直线、平面平行和垂直的判定及其性质

1、本章内容本章内容2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质第二章第二章 小结小结2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定(第一课时第一课时)复习与提高复习与提高2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定(第二课时第二课时)2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定(第一课时第一课时)2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定(第二课时

2、第二课时)2.3.3 直线与平面直线与平面2.3.4 平面与平面平面与平面垂直的性质垂直的性质第一课时第一课时直线与平 面垂直的判定2.3.1返回目录返回目录1. 直线和平面垂直是怎样定义的直线和平面垂直是怎样定义的? 2. 用直线和平面垂直的判定定理证明线面用直线和平面垂直的判定定理证明线面垂直需要哪些条件垂直需要哪些条件? 问题问题 1. 在你的感觉中在你的感觉中, 直线和平面垂直是怎样一直线和平面垂直是怎样一种情况种情况? 你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子吗吗? 你认为怎样定义直线与平面垂直恰当你认为怎样定义直线与平面垂直恰当? 如果直线如果直

3、线 l 与平面与平面 a a 内的任意一条直线都垂直内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线我们就说直线 l 与平面与平面 a a 互相垂直互相垂直, 记作记作 la a, 直线直线 l 叫做平面叫做平面 a a 的垂线的垂线, 平面平面 a a 叫做直线叫做直线 l 的垂面的垂面. 线面垂直是线面相交的一种特殊情况线面垂直是线面相交的一种特殊情况, 线面垂直线面垂直, 有且只有一个公共点有且只有一个公共点, 即交点即交点, 这个交点叫做线面垂直这个交点叫做线面垂直的的垂足垂足. 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义: 1. 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 画直线和水平平面垂直画直

4、线和水平平面垂直, 要把直线画成和表示平要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直面的平行四边形的横边垂直. 画直线和竖直平面垂直画直线和竖直平面垂直, 要把直线画成和表示平要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直面的平行四边形的竖直边垂直.a alla ab bmm b b 问题问题2: 已知平面已知平面 a a 和空间任意一点和空间任意一点 P, 过点过点 P 能能作作 a a 的几条垂线的几条垂线? 为什么为什么?a aP 结论结论: 过空间任意一点过空间任意一点, 有且只有一条直线和有且只有一条直线和已知平面垂直已知平面垂直.如果有两条如果有两条, PAa a, PBa a,只

5、有一条只有一条.垂足分别为垂足分别为 A, B.则则 PA, PB 确定的平面确定的平面与与 a a 相交于一直线相交于一直线 AB.AB于是于是 PAAB, PBAB,则在平面则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识根据平面几何知识, 这显然不对这显然不对. 问题问题 3. (1) 请同学们用一块三角板的一条直角边请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内放在桌面内, 另外一条直角边不在桌面内另外一条直角边不在桌面内, 请问这另请问这另一条直角边与桌面垂直吗一条直角边与桌面垂直吗? (2) 用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开用一张有

6、一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上并将所折的边放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能吗有不垂直的可能吗? 用定义判断线面垂直不太方便用定义判断线面垂直不太方便, 怎样有较方便的怎样有较方便的方法判断线面垂直呢方法判断线面垂直呢, 我们先看下面的问题我们先看下面的问题.ABCD当当A、B、C 不共线时不共线时,折痕折痕DC垂直桌面垂直桌面;当当A、B、C 共线时共线时,折痕折痕DC不一定垂直桌面不一定垂直桌面.2. 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直垂直,

7、 那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.符号表示符号表示:laba ala,lb,a a a,b a a,ab, la a.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直由线线垂直得线面垂直. 问题问题 4. 一旗杆高一旗杆高 8 m, 在它的顶端系两条长在它的顶端系两条长10m 的绳子的绳子, 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点点 ( 与旗杆脚不在同一直线上与旗杆脚不在同一直线上). 如果这两点与旗杆脚如果这两点与旗杆脚相距相距 6m, 那么旗杆就与地面垂直那么旗杆就与地面垂直, 为什么为什么?ABCD如图如

8、图, AB= =8,AC= =AD= =10,BC= =BD= =6,ABC和和ABD的三边的三边满足勾股定理满足勾股定理, ABBC,ABBD,而而 BC、BD在地面内在地面内,C、B、D不在同一直线上不在同一直线上,即即 BC, BD相交相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.a a例例 1. 如图如图, 已知已知 ab, aa a. 求证求证: ba a.am证明证明: 在在 a a 内任作两相交直线内任作两相交直线 m、n, aa a,m a a, am, an, ba, bm, bn,又又 m 与与 n 相交相交, ba a. 结论结论: 两平

9、行线中的一条垂直于一个平面两平行线中的一条垂直于一个平面, 那那么另一条也垂直于这个平面么另一条也垂直于这个平面.bnn a a, 练习练习(补充补充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂线段的垂线段, PA 是是平面平面 a a 的斜线段的斜线段, 直线直线 l a. 求证求证: (1) 若若 lPA, 则则 lQA; (2) 若若 lQA, 则则 lPA.a alPQA证明证明: (1)PQa, l a.PQl.若若 lPA, l平面平面PQA.QA 平面平面PQA,lQA. 练习练习(补充补充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂线段的垂线段, PA 是是平面平面 a

10、 a 的斜线段的斜线段, 直线直线 l a. 求证求证: (1) 若若 lPA, 则则 lQA; (2) 若若 lQA, 则则 lPA.a alPQA证明证明: (2)PQa, l a.PQl.若若 lQA, l平面平面PQA.PA 平面平面PQA,lPA. 练习练习(补充补充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂线段的垂线段, PA 是是平面平面 a a 的斜线段的斜线段, 直线直线 l a. 求证求证: (1) 若若 lPA, 则则 lQA; (2) 若若 lQA, 则则 lPA.a alPQAQ 为垂线段为垂线段 PQ 的垂足的垂足.A 为斜线段为斜线段 PA 的斜足的斜足.Q

11、A 为斜线为斜线 PA 在平面在平面 a 上的射影上的射影.有三条线有三条线: 平面的斜线平面的斜线, 斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影,平面内的一条直线平面内的一条直线 l.结论结论: 如果如果 l 斜线斜线, 则则 l射影射影;如果如果 l射影射影, 则则 l斜线斜线.(三垂线定理三垂线定理) 探究题探究题. 如图如图, 直四棱柱直四棱柱 A B C D -ABCD ( 侧侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 ) 中中, 底面四边形底面四边形ABCD 满足什么条件时满足什么条件时, A CB D ?ABCDA B C D 分析分析: 由题中定义知由题中定义知,侧棱

12、侧棱 A A平面平面A B C D ,从而从而 A AB D .又要使又要使 A CB D ,则需则需 B D 平面平面A AC.所以需在平面所以需在平面A AC内另找一条直线内另找一条直线容易考虑的是容易考虑的是AC是否满足是否满足?要使要使ACB D , 四边形四边形ABCD需满足需满足:BA= =BC, 且且DA= =DC.与与B D 垂直且与垂直且与A A相交相交. (改为如下的证明题, 请同学们给出证明) 如图如图, 直四棱柱直四棱柱 A B C D -ABCD ( 侧棱与底面垂侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱直的棱柱称为直棱柱 ) 中中, 已知已知 A B = =B C , A D

13、= =D C , 求证求证: B D A C.ABCDA B C D 证明证明: 连结连结A C ,A B = =B C ,B D A C ,AA 平面平面A B C D AA B D , B D 平面平面AA C C,B D A C.(定义)(判定)(定义)A D = =D C ,AA A C = =A ,A C 平面平面AA C C,练习练习: (课本课本67页页)第第 1、2 题题.练习练习: (课本课本69页页) 1. 如图如图, 在三棱锥在三棱锥 V-ABC中中, VA= =VC, AB= =BC, 求证求证: VBAC.ABCV练习练习: (课本课本67页页)证明证明:D取取 AC

14、 边的中点边的中点 D,连接连接 VD, BD. VA= =VC, VDAC,VB= =BC, BDAC, AC平面平面VDB,而而 VB 平面平面VDB,ACVB. 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作作 POa a, 垂足为垂足为 O, 连接连接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 则则 O 是是 AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 则则 O 是是ABC的的 心心.ABCPOa a解解: (1) 如图如图

15、, POa a,则则POA= =POB= =POC= =90 ,又又 PA= =PB= =PC,POA POB POC,得得 OA= =OB= =OC, 又又C= =90 ,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点中点 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作作 POa a, 垂足为垂足为 O, 连接连接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 则则 O 是是 AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 P

16、APB, PBPC, PCPA, 则则 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (2) 由由(1)得得 OA= =OB= =OC,中点中点到三角形三顶点的距离相等到三角形三顶点的距离相等外外ABCP的点是三角形的外心的点是三角形的外心. 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作作 POa a, 垂足为垂足为 O, 连接连接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 则则 O 是是 AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA,

17、则则 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (3)中点中点外外由由 PAPB, PAPC,得得 PA平面平面PBC,PABC.又由又由 POa a 得得 POBC,于是得于是得 BC平面平面POA, BCAO.同理可得同理可得 ABCO,O 为为ABC的垂心的垂心.垂垂ABCP练习练习: (课本课本69页页) 如图如图, 正方形正方形 SG1G2G3中中, E, F 分别是分别是 G1G2, G2G3 的中点的中点, D 是是 EF的中点的中点, 现在沿现在沿 SE, SF 及及 EF 把这个正方形折成一个四面体把这个正方形折成一个四面体, 使使 G1, G2, G3 三点重合三点重合,

18、重合后的点记为重合后的点记为 G, 则在四面体则在四面体 S-EFG 中必有中必有( ) (A) SGEFG所在平面所在平面 (B) SDEFG所在平面所在平面 (C) GFSEF所在平面所在平面 (D) GDSEF所在平面所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA【课时小结课时小结】1. 线面垂直的定义线面垂直的定义 若直线若直线 l 垂直平面垂直平面 a a 内的任意一直线内的任意一直线, 则叫则叫 la a.应用应用:若若 la a, 则则 l 垂直平面垂直平面 a a 内的任意一直线内的任意一直线.la a,m a a,lm.【课时小结课时小结】2. 线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理

19、 如果一条直线和一个平面内的两条相如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个那么这条直线垂直于这个平面平面.la,lb,ab= =P,la a.a a a,b a a,【课时小结课时小结】3. 相关结论相关结论 过空间任意一点过空间任意一点, 有且只有一条直线有且只有一条直线和已知平面垂直和已知平面垂直. 两平行线中的一条垂直于一个平面两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面那么另一条也垂直于这个平面. 如果平面内的一条直线垂直平面的斜如果平面内的一条直线垂直平面的斜线线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影则这条直线垂直斜线在平面上的

20、射影; 如果平面内的一条直线垂直平面的一如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜则这条直线垂直斜线线.习题习题 2.3B 组组第第 2、4 题题习题习题 2.3B 组组 2. 如图如图, 棱锥棱锥 V-ABC中中, VO平面平面 ABC, O CD, VA= =VB, AD= =BD, 你们能判定你们能判定 CDAB 以及以及 AC= =BC 吗吗?VABCDO答答: 能判定能判定.由由 VA= =VB, AD= =BD 得得, VDAB.又由又由VO平面平面 ABC 得得, VOAB.于是得于是得AB平面平面VOD, O CD, ABOD.

21、 ABCD,而而 AD= =BD, 从而得从而得 AC= =BC. 4. 如图如图, AB 是是 O 的直径的直径, 点点 C 是是 O 上的上的动点动点, 过动点过动点 C 的直线的直线 VC 垂直于垂直于 O 所在平面所在平面, D, E 分别是分别是 VA, VC 的中点的中点. 试判断直线试判断直线 DE 与平面与平面 VBC 的位置关系的位置关系, 并说明理由并说明理由.VABCDEO解解: DE平面平面VBC.由直径所对的圆周角是直角得由直径所对的圆周角是直角得ACBC.又由又由 VC 垂直于垂直于 O 所在平面得所在平面得ACVC.而而 D, E 分别是分别是 VA, VC 的中

22、点得的中点得DE/AC, DE平面平面VBC. AC平面平面VBC.第二课时第二课时直线与平 面垂直的判定2.3.1返回目录返回目录1. 什么是斜线在平面上的射影什么是斜线在平面上的射影? 2. 直线和平面所成的角是由哪些元素构成直线和平面所成的角是由哪些元素构成? 其范围是多少其范围是多少? 3. 求直线和平面所成角的大小时求直线和平面所成角的大小时, 应掌握应掌握哪些要点哪些要点? 问题问题5. 如图如图, 直线直线 l 与平面与平面 a a 斜交于一点斜交于一点 A, 过过点点 A 在平面在平面 a a 内作直线内作直线 l1, l2, l3, , 这些直线与直这些直线与直线线 l 的夹

23、角中的夹角中, 你认为哪个角最小你认为哪个角最小? 怎样确定这个最怎样确定这个最小的角小的角?la al4Al3l1l2P过过 l 上任一点上任一点 P 作平面作平面 a a 的的O垂线垂线 PO, 垂足为垂足为 O, 连结连结 AO,则则PAO 就是那个最小的角就是那个最小的角.【直线和平面所成的角直线和平面所成的角】 问题问题5. 如图如图, 直线直线 l 与平面与平面 a a 斜交于一点斜交于一点 A, 过过点点 A 在平面在平面 a a 内作直线内作直线 l1, l2, l3, , 这些直线与直这些直线与直线线 l 的夹角中的夹角中, 你认为哪个角最小你认为哪个角最小? 怎样确定这个最

24、怎样确定这个最小的角小的角?la al4Al3l1l2PO 一条直线一条直线 PA 和一个平和一个平面面 a a 相交相交, 但不垂直但不垂直, 这条这条直线叫做这个平面的直线叫做这个平面的斜线斜线, 其交点其交点 A 叫做叫做斜足斜足. 过斜线过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足过垂足 O 和和斜足斜足 A 的直线的直线 AO 叫斜线在平面上的叫斜线在平面上的射影射影. 平面的平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这叫做这条条直线和直线和这个这个平面所成的角平面所成的角.【直线和平面所成的角直线和平面所

25、成的角】a aOPQPOa a = = O,PQa a, Q 为垂足为垂足,则则 OQ 是是 PO 在平面在平面 a aPOQ 是斜线是斜线 PQ 与与平面平面 a a 所成的角所成的角.上的射影上的射影. 特例特例1: 如果直线垂直平面如果直线垂直平面, 直线和平面所成的直线和平面所成的角为直角角为直角; 特例特例2: 如果直线和平面平行或在平面内如果直线和平面平行或在平面内, 就说直就说直线和平面所成的角是线和平面所成的角是0的角的角. 问题问题6. 已知直线已知直线 l1、l2 和平面和平面 a a 所成的角相等所成的角相等, 能否判断能否判断 l1l2? 反之反之, 如果如果 l1l2

26、, l1, l2 与平面与平面a a 所成的角是否相等所成的角是否相等?如图如图,a aABCDOABa a, CDa a,AOB = =COD.而而 AO 与与 CO 不平行不平行.a aABCDO1O2如图如图,ABCD,AO1a a, CO2a a,则则 AO1CO2,于是得于是得BAO1= =DCO2,则在直角三角形中得则在直角三角形中得ABO1= =CDO2.结论结论: 和同一平面所成的角相等的两条斜线和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定不一定平行平行.两条平行线和同一个平面所成的角两条平行线和同一个平面所成的角一定相等一定相等. 例例2. 如图如图, 在正方体在正方体 ABCD-

27、A1B1C1D1中中, 求求直线直线 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角所成的角.ABCA1B1C1D1D分析分析: 需在平面需在平面A1B1CD上上找到直线找到直线A1B的射影的射影.即需找过即需找过A1B上的点垂直上的点垂直平面平面A1B1CD的直线的直线.O而而 BB1, BC不可能垂直平面不可能垂直平面A1C,易看出对角线易看出对角线 BC1 有可能有可能.因为因为BC1B1C,还容易看出还容易看出BC1A1B1,于是可连结于是可连结BC1, 交交B1C于于O,即即A1O就是要找的射影就是要找的射影.BA1O就是所要求的线面角就是所要求的线面角,则可在则可在RtBA1O中求中

28、求. 例例2. 如图如图, 在正方体在正方体 ABCD-A1B1C1D1中中, 求求直线直线 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角所成的角.ABCA1B1C1D1D解解: 连结连结 BC1, 交交 B1C 于于 O,则在正方形则在正方形BCC1B1中中, BC1B1C.又又A1B1平面平面BCC1B1,得得 A1B1BC1.O则则 BC1平面平面A1B1CD, O为垂足为垂足.得得 A1O为为A1B在平面在平面A1B1C1D上的射影上的射影.BA1O就是直线就是直线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角,在在 RtBA1O 中中, A1B= =BC1= =2BO,21sin11

29、= = = BABOOBA得得BA1O= =30 .直线直线 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角是所成的角是30 . 例例2. 如图如图, 在正方体在正方体 ABCD-A1B1C1D1中中, 求求直线直线 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角所成的角.ABCA1B1C1D1D求线面角的要点求线面角的要点:(1) 找斜线在平面上的射影找斜线在平面上的射影,确定线面角确定线面角.(2) 构造含线面角的三角形构造含线面角的三角形,O通常构造直角三角形通常构造直角三角形.(3) 在三角形中求角的大小在三角形中求角的大小.练习练习(补充补充)ABCA1B1C1D1D如图如图, 在正方体

30、在正方体 ABCD-A1B1C1D1中中,(1) 求对角线求对角线 A1C 与平面与平面 B1BCC1 所成角的正切值所成角的正切值;(2) 求求 AA1 与平面与平面 A1BD 所成角的正切值所成角的正切值.解解: (1) A1C是平面是平面B1BCC1的斜线的斜线,A1B1是平面是平面B1BCC1的垂线的垂线,B1C是是A1C在平面在平面B1BCC1上的射影上的射影,则则A1CB1为所求的线面角为所求的线面角.在在RtA1B1C中中,2111BACB= =21tan11111= = = CBBACBA.22= =即即 A1C 与平面与平面 B1BCC1 所成角的正切值为所成角的正切值为.2

31、2练习练习(补充补充)ABCA1B1C1D1DO如图如图, 在正方体在正方体 ABCD-A1B1C1D1中中,(1) 求对角线求对角线 A1C 与平面与平面 B1BCC1 所成角的正切值所成角的正切值;(2) 求求 A1A 与平面与平面 A1BD 所成角的正切值所成角的正切值.解解: (2) 取取 BD 的中点的中点 O,连结连结 AO, A1O,过点过点 A 作作 AEA1O, 垂足为垂足为 E.AB= =AD, A1B= =A1D,EBDAO, BDA1O,则则 BD平面平面A1AO,得得 BDAE.由得由得AE平面平面A1BD.A1E是是A1A在平面在平面A1BD上的射影上的射影,ABC

32、A1B1C1D1DOE练习练习(补充补充)如图如图, 在正方体在正方体 ABCD-A1B1C1D1中中,(1) 求对角线求对角线 A1C 与平面与平面 B1BCC1 所成角的正切值所成角的正切值;(2) 求求 A1A 与平面与平面 A1BD 所成角的正切值所成角的正切值.解解: (2) 取取 BD 的中点的中点 O,连结连结 AO, A1O,过点过点 A 作作 AEA1O, 垂足为垂足为 E.AB= =AD, A1B= =A1D,BDAO, BDA1O,则则 BD平面平面A1AO,得得 BDAE.由得由得AE平面平面A1BD.A1E是是A1A在平面在平面A1BD上的射影上的射影,则则 AA1E

33、 为所求的线面角为所求的线面角.在在 RtA1AO 中中,tan11AAAOEAA= = BDAO21= =,2211AA= =.22tan1= = EAA即即 A1A 与平面与平面 A1BD所成角的正切值为所成角的正切值为.22【课时小结课时小结】1. 直线和平面所成的角直线和平面所成的角(1) 平面的斜线与平面所成的角平面的斜线与平面所成的角斜线与射影的夹角斜线与射影的夹角(锐角锐角).(2) 平面的垂线与平面所成的角为平面的垂线与平面所成的角为90 .(3) 平面的平行线或在平面内的直线与平面的平行线或在平面内的直线与 平面所成的角为平面所成的角为0 . 斜线和平面所成的角是斜线和平面内

34、所斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的有直线所成角中最小的.两条平行线和同一个平面所成的角相等两条平行线和同一个平面所成的角相等.【课时小结课时小结】2. 求线面角的要点求线面角的要点 (1) 找斜线在平面上的射影找斜线在平面上的射影, 确定确定线面角线面角. (2) 构造含角的三角形构造含角的三角形, 用三角函用三角函数求解数求解.练习练习(补充补充) 2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等底面是等边三角形边三角形, 侧棱与底面所的角为侧棱与底面所的角为60, 求三棱锥的体积求三棱锥的体积. 1. 若一直线与平面所成的角为若一直线与平

35、面所成的角为 则此直线与该则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是平面内任一直线所成的角的取值范围是 .,3 3. 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中, 直线直线A1B与平与平面面BC1D1所成的角为所成的角为 .CDABC1D1A1B1 1. 若一直线与平面所成的角为若一直线与平面所成的角为 则此直线与该则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是平面内任一直线所成的角的取值范围是 .,3 a aABCDP解解: 如图如图, 直线直线AB是直线是直线PC在平面在平面 a a 内的射影内的射影,直线直线 PC 与平面与平面 a a 内的直线内的直线所成的角中所成的角中,PC

36、A最小最小,直角最大直角最大. 2 ,3 则则PC与平面内任一直线所成的角的范围是与平面内任一直线所成的角的范围是. 2 ,3 2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等底面是等边三角形边三角形, 侧棱与底面所成的角为侧棱与底面所成的角为60, 求三棱锥的体求三棱锥的体积积.OABCP解解:作作PO底面底面ABC, 垂足为垂足为O,如图如图, O 为底面正三角形的中心为底面正三角形的中心,则则PAO= =PBO= =PCO= =60,BAEtan2, 3= =PO,23 = =tan60232. 3= =PA= =PB= =PC= =2.得得 RtPOA R

37、tPOB RtPOC,于是得于是得 OA= =OB= =OC.得得 AO= =1,底面底面ABC的高的高AE= =E则则 BC= =2BE= = 2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等底面是等边三角形边三角形, 侧棱与底面所的角为侧棱与底面所的角为60, 求三棱锥的体积求三棱锥的体积.OABCP解解:作作PO底面底面ABC, 垂足为垂足为O,如图如图, O 为底面正三角形的中心为底面正三角形的中心,则则PAO= =PBO= =PCO= =60,BAEtan2, 3= =PO,23 = =tan60232. 3= =PA= =PB= =PC= =2.得得

38、RtPOA RtPOB RtPOC,于是得于是得 OA= =OB= =OC.得得 AO= =1,底面底面ABC的高的高AE= =E则则 BC= =2BE= =AEBCSABC = = 21 则则.433= =POSVABC = = 31棱锥的体积为棱锥的体积为343331 = =.43= = 3. 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中, 直线直线A1B与平与平面面BC1D1所成的角为所成的角为 .CDABC1D1A1B1解解:平面平面BC1D1就是平面就是平面ABC1D1,如图如图,E连结连结A1D, 交交AD1于于E,则则A1EAD1,A1EAB, A1E平面平面ABC1D1,连结

39、连结BE,则则A1BE就是就是A1B与平面与平面BC1D1所成的角所成的角,设正方体的棱长为设正方体的棱长为a,在在RtA1ED中中,221aEA= =,21aBA= =aaBEA222sin1= = ,21= =A1BE= =30.302.3.2平面与平面垂直的判定第一课时第一课时返回目录返回目录1. 什么叫二面角什么叫二面角? 2. 二面角的大小是由什么确定的二面角的大小是由什么确定的? 求二面求二面角的大小的关键是什么角的大小的关键是什么? 问题问题 1. 当我们要求别人将一扇门当我们要求别人将一扇门(如教室门如教室门)开开大点大点, 或开小点时或开小点时, 用什么来度量用什么来度量,

40、使开门的人能使开门的人能准确地按要求开门准确地按要求开门? 如图如图, 两个平面相交两个平面相交, 常常要研究交成的角的大小要研究交成的角的大小, 这就这就需要引入需要引入二面角二面角.【1】二面角二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做叫做二面角二面角. 这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱, 这两个这两个半平面叫做二面角的半平面叫做二面角的面面.如图如图,a ab blABPQ记作记作 二面角二面角 a a- -l- -b b,或或 二面角二面角 a a- -AB- -b b,二面角二面角 P- -l- -Q,二面角二面角 P- -A

41、B- -Q.【2】二面角的平面角二面角的平面角a ab blABOa ab bl 要研究和度量二面角的大小要研究和度量二面角的大小, 我们把它转化成从我们把它转化成从一点出发的两条射线的夹角一点出发的两条射线的夹角. 以二面角的以二面角的棱上棱上任意任意一点一点为端点为端点, 在在两个半平两个半平面内面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线的两条射线, 这两条射线所成这两条射线所成的角叫做的角叫做二面角的平面角二面角的平面角.如图如图,以棱以棱 l 上任一点上任一点O为端点为端点,在半平面在半平面 a a 内作内作OAl,在半平面在半平面 b b 内作内作OBl,则则AOB就是二面角就是二面

42、角a a-l-b b 的平面角的平面角.AOB的大小就是二面角的大小就是二面角 a a-l-b b 的大小的大小.二面角的大小就由它的平面角确定二面角的大小就由它的平面角确定.ABO卫星轨道平面卫星轨道平面68.5我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5.赤道平面赤道平面即卫星轨道平面与赤道即卫星轨道平面与赤道平面所成的二面角是平面所成的二面角是68.5 . 问题问题 2. 如图如图, ABC和和DBC是空间的两个等边是空间的两个等边三角形三角形, ABD和和ACD是二面角是二面角 A- -BC- -D的平面角的平面角吗吗? 如果不是如果不是, 你能找出

43、它的一个平面角吗你能找出它的一个平面角吗? 答答: ABD和和ACD都不是二都不是二面角面角A- -BC- -D的平面角的平面角, 因为它们因为它们的边与二面角的棱的边与二面角的棱BC不垂直不垂直.取取BC的中点的中点E, 连结连结AE、DE, AED就是二面角就是二面角A- -BC- -D的平面角的平面角.则则AEBC, DEBC,ABCDEABCDA1B1C1D1 问题问题3. 如图如图, 正方体正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为的棱长为 a, 怎样计算二面角怎样计算二面角 A1-BD-C1 的大小的大小.解解: 取取 BD 的中点的中点 O,连结连结 A1O, C1O.A1B=

44、 =A1D, C1B= =C1D,OA1OBD, C1OBD,则则A1OC1 就是二面角就是二面角A1-BD-C1 的平面角的平面角.连结连结 A1C1.可算出可算出 A1C1O 的边的边A1C1, A1O, C1O.以后学了余弦定理即可解得以后学了余弦定理即可解得A1OC1.E也可作也可作A1C1的高的高OE, 在直角三角形中求角在直角三角形中求角. 例例(补充补充). 如图如图, 在四棱锥在四棱锥 P-ABCD 中中, AB/DC, ABBC, PC平面平面ABCD, PC= =CB= =BA= =2, DC= =4, 求二面角求二面角P-AD-C 的正切值的正切值.分析分析: 目标目标:

45、在平面在平面 PAD 内找内找 AD 的垂线的垂线,在平面在平面 ABCD 内找内找 AD 的垂线的垂线.凭直观凭直观, 考查图中已有的角考查图中已有的角,找二面角找二面角P-AD-C 的平面角的平面角.线线, 点等点等.PD, CDAD 否否? 不垂直不垂直.PA, BAAD 否否?BA与与AD不垂直不垂直.则考虑连结则考虑连结 AC, 得得ACD= =45 ,如果如果ACAD, 需需CDA= =45 .在底面梯形中可求得在底面梯形中可求得CDA= =45 .ABCDP 例例(补充补充). 如图如图, 在四棱锥在四棱锥 P-ABCD 中中, AB/DC, ABBC, PC平面平面ABCD,

46、PC= =CB= =BA= =2, DC= =4, 求二面角求二面角P-AD-C 的正切值的正切值.解解:PC= =CB= =BA= =2, DC= =4,ABCDPABCE 是正方形是正方形.E取取 DC 的中点的中点 E, 连结连结 AE, AC.得得 AEDC, AE= =DE,ADAC.PC平面平面ABCD,则则 ADE= =45 .PCAD.ABBC,又又ACD= =45 ,则则 AD平面平面 PAC,得得 ADPA.则则PAC为二面角为二面角P-AD-C 的平面角的平面角.在底面求得在底面求得 AC= =, 22tanPAC= =222.22= =练习练习(补充补充) 1. 在正方

47、体在正方体ABCD- -A B C D 中中, 求二面角求二面角 A- -B C- -B的正切值的正切值.ABCDA B C D 2. 30 的的二面角的一个半平面二面角的一个半平面内有一点内有一点 P, 这点这点到棱的距离为到棱的距离为 h, 求点求点 P 到另一个半平面的距离到另一个半平面的距离. 1. 在正方体在正方体ABCD- -A B C D 中中, 求二面角求二面角 A- -B C- -B的正切值的正切值.ABCDA B C D G解解: 连接连接 BC 交交 B C 于于 G,连结连结AG,ABB C,则则 BGB C.得得 B CAG.B C平面平面ABG.AGB 为二面角为二

48、面角 A-BC-B 的平面角的平面角.在在RtABG中中,则则 BG = =设设 AB= =1,22BGABAGB= = tan . 2= = 2. 30 的的二面角的一个半平面二面角的一个半平面内有一点内有一点 P, 这点这点到棱的距离为到棱的距离为 h, 求点求点 P 到另一个半平面的距离到另一个半平面的距离.解解:PQl 于于Q,作作 POb b, O b b,连结连结 OQ.则则 PQO= =30.PQO是二面角的平面角是二面角的平面角.在在RtPOQ中中, PO= =则则 PQl.b blQa aPO如图如图, 二面角二面角a a- -l- -b b 是是30 .P a a,PQ=

49、=h. l平面平面 POQ,PQ21.21h= =即点即点 P 到到 b b 的距离是的距离是.21h则则 lOQ.【课时小结课时小结】1. 二面角二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做形叫做二面角二面角. 这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱, 这这两个半平面叫做二面角的两个半平面叫做二面角的面面.a ab blABPQ记作记作 二面角二面角 a a- -l- -b b,二面角二面角 a a- -AB- -b b,二面角二面角 P- -l- -Q,二面角二面角 P- -AB- -Q.【课时小结课时小结】2. 二面角的平面角二面角的平面角

50、 以二面角的以二面角的棱上棱上任意任意一点一点为端点为端点, 在在两个两个半平面内半平面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线的两条射线, 这两条这两条射线所成的角叫做射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定二面角的大小由它的平面角确定.a ab blABOa ab blABO AOB 是二面角是二面角 a a-l-b b 的平面角的平面角.【课时小结课时小结】3. 求二面角的大小求二面角的大小(1) 找到二面角的两个半平面与棱找到二面角的两个半平面与棱.(2) 找二面角的平面角找二面角的平面角. 在两个半平面内找垂直于棱的直线在两个半平面内找垂直于棱的直线

51、, 垂足垂足为棱上同一点为棱上同一点.常用到线线垂直与线面垂直转换常用到线线垂直与线面垂直转换.(3) 通常在直角三角形中求平面角的大小通常在直角三角形中求平面角的大小.习题习题 2.3A 组组第第 4、7 题题. 4. 如图如图, 三棱锥三棱锥 V-ABC中中, VA= =VB= =AC= =BC= =2, AB= = VC= =1, 试画出二面角试画出二面角 V-AB-C 的平面角的平面角, 并求它的度数并求它的度数., 32VBCA解解: 取取AB的中点的中点D,连接连接 VD, CD,D而而 VA= =VB= =AC= =BC= =2,VDAB, CDAB,则则VDC就是二面角就是二面

52、角V-AB-C的平面角的平面角.而而, 32= =AB则由勾股定理求得则由勾股定理求得 VD= =CD= =1,又又 VC= =1,VCD是等边三角形是等边三角形, VDC= =60 ,即二面角即二面角 V-AB-C 的大小为的大小为60 . 7. 如图如图, 正方体正方体ABCD-A B C D 中平面中平面ABC D 与与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少?ABCDA C D B 解解:与上底面所成二面角与上底面所成二面角的平面角是的平面角是 B C B= =45 .与下底面所成二面角的与下底面所成二面角的平面角是平面角是 C B C

53、= =45 .与前面所成二面角的与前面所成二面角的平面角是平面角是B BC = =45 .与后面所成二面角的与后面所成二面角的平面角是平面角是BC C = =45 .平面平面AC 过左、右面的垂线过左、右面的垂线AB,所以与左、右面成所以与左、右面成90 的二面角的二面角.2.3.2平面与平面垂直的判定第二课时第二课时返回目录返回目录1. 平面与平面垂直是怎样定义的平面与平面垂直是怎样定义的? 2. 两平面垂直的判定定理的内容是什么两平面垂直的判定定理的内容是什么? 证明两平面垂直需要哪些条件证明两平面垂直需要哪些条件?平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角. 问题问

54、题3. 观察教室中的物体观察教室中的物体, 哪些二面角是直二哪些二面角是直二面角面角?【3】两个平面垂直的定义两个平面垂直的定义 一般地一般地, 两个平面相交两个平面相交, 如果它们所成的二如果它们所成的二面角是直二面角面角是直二面角, 就说就说这两个平面互相垂直这两个平面互相垂直.平面平面 a a 与平面与平面 b b 垂直垂直, 记作记作: a ab b. 画两个平面垂直画两个平面垂直, 一般应把直立平面的竖边画成一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直和水平平面的横边垂直.a ab ba ab b 问题问题3. 请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面,

55、再用书面或硬纸板紧靠铅笔再用书面或硬纸板紧靠铅笔, 请问请问: 书面与桌面构成书面与桌面构成直二面角吗直二面角吗? 书面与桌面是否垂直书面与桌面是否垂直?两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面则这两个平面垂直垂直.符号表示符号表示:a ab blla a,l b b, b ba a. .【4】两个平面垂直的判定两个平面垂直的判定 例例3. 如图如图, AB是是 O的直径的直径, PA垂直于垂直于 O所在所在的平面的平面, C 是圆周上不同于是圆周上不同于 A, B 的任意一点的任意一点. 求证求证:平面平面 PAC平

56、面平面 PBC.OABCP解解: AB是是 O的直径的直径,又又C是是 O上的点上的点, ACBC,又又 PA圆面圆面, BC 圆面圆面, PA BC,得得 BC平面平面PAC,而而 BC 平面平面PBC,平面平面PBC平面平面PAC. 探究题探究题. 如图如图, 已知已知AB平面平面BCD, BCCD,你能发现哪些平面互相垂直你能发现哪些平面互相垂直, 为什么为什么?DBCA过过AB的平面与底面垂直的平面与底面垂直:平面平面ABC平面平面BCD,平面平面ABD平面平面BCD.又又 BCCD,而由而由AB平面平面BCD得得 CDAB,CD平面平面ABC,过过CD的平面垂直平面的平面垂直平面AB

57、C:平面平面ACD平面平面ABC,平面平面BCD平面平面ABC (上面已有上面已有).练习练习: (补充补充) 1. 如图如图, 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1 (侧棱垂直底面侧棱垂直底面) 中中, ACB= =90 , 求证求证: 平面平面 A1BC平面平面A1ACC1.A1B1C1ABC 2. 在正方体在正方体ABCD- -A1B1C1D1中中, E, F 分别是分别是AB, A1A 的中点的中点. 求证求证: 平面平面 BCE平面平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EF 1. 如图如图, 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1 (侧棱垂直底面侧棱垂直底面) 中中, ACB

58、= =90 , 求证求证: 平面平面 A1BC平面平面A1ACC1.A1B1C1ABC证明证明: ABC-A1B1C1是直三棱柱是直三棱柱,BCCC1.又又ACB= =90 BCAC, BC平面平面A1ACC1.平面平面 A1BC平面平面A1ACC1.BC 平面平面A1BC, 2. 在正方体在正方体ABCD- -A1B1C1D1中中, E, F 分别是分别是AB, A1A 的中点的中点. 求证求证: 平面平面 BCF平面平面B1C1E.证明证明: E, F 分别是分别是 AB,A1A 的中点的中点.在正方形在正方形 ABB1A1中中, B1C1 平面平面BAA1B1, B1C1BF.由由得得

59、BF平面平面B1C1E,平面平面 BCF平面平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EFBF 平面平面BAA1B1,BF 平面平面BCF,B1EBF.【课时小结课时小结】1. 两平面垂直的定义两平面垂直的定义2. 两平面垂直的判定定理两平面垂直的判定定理 两个平面相交成直二面角时两个平面相交成直二面角时, 称这两个称这两个平面互相垂直平面互相垂直. 一个平面过另一个平面的垂线一个平面过另一个平面的垂线, 则这两则这两个平面垂直个平面垂直.a ab blla a,l b b, b ba a. .习题习题 2.3A 组组第第 1、3、6 题题.B 组组第第 1 题题.习题习题 2.3A 组组 1.

60、 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确, 正确的说明理由正确的说明理由, 错误的举例说明错误的举例说明: (1) 平面平面 a a平面平面 b b, 平面平面 b b平面平面 g g 平面平面 a a平面平面 g g; (2) 平面平面 a a /平面平面 a a1, 平面平面 b b /平面平面 b b1, 平面平面 a a平面平面 b b 平面平面 a a1平面平面 b b1.解解: (1) 错错, 如图如图.b bg ga a(2) 对对.a ab b, ,a a /a a1,a a1b b;b b /b b1,a a1b b1. 3. 如图如图, 在三棱锥在三棱锥 V-ABC 中中