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文档简介
1、汇编因动点产生的面积问题含答案例 1 如图 1,边长为 8 的正方形 ABCD 的两边在坐标轴上,以点 C 为顶点的抛物线经过点 A,点 P 是抛物线上A、 C 两点间的一个动点(含端点),过点 P 作 PF BC 于点 F 点D、 E 的坐标分别为(0, 6) 、 ( 4, 0),联结 PD 、 PE、 DE ( 1)直接写出抛物线的解析式;( 2)小明探究点 P 的位置发现: 当点 P 与点 A 或点 C 重合时,PD 与 PF 的差为定值 进而猜想:对于任意一点 P, PD 与 PF 的差为定值请你判断该猜想是否正确,并说明理由;( 3)小明进一步探究得出结论:若将“使 PDE 的面积为
2、整数”的点 P 记作 “好点”,则存在多个“好点” ,且使 PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点” 请直接写出所有“好点”的个数,并求出PDE 周长最小时“好点”的坐标图1备用图1汇编因动点产生的面积问题含答案如图 1,边长为 8 的正方形 ABCD 的两边在坐标轴上, 以点 C 为顶点的抛物线经过点A,点 P 是抛物线上A、 C 两点间的一个动点(含端点),过点 P 作 PF BC 于点 F 点 D 、E的坐标分别为 (0, 6) 、 ( 4, 0),联结 PD 、 PE、 DE ( 1)直接写出抛物线的解析式;( 2)小明探究点 P 的位置发现: 当点 P 与点 A 或点 C 重合时,
3、PD 与 PF 的差为定值 进而猜想:对于任意一点 P, PD 与 PF 的差为定值请你判断该猜想是否正确,并说明理由;( 3)小明进一步探究得出结论:若将“使 PDE 的面积为整数”的点 P 记作 “好点”,则存在多个“好点” ,且使 PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点” 请直接写出所有“好点”的个数,并求出PDE 周长最小时“好点”的坐标图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“ 15 河南 23”,拖动点 P 在 A、C 两点间的抛物线上运动,观察 S 随 P 变化的图像,可以体验到, “使 PDE 的面积为整数” 的点 P 共有 11 个思路点拨1第( 2)题通过计算进行说理设点P
4、 的坐标,用两点间的距离公式表示PD、 PF的长2第( 3)题用第( 2)题的结论,把PDE 的周长最小值转化为求PE PF 的最小值满分解答( 1)抛物线的解析式为 y12x88( 2)小明的判断正确,对于任意一点P, PD PF 2说理如下:设点 P 的坐标为 ( x,1 x 28),那么 PF yF yP 1 x 2 88而 FD 2 x 2 +(1 x 286) 2x 2 +( 1 x22) 2( 1 x22) 2 ,所以 FD 1 x 22 8888因此 PD PF 2 为定值( 3)“好点”共有 11 个在 PDE 中, DE 为定值,因此周长的最小值取决于FD PE 的最小值而
5、PD PE (PF 2) PE (PF PE) 2,因此当 P、E、 F 三点共线时, PDE 的周长最小(如图 2)2汇编因动点产生的面积问题含答案此时 EF x 轴,点 P 的横坐标为4所以 PDE 周长最小时, “好点” P 的坐标为 (4, 6) 图2图3考点伸展第( 3)题的 11 个“好点”是这样求的:如图 3,联结 OP,那么 S PDE S POD S POE SDOE 因为 S POD1(xP )3x , S POE1yP1x216,S DOE 12,所以ODOE224S PDE 3x1x216121x 23x 4 1( x6)213444因此 S 是 x 的二次函数,抛物线
6、的开口向下,对称轴为直线x 6如图 4,当 8 x 0 时, 4 S 13所以面积的值为整数的个数为10当 S12 时,方程16)213 12 的两个解 8, 4 都在 8 x0 范围内( x4所以“使 PDE 的面积为整数”的 “好点” P 共有 11 个图 43汇编因动点产生的面积问题含答案例 2 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y ax2 bx 3( a 0)与 x 轴交于 A( 2, 0)、B(4, 0)两点,与y 轴交于点C( 1)求抛物线的解析式;( 2)点 P 从点 A 出发,在线段AB 上以每秒3 个单位长度的速度向点B 运动,同时点Q 从点 B 出发,在线段 BC 上以
7、每秒1 个单位长度的速度向点C 运动其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动当PBQ 存在时,求运动多少秒时PBQ 的面积最大,最大面积是多少?( 3)当 PBQ 的面积最大时,在BC 下方的抛物线上存在点K,使 S CBK SPBQ 52,求点 K 的坐标图 14汇编因动点产生的面积问题含答案如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线y ax2 bx 3( a 0)与 x 轴交于 A( 2, 0)、B(4, 0)两点,与y 轴交于点C( 1)求抛物线的解析式;( 2)点 P 从点 A 出发,在线段AB 上以每秒3 个单位长度的速度向点B 运动,同时点Q 从点 B 出发,在线段 BC 上以每秒1 个
8、单位长度的速度向点C 运动其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动当PBQ 存在时,求运动多少秒时PBQ 的面积最大,最大面积是多少?( 3)当 PBQ 的面积最大时,在BC 下方的抛物线上存在点K,使 S CBK SPBQ 52,求点 K 的坐标图 1动感体验请打开几何画板文件名“14 昆明 23”,拖动点P 从 A 向 B 运动,可以体验到,当P 运动到 AB 的中点时,PBQ 的面积最大双击按钮“PBQ 面积最大” ,再拖动点K 在 BC下方的抛物线上运动,观察度量值,可以体验到,有两个时刻面积比为2.5思路点拨1 PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数,求二次函数的最小值2PBQ 与
9、PBC 是同高三角形, PBC 与 CBK 是同底三角形, 把 CBK 与 PBQ 的比转化为 CBK 与 PBC 的比满分解答( 1)因为抛物线与x 轴交于 A( 2, 0)、 B(4, 0) 两点,所以y a(x2)(x 4)所以 8a 3解得 a3 8所以抛物线的解析式为 y3( x 2)( x 4)3x23x 3 884( 2)如图 2,过点 Q 作 QH x 轴,垂足为H 在 RtBCO 中, OB 4, OC 3,所以 BC5, sinB 3 5在 RtBQH 中, BQ t,所以 QH BQsinB 3 t5所以 S PBQ113929BP QH(63t ) t(t1)22510
10、105汇编因动点产生的面积问题含答案因为 0 t2,所以当 t 1 时, PBQ 的面积最大,最大面积是9 。10( 3)当 PBQ 的面积最大时,t 1,此时 P 是 AB 的中点, P(1, 0) , BQ 1。如图 3,因为 PBC 与 PBQ 是同高三角形,S PBC S PBQ BC BQ 5 1。当 SCBK S PBQ 5 2 时, S PBC SCBK 2 1。因为 PBC 与 CBK 是同底三角形,所以对应高的比为2 1。如图 4,过 x 轴上的点 D 画 CB 的平行线交抛物线于K,那么 PB DB 2 1。因为点 K 在 BC 的下方,所以点D 在点 B 的右侧,点 D
11、的坐标为 (11,0) 2过点 K 作 KE x 轴于 E设点3( x2)( x4) K 的坐标为 (x,8由 KE3 ( x 2)( x 4)3 整理,得 x2 4x 3 0CO,得 8DEBO9x42解得 x1,或 x3所以点 K 的坐标为 (1,27)或(3,15) 88图2图3图4考点伸展第( 3)题也可以这样思考:由 SCBK S PBQ 5 2, SPBQ 9 ,得 SCBK 9 104如图 5,过点 K 作 x 轴的垂线交BC 于 F 设点 K 的坐标为323( x,xx 3)84由于点 F 在直线 BC: y3 x3 上所以点 F 的坐标为 (x, 3 x3)44所以 KF (
12、 3 x 3) ( 3 x23 x 3)3 x23 x 48482 CBK 被 KF 分割为 CKF 和 BKF ,他们的高的和为 OB 4所以 SCBK 14(3x23x)9 解得 x 1,或 x 328246汇编因动点产生的面积问题含答案图 5例 3 如图 1,已知抛物线 y1 x2bx c ( b、 c 是常数,且c0)与 x 轴交于 A、 B2两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴的负半轴交于点 C,点 A 的坐标为 ( 1,0)( 1) b _,点 B 的横坐标为 _(上述结果均用含c 的代数式表示) ;( 2)连结 BC,过点 A 作直线 AE/BC,与抛物线交于点 E点 D
13、 是 x 轴上一点,坐标为(2,0) ,当 C、D 、E 三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;( 3)在( 2)的条件下, 点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点,连结 PB、PC设 PBC的面积为 S求 S 的取值范围;若 PBC 的面积 S 为正整数,则这样的PBC 共有 _个图 17汇编因动点产生的面积问题含答案如图 1,已知抛物线y1 x2 bx c (b、 c 是常数,且 c 0)与 x 轴交于 A、 B 两点2(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴的负半轴交于点C,点 A 的坐标为 ( 1,0)( 1) b _,点 B 的横坐标为 _(上述结果均用含c 的代数式表示) ;(
14、2)连结 BC,过点 A 作直线 AE/BC,与抛物线交于点E点 D 是 x 轴上一点,坐标为(2,0) ,当 C、D 、E 三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;( 3)在( 2)的条件下, 点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点,连结 PB、PC设 PBC的面积为S求 S 的取值范围;若 PBC 的面积 S 为正整数,则这样的PBC 共有 _个图 1动感体验请打开几何画板文件名“13 苏州 29”,拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动,可以体验到,EHA 与 COB 保持相似点击按钮“ C、 D、 E 三点共线” ,此时 EHD COD 拖动点 P 从 A 经过 C 到达 B,数一数面积的
15、正整数值共有11 个请打开超级画板文件名“13 苏州 29”,拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动,可以体验到,EHA 与 COB 保持相似点击按钮“ C、 D、 E 三点共线” ,此时 EHD COD 拖动点 P 从 A 经过 C 到达 B,数一数面积的正整数值共有11 个思路点拨1用 c 表示 b 以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现OB 2OC2当 C、 D、 E 三点共线时, EHA COB, EHD COD 3求 PBC 面积的取值范围,要分两种情况计算,P 在 BC 上方或下方4求得了 S 的取值范围, 然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中, 面积的正整数值,再
16、数一数个数注意排除点A、 C、B 三个时刻的值满分解答( 1) b c1,点 B 的横坐标为 2c2( 2)由 y1 x2(c1 )x c1 (x 1)(x 2c),设 E (x, 1 (x1)(x 2c) 22228汇编因动点产生的面积问题含答案过点 E 作 EH x 轴于 H由于 OB 2OC,当 AE/BC 时, AH 2EH所以 x 1 ( x 1)(x2c)因此 x 1 2c所以 E(12c,1c) 当 C、 D、 E 三点在同一直线上时,EHCO 所以1 cc DHDO2c1 2整理,得 2c2 3c 20解得 c 2 或 c1(舍去)2所以抛物线的解析式为y1 x23 x 2 2
17、2( 3)当 P 在 BC 下方时,过点P 作 x 轴的垂线交 BC 于 F直线 BC 的解析式为 y1 x 2 2设 P(m, 1 m23 m 2),那么 F (m, 1 m2), FP1 m22m 2222所以 S PBC SPBF S PCF 1 FP( xB xC )2FPm24m(m 2)24 2因此当 P 在 BC 下方时, PBC 的最大值为4当 P 在 BC 上方时,因为 S ABC 5,所以 SPBC 5综上所述, 0 S 5若 PBC 的面积 S 为正整数,则这样的PBC 共有 11 个考点伸展点 P 沿抛物线从 A 经过 C 到达 B 的过程中, PBC 的面积为整数,依
18、次为 ( 5),4,3,2, 1,( 0), 1, 2, 3, 4, 3,2, 1,(0)当 P 在 BC 下方, S 4 时,点 P 在 BC 的中点的正下方,F 是 BC 的中点9汇编因动点产生的面积问题含答案例 4 如图 1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板, 其顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90,得到三角形 ABO(1)一抛物线经过点 A、 B、 B,求该抛物线的解析式;(2)设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形 PB AB 的面积是ABO 面积的 4 倍?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请
19、说明理由;(3)在( 2)的条件下,试指出四边形PBAB 是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质图 110汇编因动点产生的面积问题含答案如图 1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1) 、 B(2, 0)、 O(0, 0) ,将此三角板绕原点O 逆时针旋转90,得到三角形ABO(1)一抛物线经过点A、 B、 B,求该抛物线的解析式;(2)设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形 PB AB 的面积是ABO 面积的 4 倍?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在( 2)的条件下,试指出四边形PBAB 是哪种形状的四边形?并写出它的两
20、条性质图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 菏泽 21”,拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PBAB 是等腰梯形时,四边形PB AB 的面积是 ABO 面积的 4 倍请打开超级画板文件名“12 菏泽 21”,拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PBAB 是等腰梯形时,四边形PB AB 的面积是 ABO 面积的 4 倍思路点拨1四边形PBAB 的面积是 ABO 面积的 4 倍,可以转化为四边形PBOB 的面积是ABO 面积的 3 倍2联结 PO,四边形PB OB 可以分割为两个三角形3过点向x 轴作垂线,四边形PBOB 也可以分割为一个直角梯形和
21、一个直角三角形满分解答( 1) AOB 绕着原点 O 逆时针旋转 90,点 A、B的坐标分别为 ( 1, 0) 、 (0, 2) 因为抛物线与 x 轴交于 A( 1, 0)、B(2, 0),设解析式为 ya(x1)(x2) ,代入 B(0, 2),得 a1所以该抛物线的解析式为y (x 1)(x 2) x2x 2( 2) S ABO 1如果 S 四边形 PBAB 4 SA BO 4,那么 S 四边形 PBOB 3 S ABO 3如图 2,作 PD OB,垂足为 D设点 P 的坐标为(x, x2 x 2)S梯形 PB OD1DO(B O PD)1x(2 x2x 2)1x31x22x 222211
22、汇编因动点产生的面积问题含答案S PDB1 DBPD1 (2x)( x2x 2)1 x33 x22 2222所以 S四边形 PB A DS梯形 PB ODS PDBx22x+2 解方程 x2 2x 2 3,得 x1 x2 1所以点 P 的坐标为 (1, 2)图2图3图4( 3)如图 3,四边形 PB AB 是等腰梯形,它的性质有:等腰梯形的对角线相等;等腰梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线考点伸展第( 2)题求四边形PB OB 的面积, 也可以如图4 那样分割图形, 这样运算过程更简单SSPB O1 B O xP12xx 22PBO1BO yP12(
23、x2x 2)x2x 2 22所以 S四边形 PB A D S PB O S PBOx22x+2 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:作 AOB关于抛物线的对称轴对称的BOE,那么点 E 的坐标为 (1, 2)而矩形 EB OD 与 AOB、 BOP 是等底等高的,所以四边形EBAB 的面积是 ABO面积的 4 倍因此点 E 就是要探求的点P12汇编因动点产生的面积问题含答案例 5 如图 1,在平面直角坐标系中,直线y1与抛物线 y ax2bx 3交于 A、Bx 12两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点(不与点 A、 B
24、重合),过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C,作 PD AB 于点 D ( 1)求 a、 b 及 sin ACP 的值;( 2)设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段PD 的长,并求出线段PD 长的最大值;连结 PB ,线段 PC 把 PDB 分成两个三角形,是否存在适合的m 的值,使这两个三角形的面积比为910?若存在,直接写出m 的值;若不存在,请说明理由图 113汇编因动点产生的面积问题含答案如图 1,在平面直角坐标系中,直线 y1交于 A、B 两点,x 1与抛物线 y ax2 bx 32点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为3点 P 是直线 AB 下方的抛物线
25、上的一动点(不与点A、B 重合),过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C,作 PD AB 于点 D ( 1)求 a、 b 及 sin ACP 的值;( 2)设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段PD 的长,并求出线段PD 长的最大值;连结 PB ,线段 PC 把 PDB 分成两个三角形,是否存在适合的m 的值,使这两个三角形的面积比为910?若存在,直接写出m 的值;若不存在,请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 河南 23”,拖动点 P 在直线 AB 下方的抛物线上运动,可以体验到, PD 随点 P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分,当C 是 AB 的
26、中点时, PD达到最大值观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是9 10,也可以是10 9思路点拨1第( 1)题由于CP/y 轴,把 ACP 转化为它的同位角2第( 2)题中, PD PCsin ACP ,第( 1)题已经做好了铺垫3 PCD 与 PCB 是同底边PC 的两个三角形,面积比等于对应高DN 与 BM 的比4两个三角形的面积比为9 10,要分两种情况讨论满分解答( 1)设直线 y1 x 1 与 y 轴交于点 E,那么 A( 2,0),B(4,3), E(0,1)2在 RtAEO 中, OA 2, OE 1,所以 AE5 所以 sin AEO2 5 5因为 PC
27、/EO,所以 ACP AEO因此 sinACP2 5 5将 A(2,0)、 B(4,3)分别代入 y ax2 bx 3,得 4a 2b 3 0, 16a 4b 3 3.14汇编因动点产生的面积问题含答案解得 a1 , b1 22( 2)由 P(m,1m 21m3) , C(m,1m1) ,222得 PC ( 1 m 1) ( 1 m 2 1 m 3)1 m 2 m 4 2222所以 PDPC sinACP2 5PC25 ( 1 m 2 m 4)5 ( m 1)29 5 55255所以 PD 的最大值为 9 5 5( 3)当 S PCD S PCB 910 时, m5 ;2当 S PCDS PC
28、B10 9 时, m329图 2考点伸展第( 3)题的思路是: PCD 与 PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比而 DNPD cos PDN PD cosACP525 ( 1 m 2m 4)1 (m 2)( m 4) ,5525BM 4 m当 S PCD S PCB 9 10 时,12)(m4)9m) 解得 m5(m(45102当 SPCD SPCB 10 9 时,1 (m2)(m4)10 (4m) 解得 m32 59915汇编因动点产生的面积问题含答案例 6 如图 1,直线 l 经过点 A(1, 0),且与双曲线 ym (x 0)交于点 B(2, 1)
29、过点xP( p, p 1) (p 1)作 x 轴的平行线分别交曲线ym (x 0)和 ym (x 0)于 M、 N 两点xx( 1)求 m 的值及直线 l 的解析式;( 2)若点 P 在直线 y2 上,求证: PMB PNA;( 3)是否存在实数p,使得 SAMN 4S AMP?若存在,请求出所有满足条件的p 的值;若不存在,请说明理由图 116汇编因动点产生的面积问题含答案如图 1,直线 l 经过点 A(1,0),且与双曲线 ym (x 0)交于点 B(2,1)过点 P( p, p 1) (px1) 作 x 轴的平行线分别交曲线ym (x 0)和 ym (x 0)于 M、 N 两点xx( 1
30、)求 m 的值及直线 l 的解析式;( 2)若点 P 在直线 y2 上,求证: PMB PNA;( 3)是否存在实数p,使得 SAMN 4S AMP?若存在,请求出所有满足条件的p 的值;若不存在,请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“11 南通 28”,拖动点 P 在射线 AB 上运动,可以体验到,当直线 MN 经过( 0, 2)点时,图形中的三角形都是等腰直角三角形;AMN和 AMP 是两个同高的三角形,MN 4MP 存在两种情况思路点拨1第( 2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中2第( 3)题把 S AMN 4S AMP 转化为 MN 4MP,按照点 M 与线段 NP 的位置关
31、系分两种情况讨论满分解答( 1)因为点 B(2, 1)在双曲线 ym 上,所以 m 2设直线 l 的解析式为 y kxb ,x代入点 A(1,0)和点 B(2 ,1),得 kb0,解得k1,所以直线 l 的解析式为 yx 12kb1.b1.( 2)由点 P( p, p 1) (p 1)的坐标可知,点 P 在直线 y x 1上 x 轴的上方如图2,当 y 2 时,点 P 的坐标为 (3, 2)此时点 M 的坐标为 (1, 2),点 N 的坐标为 (1, 2)由 P(3,2)、 M(1, 2)、 B(2, 1)三点的位置关系,可知 PMB 为等腰直角三角形由 P(3,2)、 N( 1,2)、 A(
32、1, 0)三点的位置关系,可知 PNA 为等腰直角三角形所以 PMB PNA图2图3图417汇编因动点产生的面积问题含答案( 3) AMN 和 AMP 是两个同高的三角形,底边MN 和 MP 在同一条直线上当 SAMN 4S AMP 时, MN 4MP 如图 3,当 M 在 NP 上时, x2(2)4 ( x 1)2解M xN 4(xP xM)因此xxx得 x113 或 x113(此时点 P 在 x 轴下方,舍去) 此时 p113 222 如 图4,当 M在 NP的 延 长 线 上 时 , xM xN 4(xM xP) 因 此2242( x1)解得 x15或 x15(此时点 P 在 x 轴下方
33、, 舍去)此()x22xx时 p15 2考点伸展在本题情景下,AMN 能否成为直角三角形?情形一,如图5, AMN 90,此时点M 的坐标为( 1,2),点 P 的坐标为( 3,2)情形二,如图6, MAN 90,此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半不存在 ANM 90的情况图5图618汇编因动点产生的面积问题含答案例 7 如图 1,四边形 OABC 是矩形,点 A、 C 的坐标分别为(3,0), (0,1)点 D 是线段BC 上的动点(与端点 B、 C 不重合),过点 D 作直线 y1 xb 交折线 OAB 于点 E2( 1)记 ODE 的面积为S,求 S 与 b 的函数关系式;( 2)当点 E 在线段 OA 上时,若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由图 119汇编因动点产生的面积问题含答案如图 1,四边形OABC 是矩形,点A、 C 的坐标分别为 (3,0), (0,1)点 D 是线段 BC 上的动点(与端点 B、 C 不重合),过点 D 作
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