相似矩阵及二次型

1、线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院1线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院2 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义但是只定义了线性运算了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了它们构成了三维空间丰富的内容三维空间丰富的内容.5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性我们希望把这两个概念推广到我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中维向量空间中. 在解析几何中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积我们曾定义了向量的内积(数量积数量积),cos(yxyxyx 建立标准的直角

2、坐标系后建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积可用向量的坐标来计算内积设设TTyyyyxxxx),(,),(321321 则则332211yxyxyxyx 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院3维向量维向量设有设有nTnTnyyyyxxxx),(,),(2121 xyyxyxyxyxyxTTnn 2211, 令令 . ,的的与与为为向向量量称称yxyx内积内积线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院4;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx有有时时且当且当著名的著名的Cauchy-Schwarz不等式不等式,2yyx

3、xyx 即即 niiniiniiiyxyx121221线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院5非负性非负性. 1齐次性齐次性. 2三角不等式三角不等式. 3,22221nxxxxxx . 或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx (三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证不等式易证,见见P114)线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院6 . ,11为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx ,arccos,0,02 时时当当 的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角夹角. ,0,yxyx

4、与与称向量称向量时时当当 正交正交. 显然, 0 与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若xx 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院7 若一个不含零向量的向量组若一个不含零向量的向量组 中的中的向量两两正交向量两两正交 ，则称该向量组为，则称该向量组为正交向量组正交向量组又如果这些向量都是单位向量又如果这些向量都是单位向量 ,则称该向量组为则称该向量组为规范正交向量组规范正交向量组. 若该向量组是一个向量空间若该向量组是一个向量空间 V 的基的基, 又分别称又分别称为向量空间为向量空间 V 的的正交基正交基和和规范正交基规范正交基. )(0,jiji r ,211 i 线性代数线性代数河南

5、工程学院河南工程学院8, 0021111 T由由.01 从而有从而有. 02 r 同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故故r 使使设有设有又又r ,2102211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T ,r21 设设 是正交向量组是正交向量组正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院9例例100200032132121 AxxxxxxxxxTT 解解这相当于要求方程组的非零解这相当于要求方程组的非零解 12111121TTA 求得基础解系求得基础解系(即为所求即为所求)为为 1013 121,11121 已知已知 中两个正交向量中

6、两个正交向量3R试求试求 使使 构成构成3 321 ,的一个正交基的一个正交基.3R线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院10例例2(例例1的一般化的一般化, 也称也称正交基的扩张定理正交基的扩张定理) 设设 是是 中的一个正交向量组中的一个正交向量组, ,证明必可找到证明必可找到 个向量个向量 使使 构成构成 的正交基的正交基.r ,21nRnr rn nr ,1 n ,21nR都正交都正交. 只需证必可找到只需证必可找到 使使 与与 01 r 1 r r ,21记记 TrTA 1nrAr )(0 Ax必有非零解必有非零解.其任一非零解即为所求的其任一非零解即为所求的1 r 线性代数线性代

7、数河南工程学院河南工程学院11 设设 是一组线性无关的向量是一组线性无关的向量, 它就是它它就是它生成的向量空间生成的向量空间r ,21),(21rL的一个基的一个基(坐标系坐标系), 如何在向量空间如何在向量空间 L 中建立正交的中建立正交的基基(坐标系坐标系)?这个问题就是这个问题就是找与找与 等价的正交向量组等价的正交向量组r ,21r ,21线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院12以三个向量以三个向量 为例为例, 从几何直观上去求从几何直观上去求.321, 1122 1 2 11 1 2 11 上式两边与上式两边与 做内积做内积, 注意注意 得得1 0,21 ,11211从而从而1

8、112122, 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院13我们已求得我们已求得 已正交已正交, 再求构造再求构造21, 3 1 2 3 11 22 2211 3 )1(221133 (1)式两边与式两边与 内积内积, 注意注意1 0,3121 ,11311 得得(1)式两边再与式两边再与 内积内积, 类似可得类似可得2 ,22322 222321113133, 从而从而线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院1411 ,1112122 111122221111, rrrrrrrrr 222321113133, 施密特正交化方法施密特正交化方法设设 线性无关线性无关r ,21令令则则 两两正交

9、两两正交, 且与且与 等价等价.r ,21r ,21?111/ 222/ rrr / 是与是与r ,21等价的规范正交组等价的规范正交组线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院15 两两正交两两正交, 可用数学归纳法严格证明可用数学归纳法严格证明.r ,21与与 等价等价, 这是因为这是因为(只需看三个只需看三个)r ,2111 11222 r 32231133 rr11 21122 r22311333 rr 100101,231312321321rrr 1231312321321100101, rrr 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院16例例3TTTaaa)1, 1 , 5 , 3(

10、,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1 , 1 , 1(321 Tab1 , 1 , 1 , 111 1112122,bbbabab TT1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 T3 , 1, 2, 0 求求 的一个规范正交基的一个规范正交基, 并求向量并求向量),span(321aaa222321113133,bbbabbbbabab TTT3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 T0 , 2, 1 , 1 解解 易知易知 线性无关线性无关, 用施密特正交化方法用施密特正交化方法 321,aaa再单位化再单位化 1

11、11121111bb 3120141222bb 021161333bb Taaa)4 , 2 , 5 , 5(321 在该规范正交基下的坐标在该规范正交基下的坐标.线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院17 当建立规范正交基当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系相当于标准直角坐标系)后后, 求一个向量求一个向量的坐标就特别方便的坐标就特别方便332211 两边分别与两边分别与 内积内积321, ,332211 (这里就不具体计算了这里就不具体计算了)线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院18定理定理A 是正交矩阵是正交矩阵EAAT TAA 1A 的列组是规范正交组的列组是规范正交组A 的行

12、组是规范正交组的行组是规范正交组 ,为为则称则称满足满足阶方阵阶方阵若若AEAAAnT 正交矩阵正交矩阵.线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院19EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111 njijijiijjTi, 2 , 1, 0, 1 当当当当 ,21nA 记记EnTnTT ,2121 EAAT 证证 (只证第三条只证第三条)线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院20(1) A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 和和 都是正交矩阵；都是正交矩阵；1 A A(2) A，B都是正交矩阵，则都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；也是正交矩阵；(3) A是正交矩阵，则是正交矩阵，则

13、；1 A(4) P是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ，nRxxPx ,即正交变换保持向量的长度不变。即正交变换保持向量的长度不变。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院21线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院225.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵 P 使使(1)式成立式成立, 此时称方阵此时称方阵 A 是是可可(相似相似)对角化的对角化的. ,11nP 记记, 则则,)1(1111nnA 1 2 n ), 1(niAiii 本章主要讨论本章主要讨论: 对于方阵对于方阵 A 能否找到能否找到(如何找如何找)可逆矩阵可逆矩阵 P APP1 1

14、2 n (1)使得使得 满足上式的满足上式的 称为称为 A 的的特征值特征值, 称为称为 A 的对应于特的对应于特征值征值 的的特征向量特征向量. i i i 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院23满足满足设设 A 是是 n 阶方阵，如果数阶方阵，如果数 和和 n 维维非零非零列向量列向量 x )1(xAx 则称则称 为为 A 的的特征值特征值，非零向量，非零向量 x 称为称为 A 的对应于的对应于( (或属于或属于) )特征值特征值 的的特征向量特征向量。 )2(0)( xAE 把把(1)改写为改写为 是是 A 的特征值的特征值0 AE 使得使得(2)有非零解有非零解 (2)的所有非零

15、解向量都是对应于的所有非零解向量都是对应于 的特征向量的特征向量. 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院24nnnnnnaaaaaaaaaAEf 212222111211)(nnnnnnncccc)1()1(112211 (注：第一章已求得注：第一章已求得 ， )nnaaac 22111Acn 称为称为 A 的的特征多项式特征多项式，而，而 称为称为 A 的的特征方程特征方程。0)( AEf 由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根个根(重根按重根按重数计算重数计算)。因此，。因此，n 阶方阵在复数范围恰有阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值。个

16、特征值。 本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。进行。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院25nnnaaa 221121)1( An 21)2()()()(21nAEf 设设 n 阶方阵阶方阵 特征值为特征值为)(ijaA n ,21, 则则nnnnn 21121)1()( Aaaannnnn)1()(12211 又又线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院26例例1求矩阵求矩阵 的特征值的特征值. 0110A01112 AE两个特征值为两个特征值为1,121 问问: 特征向量是实的还是复的特征向量是实的还是复的?线性代数

17、线性代数河南工程学院河南工程学院27例例2 nnnnaaaaaa22211211 A求求 A 的特征值的特征值. AE nnnnaaaaaa 222112110)()(2211 nnaaa 因此因此, n 个特征值为个特征值为nnnaaa ,222111问问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院28 122113221B例例3 966636663A求矩阵求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。966636663 AE解解 （对矩阵（对矩阵A） 1016366633 100630663331 cc 0332 3

18、0363666313 rr线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院293, 3321 A 的特征值为的特征值为对于对于 ，解方程组，解方程组31 0)(1 xAE 000110101126660666031AEAE 3231xxxx同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系13 xT)1, 1 , 1(1 因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为1 )0(111 kk 966636663A线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院30对于对于 ，解方程组，解方程组332 0)(2 xAE 00000011166666666632AEAE 同解方程组

19、为同解方程组为 ，令，令321xxx 得基础解系得基础解系 10,0132xx,)0 , 1, 1(2T T)1, 0 , 1(3 因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为332 3322 kk ),(32不同时为零不同时为零kk 966636663A线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院31（对矩阵（对矩阵B） 122113221B122113221 BE123113223321 ccc 30013022131211112213 0332 3, 3321 B 的特征值为的特征值为线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院32对于对于 ，解方程组，解方程组31 0

20、)(1 xBE 00011010142214322431BEBE 3231xxxx同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系13 xT)1 , 1 , 1(1 因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为1 )0(111 kk 122113221B线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院33对于对于 ，解方程组，解方程组332 0)(2 xBE 00021010122212322232BEBE 32312xxxx同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系13 xT)1 , 2, 1(2 因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特

21、征向量为的所有特征向量为332 )0(222 kk 122113221B线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院34(1) 向量向量 满足满足 , 0 A0 是是 A 的特征向量吗？的特征向量吗？(2) 实矩阵的特征值实矩阵的特征值(特征向量特征向量)一定是实的吗一定是实的吗?(3) 矩阵矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值可逆的充要条件是所有特征值_。nAAE 210 或或，A 有一个特征值为有一个特征值为_。0 EA(4) ，A 有一个特征值为有一个特征值为_。0 AEA 可逆可逆, A 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院35(6) 一个特征值

22、对应于几个特征向量一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值一个特征向量对应几个特征值?(后面证明后面证明)(7) A 的各行元素之和均等于的各行元素之和均等于2,则则 A 有一个特征值有一个特征值是是_, 它对应的特征向量是它对应的特征向量是_。 1112222111333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa(5) A 的特征值与的特征值与 的特征值有什么关系？的特征值有什么关系？TATTAEAEAE )(特征向量的个数特征向量的个数=_。 是是 的一个特征值，它对应的最大无关的的一个特征值，它对应的最大无关的0

23、 nnA )r(0AEn 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院36例例4证明：一个特征向量只能对应一个特征值。证明：一个特征向量只能对应一个特征值。证证 假设假设 A 的特征值的特征值 和和 对应的特征向量都是对应的特征向量都是1 2 则则 21 A0)(21 210 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院37例例5设设 是方阵是方阵 A 的特征值，对应的一个特征向量的特征值，对应的一个特征向量 xxkxkAxAx)()()1( xxAxxAAxAxA22)2( 证明证明 (1) 是是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。 k(2) 是是 的特征值，对应的

24、特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。2 2A(3) 当当 A 可逆时，可逆时， 是是 的特征值，对应的的特征值，对应的1 1 A特征向量仍为特征向量仍为 x。证证 xxAxAxAAxA 1)3(1111 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院38：设设 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， 则则 是是 的特征值。的特征值。k kAmmaaaa 2210)(mmAaAaAaEaA 2210)( 的特征值。的特征值。如果如果 A 可逆，则可逆，则mmkkaaaaa 1011)(mmkkAaAaEaAaAaA 1011)( 的特征值。的特征值。是是是是线性代数线性代数河南工程学院河南工

25、程学院39例例6设设3阶矩阵阶矩阵A的三个特征值为的三个特征值为2 , 1, 1 求求EAA23 解解 A的特征值全不为零，故的特征值全不为零，故A可逆。可逆。112 AAAA, 2321 AEAAEAAA23223)(1 的三个特征值为的三个特征值为)3 , 2 , 1(232)(1 iiii 计算得计算得3)2(, 3)1(, 1)1( 93)3()1(23 EAA因此，因此，线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院40例例7，设设OEAA 232证明证明A的特征值只能取的特征值只能取1或或2.设设 是是A的特征值，则的特征值，则 EAAA23)(2 的特征值为的特征值为23)(2 由于由

26、于 是零矩阵，其特征值全是零，故是零矩阵，其特征值全是零，故)(A 21023)(2 或或线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院41线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院425.3 相似矩阵相似矩阵设设A，B都是都是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵P，使，使BAPP 1则称则称B是是A的的相似矩阵相似矩阵，或说矩阵，或说矩阵A与与B相似。对相似。对A进行进行运算运算 称为对称为对A进行进行相似变换相似变换，可逆矩阵，可逆矩阵P称为称为把把A变成变成B的相似变换矩阵。的相似变换矩阵。APP1 定义定义 特别地，如果特别地，如果A与对角矩阵相似，则称与对角矩阵相似，则称A是是可对可对

27、角化的角化的。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院43性质性质)tr()tr(BA (1) 相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系;(2) A与与B相似相似, 则则r(A)=r(B);(3) A与与B相似相似, 则则 ; 从而从而A与与B有相同的特征值有相同的特征值;(4) A与与B相似相似, 则则 ;(5) A与与B相似相似, 则则 ;(6) A与与B相似相似, 则则 与与 相似相似; 其中其中(7) A与与B相似相似, 且且A可逆可逆, 则则 与与 相似。相似。BEAE BA )(A )(B 1 A1 Bmmtataat 10)( 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院44例例

28、1 xA10100002 12yB(1) 与与相似，相似，求求x与与y和和A的特征值。的特征值。 11322002aA bB21(2) 与与相似，相似，求求a与与b。解解 (1) , )tr()tr(BA BA yyx22122 10yxA的特征值等于的特征值等于B的特征值为：的特征值为：1,1,2 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院452 ba2, 0 ba(2)2)tr()tr( baBA2 baBAAaAAEfA )4()(tr)(23BEfB )(BbB )2()(tr23 11322002aA bB21线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院46,21nP 记记,2121nnA

29、 1 2 n ), 1(niAiii APP1 1 2 n 下面讨论对角化的问题下面讨论对角化的问题PAP 1 2 n 这说明这说明：如果：如果A可对角化，它必有可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，就是就是P的的n个列；反之，如果个列；反之，如果A有有n个线性无关的特征向量，把它个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵拼成矩阵P(可逆可逆)，把上面过程逆过来即知，把上面过程逆过来即知A可对角化。可对角化。,221121nnnAAA n阶矩阵阶矩阵A可对可对角化的充要条角化的充要条件是件是A有有n个线个线性无关的特征性无关的特征向量。向量。线性代数线性代数河南工程学院河南工程

30、学院47 不同特征值对应的线性无关的特征向量不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。合并以后仍是线性无关的。即设即设 是矩阵是矩阵A的不同的特征值，的不同的特征值，t ,21又设又设 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为1 )1(1)1(2)1(1,i 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为2 )2(2)2(2)2(1,i 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为t )()(2)(1,tittt )()(1)2(2)2(1)1(1)1(1,tittii 则则仍是线性无关的。仍是线性无关的。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院48)1(0)2(22)2(11 iill

31、 )1(11)1(11iikk 证证 (只证两个不同特征值的情况只证两个不同特征值的情况)设设上式两边左乘上式两边左乘 A 得得)2(0)()2(22)2(112 iill )()1(11)1(111iikk )2()1(2 0)()1(11)1(1112 iikk 再由再由 线性无关得线性无关得)1(1)1(2)1(1,i 011 ikk类似可得类似可得021 ill由假设由假设 得得 21 0)1(11)1(11 iikk 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院49 n 阶矩阵阶矩阵 A 如有如有 n 个不同的特征值，则它个不同的特征值，则它有有 n 个线性无关的特征向量，从而个线性无关

32、的特征向量，从而 A 一定可对角化。一定可对角化。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院50例例1 966636663A(续第续第2节例节例3, 首先看矩阵首先看矩阵A)AE 233 , 31 332 321, 线性无关，线性无关，由上面定理，由上面定理，求特征值求特征值 求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量， 即求即求 的基础解系的基础解系0)( xAEi T)1, 1 , 1(1 31 ,)0 , 1, 1(2T T)1, 0 , 1(3 332 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院51 如有如有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵把它们拼成矩阵P(P可逆

33、可逆)令令 101011111,321 P 写出对角化形式写出对角化形式则则 3331APP问问： 如果如果,312 P令令 3331APP，则，则对吗？对吗？线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院52 122113221BBE 233 31 T)1 , 1 , 1(1 332 T)1 , 2, 1(2 (这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量) 对于矩阵对于矩阵B 不存在三个线性无关的特征向量。因为对不存在三个线性无关的特征向量。因为对B的任的任何一个特征向量何一个特征向量 , 要么是属于要么是属于 的的, 此时与此时与 相关；要么是相关；要么是属

34、于属于 的的, 此时与此时与 相关。相关。3 1 2 1 2 因此，因此，B是不可对角化的。是不可对角化的。(再看矩阵再看矩阵B)线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院53tntnnAEf)()()()(2121 ), 2 , 1()r(tiAEnsii 设设 的所有不同的特征值为的所有不同的特征值为t ,21nnA 则则), 2 , 1(1tinsii 注注： 就是就是 的重根数，称之为的重根数，称之为 的的(代数代数)重重数数， 就是就是 对应的最大无关特征向量的个数，称对应的最大无关特征向量的个数，称之为之为 的的几何重数几何重数。ini i isi i 该定理说明：该定理说明：。如果

35、是单。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院54证证 (参考参考)1 设设 对应的最大无关特征向量为对应的最大无关特征向量为1,21s 把上面特征向量扩充为把上面特征向量扩充为 n 个线性无关的向量。个线性无关的向量。ns ,121则则 可逆。可逆。,21nP APP11s C1 1 O因因C与与A特征值相同，而上式说明特征值相同，而上式说明 C 有特征值有特征值 ，其，其重数重数 至少是至少是 。即。即1 1n1s11ns 。证毕。证毕。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院55tntnnAE

36、f)()()()(2121 ), 2 , 1()r(tiAEnsniii n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A的每个的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。特征值的代数重数等于它的几何重数。即：即： 设设t ,21互不同，此时互不同，此时nnnnt 21), 2 , 1()r(tinnAEii 或或则则 A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是亦即：亦即： 的重数的重数 恰好等于它对应的最大无关特征恰好等于它对应的最大无关特征i in向量的个数。向量的个数。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院56), 2 , 1()r(tiAEnsniii 证证 (充分性充分性)

37、设设个，它们仍是线性无关的，故可角化。个，它们仍是线性无关的，故可角化。把每个把每个 对应的最大无关特征向量合并后，共有对应的最大无关特征向量合并后，共有i nnnnssstt 2121(必要性必要性) 设设A可对角化可对角化 APP1 1 1 2 2 t t 2n1n线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院57APPEPAEP1111)( 0021 21 t 1t 11n01 个个nn 1111)(r)r(nnPAEPAE 111)r(sAEnn 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院58例例2 00111100 xA问问 x 为何值时，为何值时，A 可对角化？可对角化？ 11)1(011

38、110 xAE2)1)(1( 11 是单重根，恰有一特征向量是单重根，恰有一特征向量(不需讨论不需讨论)。132 是二重根，是二重根，A可对角化可对角化123)r(2 AE 00010010110101101xxAE1 x线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院59例例3100,340430241AA求求 提示：提示：A 可对角化可对角化 5511APP.,)(312112 APPPPPPA1 PPA线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院60线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院615.4 (实实)对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵不同特征值对应的特征向量对称矩阵不同特征值对应的特征

39、向量必正交。必正交。对称矩阵的特征值必为实数。对称矩阵的特征值必为实数。从而特征向量可取到实的。从而特征向量可取到实的。证证21222111, AA21121111, TTTTAA 0)(,2112211212 TTT021 T线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院62对称矩阵必可正交对角化。对称矩阵必可正交对角化。即设即设A是对称矩阵，则存在正交矩阵是对称矩阵，则存在正交矩阵Q使得使得 AQQAQQT1 1 2 n 对称矩阵特征值的重数必等于其对称矩阵特征值的重数必等于其对应的最大无关特征向量的个数。对应的最大无关特征向量的个数。iiiinnAEAEnn )r()r( 线性代数线性代数河南

40、工程学院河南工程学院63例例1 011101110A把对称矩阵把对称矩阵 正交对角化。正交对角化。:求特征值。求特征值。 1111011111111|21 rrAE 1111011)1( 21111001)1( 2)1)(2( , 21 132 (特征值必都是实数特征值必都是实数)线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院64:求线性无关的特征向量。求线性无关的特征向量。对对 ，解方程组，解方程组21 0)2( xAE?)2r( AE求得基础解系求得基础解系(即无关特征向量，即无关特征向量，几个向量？几个向量？) 1111 0001101012111211122AEr线性代数线性代数河南工程学院

41、河南工程学院65132 对对 ，解方程组，解方程组0)( xAE?)r( AE 000000111111111111AEr求得基础解系求得基础解系(即无关特征向量，即无关特征向量，几个向量？几个向量？) 101,01132 1111 前面的前面的?,21 ?,31 ?0,32 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院66:检验重特征值对应的特征向量是否正交，检验重特征值对应的特征向量是否正交， 如果不正交，用施密特过程正交化，再把如果不正交，用施密特过程正交化，再把 正交的特征向量单位化。正交的特征向量单位化。 101,01132 22 2112110121011,2223233 ?0,312

42、132 检查检查还是特征向量吗？还是特征向量吗？32, 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院67:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化：单位化： 11131111 01121222 21161333 则则 1121APPAPPT令令 ,3, 21 P 62316121316121310线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院68例例2设设3阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为, 3, 6321 与特征值与特征值 对应的特征向量为对应的特征向量为61 ,)1 , 1 , 1(1Tp 求求A。提示提示：设对应于：设对应于 的无关特征向量为的无

43、关特征向量为332 ,21pp则则, 0, 03121 ppppTT说明说明21, pp是方程组是方程组)1(01 xpT的两个无关的解的两个无关的解(基础解系基础解系)，因此，上面方程组的，因此，上面方程组的任意两个无关的解都是对应于任意两个无关的解都是对应于 的特征向量。的特征向量。32 解解(1)可求得可求得 再正交化单位化构成正交矩阵再正交化单位化构成正交矩阵Q,32ppTTQQAAQQ 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院69线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院705.5 二次型其次标准形二次型其次标准形引言引言判别下面方程的几何图形是什么？判别下面方程的几何图形是什么？)1

44、(103222 yxyx6,)cos()sin()sin()cos( yxyyxx作旋转变换作旋转变换代入代入(1)左边，化为：左边，化为：12041021252222 yxyx见下图见下图线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院71xyxy线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院72 3223311321122333222221113212 22 ,xxaxxaxxaxaxaxaxxxf 称为称为n维维(或或n元元)的的二次型二次型.nxxx,21含有含有n个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数)(ijjiaa njijiijnxxaxxxf1,21,三维的二次型为三维的二次型为再改写：

45、再改写：关于二次型的讨论永远关于二次型的讨论永远在实数范围内进行！在实数范围内进行！线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院73 31,321,jijiijxxaxxxf 3131ijjijixax 31332211)(iiiiixaxaxax 333232131323222121313212111321,xaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx 321333231232221131211321,xxxaaaaaaaaaxxx对称对称线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院74一般地，对于一般地，对于n维的二次型维的二次型)(ijjiaa njijiijnxxaxxxf1,21,AxxT 上

46、式称为上式称为二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示。也常记为。也常记为 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,(对称对称)其中其中AxxfAxxxfTT 或或)(线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院75 任给一个对称矩阵任给一个对称矩阵A，令，令 可唯一地可唯一地确定一个二次型确定一个二次型AxxxfT )(AxxxfT )( 反之，任给一个二次型反之，任给一个二次型 f 可找到对称矩阵可找到对称矩阵A使得使得. 而且对称矩阵而且对称矩阵A是唯一是唯一.因为因为, 设设 xTAx = xTBx (A,B都是对称矩阵都是对称矩阵), 即即(以三维为例以三维为例)

47、3223311321122333222221112 22xxaxxaxxaxaxaxa 3223311321122333222221112 22xxbxxbxxbxbxbxb 令令 类似类似,)0 , 0 , 1(1111baxT 33332222,baba 令令121212221112221122)0 , 1 , 1(babbbaaaxT 23231313,baba 类似类似线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院76对称矩阵对称矩阵A叫做叫做二次型二次型 f 的矩阵的矩阵;f 叫做叫做对称矩阵对称矩阵A的二次型的二次型;对称矩阵对称矩阵A的秩叫做的秩叫做二次型二次型 f 的秩的秩.记作记作

48、r(f).二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系系这说明：这说明：AxxxfT )(线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院77例例1写出下面二次型写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求的矩阵表示，并求 f 的秩的秩r(f)。解解3231213322211410695xxxxxxxxxf AxxxxxxxxT 321321975753531,BxxxxxxxxxxxfT 321321321987654321,),(2)r()r( Af： 在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A对称对称, A唯一吗唯一吗?AxxfT 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院

49、78只含平方项的二次型只含平方项的二次型2222211nnxkxkxkf nnnxxkkxx111,称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式或法式)。平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形0 , 1, 1 221221rppxxxxf (：这里规范形要求系数为：这里规范形要求系数为1的项排的项排在前面，其次排系数为在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。的项。与书上略有不同。)称为二次型的称为二次型的规范形规范形。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院79 )1(,1,21 njijiijnxxaxxxf对给定的二次型对给定的二次型找可逆的线性变换找可逆的线性变

50、换(坐标变换坐标变换)： nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111)(可逆可逆其中其中ijcC 代入代入(1)式，使之成为标准形式，使之成为标准形2222211nnykykykf 称上面过程为称上面过程为化二次型为标准形化二次型为标准形。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院80：AxxxfT )(Cyx 可逆可逆C)()(CyACyTyACCyTT)( DyyT (其中其中D为对角矩阵为对角矩阵)注意到注意到 与与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故阵是一一对应关系，故“化二次型为标

51、准形化二次型为标准形”又等价又等价于于ACCT对给定的对称矩阵对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵，找可逆矩阵C，使，使为对角矩阵为对角矩阵DACCT ：这件事情能够做到吗？以前学过吗？：这件事情能够做到吗？以前学过吗？线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院81 总有总有任给二次型任给二次型,1,jiijnjijiijaaxxaf ,2222211nnyyyf .)(,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 化为标准形化为标准形使使正交变换正交变换fPyx, 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院82用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型为标准形的步骤;)( . 1

52、一一定定是是对对称称的的的的矩矩阵阵求求二二次次型型Af; ),diag( . 221其方法同上一节其方法同上一节使使求正交矩阵求正交矩阵nTAPPP . , . 32211nnyyffyPx 的的标标准准形形为为则则得得作作正正交交变变换换线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院83例例2 ,把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换Pyx ,0111101111011110 A433241312122222xxxxxxxxxxf 化为标准形。化为标准形。 111111111111 AE 1111111111111)1( icc 14 , 3 , 2 i线性代数线性代数河南工程学院河南工程

53、学院841000212022101111)1( 120210111)1(2 1rri 4 , 3 , 2 i展开展开按按4r)3()1(1221)1(32 1, 34321 得基础解系得基础解系解方程解方程时时当当0)3(,31 xAE 11111 单位化单位化 1111211p线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院850)(,1432 xAE解方程解方程时时当当 1111,1100,0011432 得正交的基础解系得正交的基础解系 111121,110021,001121432ppp单位化单位化 2202220220222022221,4321ppppP线性代数线性代数河南工程学院河南工程

54、学院86242322213yyyyf yPx 用正交变换用正交变换 ，二次型，二次型 f 化为标准形为化为标准形为线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院87例例332212221321442),(xxxxaxxxxxf 设二次型设二次型经正交变换经正交变换 化为标准形化为标准形yQx 2322214ybyyf 求求 (1) a , b ; (2) 正交变换矩阵正交变换矩阵 Q .DbAQQAQQT 411 02022022aA二次型的矩阵为二次型的矩阵为由题意由题意由相似矩阵的性质得由相似矩阵的性质得 ，从而，从而)tr()tr(,DADA 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院88 41

55、0248bab2, 1 ba解得解得A与与D有相同的特征值，分别为有相同的特征值，分别为4, 2, 1321 T)2 , 1, 2(1 T)1 , 2, 2(3 T)2 , 2 , 1(2 求得它们对应的特征向量求得它们对应的特征向量(正交正交)为为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 12222121231Q线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院89设设A和和B是是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵C，使，使ACCBT 则称则称A与与B合同合同.(1) 合同关系是一种等价关系；合同关系是一种等价关系；(2) A与与B合同合同, 则则 r(

56、A) = r(B);(3) A与与B合同合同, A对称对称, 则则B对称对称. 二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变换为对角矩阵。变换为对角矩阵。 在在n阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当于二次型可以互化于二次型可以互化(也称二次型等价也称二次型等价)。线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院90二次型必可化为规范形。二次型必可化为规范形。证证 设二次型设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为经正交变换化为:)0(22112211 irrppppkykykykykf(思考为什么一定可

57、化为上面形式？思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换再做一次可逆的线性变换 nrizyrizkyiiiii, 1 , 2 , 11则则 f 化为化为221221rppzzzzf 思考：在可互化的二次型思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？单的矩阵是什么？线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院91(1) 二次型的标准形唯一吗？二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有秩有何关系？与二

58、次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？何关系？ (3) 设设CTAC = D (C可逆，可逆，D是对角阵是对角阵)，D的对角的对角元是元是A的特征值吗？如果的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？是正交矩阵又如何？ (4) 设设4阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二的二次型的规范形是什么？次型的规范形是什么？线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院92线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院931. 若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配项集中，然后配方，再对其余的变量

59、同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形; ixix2. 若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方中方法配方.线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院9432312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化

60、二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx )(232121xxxx 322322652xxxx 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院95 322322232144xxxxxxx 23223212xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院96323121232221