第二章连续时间系统的时域分析(2)

1、起始状态与激励源的等效转换起始状态与激励源的等效转换系统响应划分系统响应划分对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。即可以将原始储能看作是激励源。电容的等效电路电容的等效电路电感的等效电路电感的等效电路外加激励源外加激励源系统的完全响应系统的完全响应共同作用的结果共同作用的结果可以看作可以看作起始状态等效激励源起始状态等效激励源系统的完全响应系统的完全响应 = =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应( (线性系统具有叠加性线性系统具有叠加性 ) )一起始状

2、态与激励源的等效转换 tCCiCtv d)(1)( tCCiCiC00d)(1d)(1 tCCtiCv00d)(1)0( C)(tvC)(tiC0, 0)0( tvC电路等效为起始状态为零的电容与电压源电路等效为起始状态为零的电容与电压源 的的串联串联 tuvC)0( 等效电路中的等效电路中的电容器的起始电容器的起始状态为零状态为零C)(tvC)(tiC)0(Cv电容器的等效电路电容器的等效电路 tLLvLti d)(1)( tLLvLvL00d)(1d)(1 )(tiL )(tvLL)0( d)(1)0(0 tvLitLL 故电路等效为起始状态为零的电感故电路等效为起始状态为零的电感L和电流

3、源和电流源的并联。的并联。)()0(tuiL 0 0)0( tiL，)(tiL)(tvLL)0( Li电感的等效电路电感的等效电路自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)二系统响应划分二系统响应划分 也称固有响应，由系统本身特性决定，与也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。形式取决于外加激励。对应于特解。 是指

4、激励信号接入一段时间内，完全响应中是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 (1)(1)自由响应：自由响应：(2

5、)(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：(3)(3)零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义各种系统响应定义 系统系统零输入响应零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值由非零的系统状态值 决定的初始值求出决定的初始值求出待定系数待定系数。 00LCiv和和 系统系统零状态响应零状态响应，是在激励作用下求系统方程的，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由非齐次解，由 为零决定的初始值为零决定的初始值求出待定系数求出待定系数。 00LCiv和和 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出求解非齐次微

6、分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷卷积积分法积积分法。 t 线线性性时时不不变变系系统统 th te th tr系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即激励与系统冲激响应的卷积，即 thtetr 求解求解由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。的。(1)(1)响应可分解为：响应可分解为：零输入响应零状态响应。零输入响应零状态响应。(2)(2)零状态线性：零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。响应对于各激励信号呈线性。(3)(3)零输入线性：零输入线性：当激励为零

7、时，系统的零输入响应当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。对于各起始状态呈线性。 三对系统线性的进一步认识三对系统线性的进一步认识 )()2sin(e2)()()(3zszi1tuttrtrtrt )()2sin(2e )(2)()(3zszi2tuttrtrtrt 例例2-4-1)()()(0zszi3ttrtrtr )()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt )(5 . 0)(2)(zszi4trtrtr tuttutt2sine5 . 0e3233 解得解得)(e3)(3zitutrt )()2sin(e)(3zstuttrt tutt2sin5 . 0

8、e5 . 53 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。 1定义 2一阶系统的冲激响应)(t H t th一冲激响应一冲激响应)()(d)(dttvttvRCCC 列系统微分方程：列系统微分方程：)(t C )(tvC)(tiCR求下图求下图RC电路的冲激响应。电路的冲激响应。 （条件：（条件： ） 00 Cv0)(d)(d tvttvRCCC冲激冲激 在在 时转为系统的储能（由时转为系统的储能（由 体现），体现），t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解

9、，即为原系统时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。的冲激响应。 t 0 t)0( Cv 0, 0 tt 齐次方程齐次方程例例2-5-1 2-5-1 一阶系统的冲激响应一阶系统的冲激响应特征方程特征方程01 RC特征根特征根RC1 时的解时的解 0 )(e)( ttuAtvRCtC下面的问题是确定系数下面的问题是确定系数A, ,求求A有两种方法：有两种方法：方法方法2 2：奇异函数项相平衡法，定系数：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法方法1 1：冲激函数匹配法求出：冲激函数匹配法求出 ，定系数，定系数A。)0( Cv)(e1)(1tuRCtvtRCC )(e1)(1tuRCt

10、htRC 即即:RCA1 )(e1)(1tuRCtvthtRCC )(1)(e1d)(d)(12tRtuCRttvCtitRCCC )()(thtvC tRC1Ot R1CR21 )(tiCO电容器的电流在电容器的电流在 t =0时有一冲激，时有一冲激，这就是电容电压突这就是电容电压突变的原因变的原因 。注意！注意！据方程设据方程设代入方程得代入方程得 ttuatuRCbtRCa 得出得出RCaRCa1 1 即即所以所以 RCAAttRCCC1e01 得得代代入入把把 tuRCttRCC1e1 tuattubtattCC dd RCRCCC1100 )()(d)(dttvttvRCCC )(e

11、)(tuAtvRCtC )(e)(d)(d1tuRCAtAttvtRCC 代入原方程代入原方程)()(e)()(e1ttuAtRCAtuARCRCRCtRCt )()(ttRCA 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程已知方程冲激响应冲激响应求导求导注意注意！RCARCA1 1 利用奇异函数项相平衡原理求解响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)(1)冲激响应的数学模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 对于线性

12、时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一可以用一高阶微分方程高阶微分方程表示表示 )()()()()()()()(1111011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnnn 激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)令令 e(t)= (t) 则则 r(t)=h(t)3n阶系统的冲激响应设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根）)(e)(1tuAthnitii 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而方程式右时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的

13、形式相同。解的形式相同。 t 0t 及其各阶导数。及其各阶导数。应包含应包含时，时，当当；中应包含中应包含时，时，当当及其各阶导数；及其各阶导数；不含不含时，时，当当tthmntthmntthmn 与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关(2)h(t)解答的形式解答的形式系统是零状态的，故系统是零状态的，故 tttthatthatthnnnd)(d)(dd00000001100 10011 nnhh 000021 hhhnn 101 nh 000032 hhhnn积积分分方方程程两两端端在在 00 th由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应由系统的线性时不变特性，原系统

14、的冲激响应 为为 .的的线线性性组组合合 th积分积分为为1 1有界函数，在无穷有界函数，在无穷小区间积分为小区间积分为0 0含含 ( (t) )项项积分不为积分不为0 0定初始条件解：解：)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tttthtthtth 求特征根求特征根3, 1034212 冲激响应冲激响应)()ee()(321tuAAthtt 求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。 )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr mnmn , 1, 2 中中不不包包含含冲冲激激项项th将将e(t) (t)，r(t)h(t)带带u(t)求待定系数求待定系数求求0 0+

15、+法法, ,奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法例2-5-2 20,10 hh代入代入h(t),得得 212123010212121AAAAhAAh )(21)( 3tueethtt tuatrtubtattrtuctbtattr dddd 22设设求0+定系数 )(ee)(321tuAAthtt )(e3e)()(e3e)(ee)( 32121321321tuAAtAAtuAAtAAthtttttt tuAAtAAtAAthtt e9e33212121 )(),(),(代代入入原原方方程程将将ththth )(2)()(0)(3)(2121tttutAAtAA 2121231212121AA

16、AAAA )( ee21)(3tuthtt 根据系数平衡，得根据系数平衡，得用奇异函数项相平衡法求待定系数 系统的输入系统的输入 ，其响应为，其响应为 。系统。系统方程的右端将包含阶跃函数方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，所以除了齐次解外，还有还有特解项特解项。 tute tgtr tu我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与冲激响应与阶跃响应关系阶跃响应关系求阶跃响应。求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的系统在单位阶跃信号作用下的零状态零状态响应，称为单响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。位阶跃响应，简称阶跃响应。1定义 H t

17、e trH tu tg二阶跃响应 tt0,对因果系统：对因果系统：积分，注意积分限：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的阶跃响应是冲激响应的线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性 ttttud)()( ttthtgd)()(2 2阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系左端最高阶微分中含有左端最高阶微分中含有 (t)项项(n-1)阶微分中含有阶微分中含有u(t)项。项。可以由可以由此此定初始条件定初始条件 )()(d)(dd)(d0111tthatthatthnnnnn 0)0 ()0 ()0 ()0 (, 1)0 () 2() 1( nnhhhhh令方程左端系

18、数为令方程左端系数为1，右端只有一项，右端只有一项 (t)时，冲激响应为时，冲激响应为 th此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。有优越性。三齐次解法求冲激响应（补充）三齐次解法求冲激响应（补充） )(ee)(321tuAAthtt 00 10 hh 2121013212121AAAAAA )(ee)(e21e21)(e23e21333tuttuthtttttt )(ee213tutt 已知系统已知系统 ，求，求h(t) 。)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr 将边界条件代入将边界条件代入 式式 th)(2d)(d)(thtthth 则由系统的线性时不变特性则由系统的线性时不变特性 )(ee21)(3t