函数项级数一致收敛的判别法

1、第 23 卷第 5 期2009 年 9 月甘肃联合大学学报 (自然科学版)Journal of Gansu Lianhe University (Natural Sciences)Vol. 23 No. 5 Sept. 2009文章编号 : 16722691X(2009) 0520110205函数项级数一致收敛的判别法金玮(宁夏大学 ,数学计算机学院 ,宁夏 银川 750021)摘 要 :给出了判断函数项级数一致收敛的多种方法 ,并对每种新方法给予严格证明 ,内容丰富 ,方法多样 ,以 利于对函数项级数一致收敛的深入了解和更为广泛的应用.关键词 :函数项级数 ;一致收敛 ;判别法中图分类号 :

2、0174. 41文献标识码 :A对于函数项级数 , 研究函数的解析性质至关 重要 , 函数项级数必须具有一致收敛性 , 而判断函 数项级数的一致收敛性往往是比较困难的 , 本文 对在教材上常见的一致收敛的判法不再赘述 , 对 教材之外的一些判别进行总结归纳.1判别函数项级数一致收敛的基本 方法定理 1 设 un ( x) 为定义在数集 D 上正的函 数列 , 记 qn ( x) = un + 1 ( x) / un ( x) , 若1im qn ( x) = q( x) q < 1 ,n 且 un ( x) 在 D 上一致有界 , 则函数项级数p ( x) - < - 1n un

3、( x) / 1n n < p ( x) +,n即1/ np( x) + < u ( x) < 1/ np( x) -.则当 p ( x) > p > 1 对 x D 成立时 , 有un ( x) < 1/ np , 而 p 级数 1/ np 当 p > 1 时收敛 ,由优级数判别法知函数项级数 un ( x) 在 D 上n = 1一致收敛 ; 而当 p ( x) < p < 1 对 x D 成立时 ,有 un ( x) > 1/ np , 而 p 级数 1/ np 当 p < 1 时发散 , 从而函数项级数 un ( x) 在

4、 D 上不一致收n = 1敛.定理 4设函数列 un ( x) 在闭区间 a , b上un ( x) 在 D 上一致收敛.n = 1定理 2设 un ( x) 为定义在 D 上的函数列 ,连续 , 可微 , 且存在一点 x0 a , b , 使得unn = 1n若limn un ( x) = q( x) q < 1 对 x D 成立 , 则( x) 在点 x0 处收敛 ; un( x) 在 a , b上一致收n = 1函数项级数 un ( x) 在 D 上一致收敛.n = 1定理 3设 un ( x) 为定义在 D 上的函数列 ,敛 , 则函数项级数 un ( x) 在 a , b 上一

5、致收敛.n = 1证明已知 un ( x) 在点 x0 a , b 收敛 ,若 1im - 1 n un ( x)= p ( x) 存在 , 那么n = 1n 1n n即 > 0 , N 1 () , 使得 n N 1 () 时 , 对 p 1) 若对 x D , p ( x) > p > 1 , 则函数项级数N+ , 有n+ puk ( x0 )< 成立.k = n+1un ( x) 一致收敛 ;n = 12) 若对 x D , p ( x) < p < 1 , 则函数项级数un ( x) 不一致收敛.n = 1n+ p对 x a , b , 有uk( x

6、0 )< .k = n+1根据拉格朗日中值定理 , n > N , p N+ , x a , b , 有证明由定理条件知 , 对 > 0 , N 使得对n+ pn+ pn+ puk ( x) -uk ( x0 )uk () | n > N , 有k = n+1k = n+1k = n+1收稿日期 :2009205220.基金项目 :宁夏大学青年科学基金资助项目 (QN200701) .作者简介 :金玮 (19752) ,女 ,宁夏中宁人 ,宁夏大学讲师 ,硕士 ,主要从事函数逼近论的研究.' 1994-2016 China Academic Journal El

7、ectronic Publishing House. All rights reserved. :/( x - x0 ) | < ( b - a)(介于 x 与 x 0 之间) .于是 n > N , p N+ , x a , b ,) , 若 un+1 ( x)un ( x)r( x) , n , x D , 设 r =n+ kn+ kn+ ksup r( x) , 则D|uk ( x) | = |uk ( x) -uk ( x0 ) + xn+ kk = n+1n+ kk = n+1k = n+1 n+ k1) r < 1 时 , un ( x) 在 D 上一致收敛 ;u

8、k ( x0 ) | |uk ( x) -uk ( x0 ) | +|2) r > 1 时 ,un ( x) 在 D 上不一致收敛.k = n+1 n+ kk = n+1k = n+1 un + 1 ( x) uk ( x0 ) | ( b - a) + = ( b - a + 1) .k = n+1证明1) 由un ( x)r ( x) , n , 取< 1即 un ( x) 在 a , b 上一致收敛.- r , N 0 , 当 n N 0 时 , 对一切 x D 有n- 12函数项级数一致收敛的几个新的 un+1 ( x)un ( x)- r( x)< un+1 ( x

9、)0un ( x)< r( x) +0 < r +0 < 1 un+1 ( x) < ( r +0 ) un ( x) < ( r +判别法及证明0 ) 2un- 1 ( x) << ( r +0 )n- N 0 +1uN 0( x)· un ( x)定理 5设函数项级数 un ( x) , vn ( x)< ( r +0 ) n- N 0 uN( x) ,00都是定义在数集 D 上的正项函数项级数 ,由 uN ( x) 在 D 上有界 , 即存在 M > 0 , 对一 un ( x)r( x) , n , x D.切 x D 有

10、 | uN ( x) | M , un ( x) < M ( r0vn ( x) ( r +0 ) 0N设inf r( x) = r1 , sup r( x) = r2 .+0 ) n .x Dx Dn 收敛 , 得 M( r +1) 当 r1 > 0 , r2 < + 时 , un ( x) 与 vn ( x)在数集 D 上是同时一致收敛或同时不一致收敛.) n由 ( r +0 )( r +0 ) N 00收敛 , 由优先级判别法知 un ( x) 在 D 上一2) 当 r1 = 0 , r2 < + 时 , 若 vn ( x) 在 D上一致收敛 , 则 un ( x

11、) 在 D 上也一致收敛.致收敛 .2) r > 1 时 , x0 D 使 r0 ( x) > 1 , 即3) 当 r1 > 0 , r2 = + 时 , 若 un ( x) 在 Dlim un+1 ( x0 )= r0 ( x)> 1 lim un ( x)0 ,n un ( x0 )n 上一致收敛 , 则 vn ( x) 在 D 上也一致收敛.因此 un (x0 )不收敛 , 所以 un ( x) 在 D证明由 un ( x)vn ( x)r( x) , n , x D , 则取上不一致收敛.x D0 > 0 , N 0 , 当 n > N 0 时 ,

12、对一切 x D 有un ( x) / vn ( x) - r( x)<0 - + r1 - 注 : sup r( x) = 1 时 ,一致收敛无法判断.un ( x) 在 D 上是否+ r( x) < un ( x) / vn ( x) < r( x) +0 < r2 +0 ( r1- 0 ) vn ( x) < un ( x) < ( r2 +0 ) vn ( x) .定理 7设 un ( x) 是定义在数集 D 上的nun ( x) r( x) , 设 r =1) 当 r1 > 0 , r2 < + 时 , 取 0 < r1 , 易知u

13、n ( x) 与 vn ( x) 同时一致收敛或同时不一 致收敛.正项 函 数 项 级 数 , 若sup r( x) , 则x D2) 当 r1 = 0 , r2 < + 时 , 由式 ( 1) 的右半部 分可以知道若 vn ( x) 在 D 上一致收敛 , 则1) r < 1 时 , un ( x) 在 D 上一致收敛 ;nun ( x) 2) r > 1 时 , un ( x) 在 D 上不一致收敛.un ( x) 在 D 上也一致收敛.证明1) r < 1 时 , 由r( x) , 取0 <3) 当 r1 > 0 , r2 = + 时 , 由式 (1)

14、 的右半部分1 - r , N 0 , 当 n > N 0 时 , 对一切 x D 有可以 知 道 若 un ( x ) 在 D 上 一 致 收 敛 , 则nun ( x)- r(x)<0 nun ( x) < r( x) +vn ( x) 在 D 上也一致收敛.定理 6设 un ( x) 是定义在数集 D 上的 正项函数项级数 , un ( x) 在 D 上有界 ( n = 1 , 2 ,0 < r +0 un ( x) < ( r +0 ) n .由 r +0 < 1 , 由优先级判别法知 un ( x) 在D 上一致收敛.2) r > 1 时 ,

15、 x0 D 使 r ( x0 ) > 1 , 由limn 3关于莱布尼兹型函数项级数的一nun ( x)= r( x0 ) > 1 lim un ( x0 ) , 即n 在 D 上不一致收敛.un ( x)致收敛的判别法定理 8设 un ( x) 是定义在数集 D 上的正定义 1设有函数项级数 ( - 1)n = 1n+1 un ( x) ,项函数项级数 , un ( x) 在 D 上有界 ( n = 1 ,2 ,) ,若其中 un ( x) ( n = 1 , 2 ,) 是区间 a , b 上的连续un ( x)n- 1r( x) ,设 r = inf r( x) ,则当 r &

16、gt;函数 , 且函数列在区间上单调减少收敛于 0 , 则称un+1 ( x)x D这一级数为莱布尼兹型函数项级数.1 时 , un ( x) 在 D 上一致收敛 .证明由 r > 1 , n un ( x) - 1 ( x) , 取定理 10若( - 1) n+1 un ( x) , x a , b 为n = 1run + 1 ( x)< 1 - r , N 1 , n N 1 时 , 对一切 x D 有0莱布尼兹型函数项级数 , 由此级数在 a , b 上一 致收敛.nun ( x) un+1 ( x)- 1 - r( x)< 0 证明因为 un ( x) 是 a , b

17、 上的连续函数 , un ( x) 在 a , b 收敛于连续函数 u( x) = 0 ;对 x0n un ( x) - 1 > r( x) - un+1 ( x)> r - 0> 1.r - 0 a , b , un ( x) 单调 , 所以由狄尼定理知 un ( x)在 a , b 上一致收敛于 u( x) = 0.取 1 < s < r - 0 , N 2 , n N 2 , 有 1 +n又因为 ( - 1) k+1 1 , 故 ( - 1) k+1 一致1 + 1ns, 取 N 0 = max ( N 1 , N 2 ) , 当 n N 0 时 , 对n

18、= 1有界 ;对 x a , b , un ( x)n = 1单调 , un ( x)在 a , bs一切 x D 有上一致收敛于 u( x) = 0 , 所以由狄利克雷判别法 un ( x) > 1 + r - 0>1 + 1 ( n + 1) s知莱布尼兹型函数项级数( - 1) n+1 u ( x) 在un+1 ( x)nn=n.nn = 1因此 ns un ( x) ( n + 1) s un+1 ( x) ns un ( x) Ns0 uN 0 ( x) . 由 uN 0 ( x) 在 D 上有界 , 则存在 M >0 , 使得对一切 x D , 有 a , b 上

19、一致收敛 .函数级数一致收敛的比较判别法Ns0 M| uN 0 ( x) | M un ( x) ns .定理 11两个函数级数 un ( x) 与 vn ( x) ,若n=1sn=1由 s > 1 时 , N 0 M 收敛 , 由优先级判别法知 N 0 N , 当 n > N 0 , x I 有 | un ( x) | <nsun ( x) 在 D 上一致收敛 .C | vn( x) | ( 其 中 C 为 正 常 数 ) 且 函 数 级 数定理 9设 un ( x) 是定义在数集 D 上的n = 1vn ( x) 在区间 I 绝对一致收敛 , 则函数级数正项函数项级数 ,

20、 un ( x) = f ( x , n) , 对每一个 x + un ( x) 在区间 I 绝对一致收敛 .n = 1D ,非负函数 f ( x , y) 在 1 , + 上递减 , 若1f证明已知级数 vn ( x)n = 1在区间 I 绝对一( x , y) d y 在数集 D 上一致收敛 , 则 un ( x) 在数集 D 上一致收敛.+ 证明由1f ( x , y) d y 在数集 D 上一致收致收敛 , 即对 / C > 0 (其中 C为正常数) , N 1 N , n > N 1 及 p N , x I 有| vn+1 ( x) | +| vn+2 ( x) | +|

21、 vn+ p ( x) | </ C.(1)敛 , 对 > 0 存在一个 N , 当 n > N 时 , 对一切自n+ p又由条件知 N 0N , n > N 0, x I 有然数 P 和一切 x D 有 nf( x , y)d y <| un ( x) | < C | vn ( x) | .(2)取 N = max N 0 , N 1 , 当 n > N , p N , x由| un + 1 ( x) + un + 2 ( x) + un + p ( x) | <n+ pI 有 | un+1 ( x) | +| un+2 ( x) | +| u

22、n+ p ( x) | <nfx , yd y <, 所以 un x在数集 D 上C(| vx | +| vx | +| vx |< C()( )一致收敛.n+1 ( )·/ C = .n+2 ( )n+ p ( ) )由级数一致收敛柯西准则知 , 函数级数 |n = 1对一致收敛.推论 2有函数列 un ( x) 在区间 I 一致有un ( x) | 在区间 I 一致收敛 , 从而级数 un ( x) 在n = 1区间 I 绝对一致收敛.界 , 且函数级数vn ( x) 在区间 I 绝对一致收敛 ,n = 1则函数级数 un ( x) vn ( x) 在区间 I

23、也绝对一致定理 12若有函数级数 un ( x) 与 vn ( x) ,n = 1n=1n=1收敛. N 0 N , n > N 0 , x I 有 | un ( x) | <Cv n ( x) (其中 C 为正常数) 且函数级数 vn ( x)n = 1证明由已知函数级数 vn ( x) 在区间 In = 1绝对一致收敛 , 又函数列 un ( x) 在区间 I 一致有在区间 I 一致收敛 , 则函数级数 un ( x) 在区间 In = 1绝对一致收敛.证明已知 N 0 N , n > N 0 , x I 有| un ( x) | < Cv n ( x) (其中 C

24、 为正常数) . (1)又函 数 级 数 vn ( x) 在 区 间 I 一 致 收 敛 , 即界 , 即 M > 0 , n N , x I 有| un ( x) | M ,使当 n N , x I 有| un ( x) ·vn ( x) | M | vn ( x) | .由比较判法定理 1 知级数 un ( x) vn ( x) 在区间 In = 1n = 1/ C > 0 , N 1 N , n > N 1 , p N , x I 有| vn+1 ( x) + vn+2 ( x) + vn+ p( x) | = vn+1 ( x) +绝对一致收敛.例 证明 :

25、 若函数级数 an ( x) 与 cn ( x)vn+2 ( x) + vn+ p ( x) < / C.(3)n = 1n = 1取 N = max N 0 , N 1 , 当 n > N , p N , x I 有| un+1 ( x) + un+2 ( x) + un+ p ( x) | |在区间 I 一致收敛 , 且 n N , x I 有 an ( x) bn ( x) cn ( x) , 则函数级数 bn ( x) 在区间 I 一n = 1致收敛.un+1 ( x) | +| un+2 ( x) | +| un+ p ( x) | < C( vn+1 ( x)+

26、vn+2 ( x) + vn+ p ( x) ) < C ·/ C = .证明由条件函数级数 an ( x) 与 cn ( x)从而函数级数 un ( x) 在区间 I 绝对一致收敛.n = 1n = 1n= 1两定理分别有如下推论 :推论 1( 比较极限法) 若有两个函数级数在区间 I 一致收敛 , 则级数 ( cn ( x) - an ( x) ) 在n = 1区间 I 一致收敛 , 又 n N, x I 有 an ( x) bn ( x) cn ( x) , 故 0 bn ( x) - an ( x) cn ( x) -un (x) 与 vn (x) (vn (x) 0)

27、 ,且有1imun (x)/ vn (x) =n=1n=1nan ( x)且级数 ( cn ( x) - an ( x) ) 在区间 I 绝对一n = 1k 且 0 k < + , 若级数 vn ( x) 在区间 I 绝对n = 1致收敛 , 由比较判别法定理 12 知级数( bn ( x)1一致收敛 , 则函数级数 un ( x) 在区间 I 也绝对n = 1一致收敛.- an (x) )n =在 区 间 I 一 致 收 敛 , 又 已 知 级 数证明由limn un ( x) / vn ( x)= k 且 0 k <an ( x) 在区间 I 一致收敛 , 从而级数n = 1b

28、n ( x)1n =+ = ( bn ( x) - an ( x) ) + an ( x) = ( bn ( x) -即 0 > 0 , N N, 当 n > N , x I 有n = 1n = 1un ( x) / vn ( x) - k < 0 , 使 un ( x) / vn ( x)<k +0 = C 且 C = k +0 > 0 .即 n > N 及 x I 有| un ( x) | < C| vn ( x) | .又级数 vn ( x) 在区间 I 绝对一致收敛 , 由n = 1an ( x) ) +an ( x) 在区间 I 上也一致收敛

29、 .n = 15函数项级数一致收敛的一个有效 充要判别法比较判别法定理 1 知级数un ( x) 在区间 I 也绝n = 1定理 13设函数序列 uk ( x) 在 ( a , b) 内一致有界 , 且 uk ( x) ( k = 1 , 2) 关于 x 单调增加或单调减少 , 则 uk ( x) 在 ( a , b) 内一致收敛 数n = 1< vk ( x) < supx ( a, b)uk ( x) .由已知条件知 supx ( a, b)uk ( x) -infx ( a, b)uk ( x) 项级数 su puk ( x) 和in fuk ( x) 都收k = 1k =

30、1敛.x ( a, b)k = 1x ( a, b)收敛 ,它可作为控制级数. 因此vk ( x) 在 ( a , b)k = 1证明先证明必要性内一致收敛 , 而级数infx ( a, b)uk ( x) 收敛 , 当然在uk ( x) 在 ( a , b) 内一致收敛 , 即对任意给k = 1k = 1定的> 0 , N Z+ (N 仅与有关) ,使当 n <( a , b) 内 一 致 收 敛 , 所 以 可 推 出uk ( x) =k = 1N ,对一切 x (a ,b) 及任意的 p Z+ ,有n+ pvk ( x) + infuk ( x) 在 ( a , b) 一致收

31、敛.k = 1k = 1x ( a, b)22-< uk ( x) <,k = n+1由以上定理可推得以下两个推论 :故- < supn+ pu ( x) < ,推论 1若函数序列 uk ( x) 在 ( a , b) 内一致x a, b22( ) kk = n+1有界 ,非 负 且 同 时 单 调 增 加 或 单 调 递 减 , 则又由于 uk ( x) ( k = 1 , 2 ,) 关于 x 单调增加 或单调减少 , 不妨设 uk ( x) ( k = 1 , 2 ,) 关于 x 单uk ( x) 在 ( a , b) 内一致收敛 数项级数k = 1k = 1调增加

32、 , 且函数序列 uk ( x) 在 ( a , b) 内一致有界 ,supx ( a, b)uk ( x) 收敛.则每一个 uk ( x) 在 ( a , b) 内有界 , 必有上确界 , 令推论 2若函数序列 uk ( x) 在 ( a , b) 内一致k = supuk ( x) 则1im uk ( x) =k = supuk ( x)由上有x ( a, b)x b-x ( a, b)有界 , 且导数 uk ( x) 不变号 , 则 uk ( x) 在 ( a , b)k = 1n+ px ( a, b) n+ p内一致收敛 数项级数 supk = 1uk ( x) 和 k = 1supk = n+1uk ( x) = 1imx b- k = n+1uk ( x) = lim un+1 ( x)x b-都收敛.x ( a, b)n+ p+ un+2 ( x) +un+ p ( x) , k = n+1supx ( a, b)uk ( x) =n+ pkinfx ( a, b)uk ( x)= n+1b1im uk ( x) = 1im un+1 ( x) + un+2 ( x) +un+ p ( x) ,参考文献 :bx -x - 1 汪林.