(完整版)向量知识点总结

1、向量知识点总结一、教学要求：1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 了解向量的基本定理， 掌握向量的数量积及其几何意义， 了解用向量的数量积处理有关长度、 角度和垂直问题， 理解直线的方向向量、 平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算1. 有关概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向

2、量。常用有向线段表示向量方向向量二要素长度（ 2）向量的模有向线段的长度| AB|， | a |长度等于 1的向量叫做单位向量，aa0| a |零向量0 （ 0 的方向不定），| 0|0（3）共线向量（平行向量）方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。（ 4）相等的向量长度相等ab方向相同规定：00向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。规定：零向量与任一向量平行。2. 向量有三种形式（或三种表示）几何表示几何运算 代数表示代数运算1坐标表示坐标运算3. 向量的加法、减法与数乘（1）向量的加法三角形法则或平行四边形法则如图：向量加法的多边形法则如图，求 abc（2）向量的减法：a ba (

3、 b ) ，即向量 a 加上 b 的相反向量。（ ab 的箭头指向被减向量）（3）实数与向量的乘积长度 |a | | |· | a |方向：时与a同向a0时与a反向aa0时，a 002 b a （ a0 ）存在唯一实数，使 ba4. 向量的运算法则（加、减、数乘）设向量 a ， b ， c 及实数 ， ，则： abba ( ab )ca ( b c ) () aaa ( ab )ab | a | |· | a | | a | | b | | ab | | a | | b |（此不等式表示三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边， 也称为三角不等式。）5. 平面向量基本

4、定理（向量的分解定理）e1 ， e2 是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量a ，存在唯一实数对1，2 ，使得 a1 e12 e2 。（这个定理表明： 平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的和。1 e12 e2 叫做向量 e1 ， e2 的线性组合，e1 ， e2 叫做表这一平面内所有向量的一组 基底。基底不唯一，关键是不共线基底给定，分解形式唯一应用：设 OA ， OB 不共线，点 P在直线 AB上（即 A、 B、 P三点共线）OPOAOB且1（，R）（二）向量的坐标运算31. 在直角坐标系内，分别取与x轴， y轴同方向的两个单位向量i ，j 作为基底，则该平面

5、内任一向量a ，有且只有一对实数x， y，使得ax iy j ，称（ x， y）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a( x， y)，即为向量的坐标表示。（如图，当把向量a 的起点移至原点时，（x， y）是向量aOA 终点 A的坐标，即 A x， y ，x， y 是向量a 在 x， y轴上的射影，与a 相等的向量的坐标也相同。）2. 向量的坐标运算已知 a(x1， y1 )， b( x2 ， y2 )，R则：（ 1） a b (x1 iy1j )( x2iy2 j )x1x2iy1y2jx1x2 ， y1y2（ 2） a bx1x2 ， y1y2 ，设 A x1 ， y1 ， B x2 ， y2B

6、A a bx1x2 ， y1y2| AB|x12y1 y22x24（ 3）ax1， y1x1 ，y1（三）平面向量的数量积1. 数量积的概念设向量 OAa ， OBb ， AOB叫做向量a 与 b 的夹角。记作a ， b， 0a ， b180（ 1）数量 | a |· | b |cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作a · b即 a · b| a |· | b |cos（ 2）数量积的几何意义：a · b 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 的方向上的射影| b |cos的乘积。2. 数量积的运算法则（1） a · b

7、b · a ， a · 00 · a0（ 2） (a ) · b( a · b )a · (b )R（ 3） ( ab )· ca · cb · c注意：数量积不满足结合律！（ a · b ）· ca ·（ b · c ）（ 4） a( x1， y1 ) ， b( x2 ， y2 ) ，则a · bx1， y1 · x2 ， y2x1 x2y1 y23. 重要性质（1）设e 是单位向量，a ， e，则 e · aa · e|

8、a |· cos（ 2） a ba · b0x1 · x2y1· y20（ 3） a ba · b| a |· | b |或 a · b| a |· | b |5a b （ b0 ）（ 唯一确定）x1， y1x2 ， y2x1 y2x2 y102（ 4） a| a |2 ，即 | a |x2y2 ，| a · b | | a |· | b |a · b（ 5） cos| a |· | b |（四）定比分点与平移1. 线段的定比分点设 P1 x1 ， y1 ， P2 x2 ， y2 ，分点 P x， y ，设 P1 ， P2 是 l上两点， P点在 l上且不同于 P1、 P2 ，若存在一实数，使 P1PPP2 ，则 叫做 P分有向线段P1P2 所成的比。（0，P在线段 P1 P2 内；0，P在P