高斯定理，选取适当的，使面积分中的，使面积分中

18、的E能以标量形式提出来，即可求出场强。能以标量形式提出来，即可求出场强。均匀带电球壳均匀带电球壳无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面均匀带电细棒均匀带电细棒ElS OrpEq常见的电量分布的对称性有：常见的电量分布的对称性有：无限长无限长0P ES )( 内SiSEqSE01d 用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱棒的电场分布用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱棒的电场分布,已知已知线电荷密度线电荷密度 。取以棒为轴，取以棒为轴，r为半径，高为为半径，高为h的的圆圆筒形封闭面为高斯面筒形封闭面为高斯面 S(高斯柱面高斯柱面)。通过该面的电通量：通过该面的电通量： 下底上底侧面SESESEddd00 侧

19、面SEd 侧面SEdhrE 2rE02 h SEEdr 该电场分布具有轴对称性。该电场分布具有轴对称性。hrEE 2h 01 内内hqi 此闭合面包含的电荷总量此闭合面包含的电荷总量:1.2.1 1.2.1 导体和电介质导体和电介质1 物体静电表现物体静电表现 导体导体: : 内部含有大量的内部含有大量的自由电子自由电子，在电场作用下可以定向移动。，在电场作用下可以定向移动。 电介质电介质：电子被原子核所束缚而不能自由移动，形成：电子被原子核所束缚而不能自由移动，形成束缚电荷束缚电荷。 2 静电场中导体性质（静电平衡）静电场中导体性质（静电平衡）3.3.导体表面电场强度垂直于导体切面；导体表面

20、电场强度垂直于导体切面；2.2.导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面；1.1.导体内部电场强度导体内部电场强度E为零，静电平衡；为零，静电平衡；Eo 导体内部的场强导体内部的场强:= 0EEEo导体的静电平衡状态导体的静电平衡状态导体内部和表面都没有自由电荷作宏导体内部和表面都没有自由电荷作宏观定向运动的状态观定向运动的状态。E4.4.电荷分布在导体的外表面电荷分布在导体的外表面 。0E电介质电介质在外电场作用在外电场作用下发生下发生极化极化，形成有向排列的，形成有向排列的电偶极子，电偶极子， 并在电介质内部和表面形成并在电介质内部和表面形成极化电荷极化电荷。式中，式

21、中， 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向的方向从负极化电荷指向正极化电荷。正极化电荷。pV无极性分子无极性分子有极性分子有极性分子电介质的极化电介质的极化用用极化强度极化强度 P 表示电介质的表示电介质的极化程度极化程度，即，即V0VpPlimC/m2电偶极矩体密度电偶极矩体密度1.2.2 1.2.2 静电场中的电介质静电场中的电介质 实验结果表明，在实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质各向同性、线性、均匀介质中，中，电极化强度电极化强度 P 与电场强度与电场强度 E 成正比成正比，即，即0PE均匀均匀：媒质参数不随空间位置不同而变化。：媒

22、质参数不随空间位置不同而变化。 各向同性各向同性：媒质的特性不随空间方向而改变：媒质的特性不随空间方向而改变,反之称为各向异性；反之称为各向异性； 线性线性：媒质的参数不随电场的强度而变化；：媒质的参数不随电场的强度而变化； 电介质电介质的极化率的极化率(1)or PE相对介电常数相对介电常数r极化强度的计算极化强度的计算 极化电荷和自由电荷一样，都会产生电场。极化电荷和自由电荷一样，都会产生电场。0044Pqqrr204rrp ePrrrd +q-q采用采用电位梯度法电位梯度法求电场，先考虑一个求电场，先考虑一个电偶极子电偶极子产生的电位，产生的电位，再对所有极化电荷再对所有极化电荷求积分求

23、积分获得总电位。获得总电位。极化强度极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠加原理，是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积体积V内电偶极子产生的电位为：内电偶极子产生的电位为：20( )14VdVR rP re体积体积V V内电偶极矩产生的电位内电偶极矩产生的电位电介质极化电荷产生的电位和电场电介质极化电荷产生的电位和电场qpd式中式中0limVV pP而而dVR)(41V2R0erP21RRR edVR1)(41V0rPdVR)(41dVR)(41V0V0rPrP矢量恒等式：矢量恒等式：uu)u(FFF体积体积V V内电偶极矩产生的电位内电偶极矩产生的电位dSR)(41dVR)(41 Sn0V0

24、erPrP散度定理散度定理令令PpnpeP 为极化电荷体密度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为极化电荷面密度) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr1R ) )() )()(VS3pf3pf0dSdV41rrrrrrrrrE0()()1( )4fpfpVSdVdSrrrrr有有电介质电介质和和自由电荷自由电荷存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为电介质极化后，由极化面电荷和极化体电荷共同作用产生电位。电介质极化后，由极化面电荷和极化体电荷共同作用产生电位。PpnpeP 极化电荷体密度极化电荷体密度极化电荷面密度极化电荷面密度 根据电荷

25、守恒原理，这两部分极化电荷的总和为零。根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和为零。0dSdVVSnePP1.2.3 1.2.3 电介质中的静电场电介质中的静电场电介质中的高斯定理应写为：电介质中的高斯定理应写为：自由自由电荷电荷极化极化电荷电荷1()PSodqqES真空中的高斯定理为：真空中的高斯定理为：SVoqddVES当有电介质存在时，电场可看成是当有电介质存在时，电场可看成是自由电荷自由电荷和和极化电荷极化电荷共同在真空中引起的。共同在真空中引起的。+SEqqPPPVVqdVdVP0()SVddVEPS0DEPSVddVDS1()PSodqqESVqdV自由电荷：自由电荷：极化电荷：极

26、化电荷：代入整理，得代入整理，得引入：引入：定义定义 D 为为电通量密度电通量密度，或电位移矢量，则，或电位移矢量，则高斯定律一般形式为高斯定律一般形式为n 电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律Sd PS应用散度定理应用散度定理SVddVDSD因此，微分式有因此，微分式有D这是高斯定律的微分形式，它表明静电场中任一点上电通量这是高斯定律的微分形式，它表明静电场中任一点上电通量密度密度(电位移矢量电位移矢量) D 的散度等于该点的自由电荷体密度。的散度等于该点的自由电荷体密度。SVddVDS高斯定理积分式高斯定理积分式关于介质中的高斯定理的关于介质中的高斯定理的辨析辨析：1. 介质中的高斯定理，方程右边只含介质中的高斯定理，方程右边只含自由电荷电量自由电荷电量 q 的代数和，的代数和，不包含极化电荷的电量。不包含极化电荷的电量。2. 高斯定理左边的电位移矢量是高斯定理左边的电位移矢量是高斯面内自由电荷高斯面内自由电荷和极化电荷和极化电荷产生的产生的矢量和矢量和，而不仅仅只是自由电荷、极化电荷单独产生的，而不仅仅只是自由