多元函数微分学习题解理工类吴赣昌

1、第8章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要区域定义邻域空间中点的邻域为 平面上点的邻域为 点集开集所有点都是内点的点集闭集开集连同边界构成的点集连通集任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集区域连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域多元函数定义D为平面上非空点集，如果对D中任一点，按某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称为D上的二元函数，记，D为定义域。几何意义：为空间曲面，D为曲面在面上投影。可定义三元及以上函数。二重极限当时，恒有，则称。注：其中为任意方式。从而若以不同方式趋于时，无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。多元函数连续若，则函数在连续

2、。初等函数在其定义区域内连续。闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。课后习题全解习题8-11.设 ，求。解：2. 已知函数，试求。解： 3.设，且当时，求。解：将代入原式得： ，故 4.求下列函数的定义域： （1）解：要使表达式有意义，必须 所求定义域为 （2）解：要使表达式有意义，必须， （3）解：要使表达式有意义，必须 （4）解：要使表达式有意义，必须 （5）解：要使表达式有意义，必须 5.求下列极限：（1） 知识点：二重极限。思路：为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。 解： （2）知识点：二重极限。思路： 应用有理化方法去根号。解： （3） 解： 原式， ， （4）解

3、：方法一： （应用二重极限定义，语言） 当时 恒有 方法二： （夹逼定理） ，又 方法三： （极坐标代换） 令 ，则当 时， （5）知识点：二重极限。思路：先作变量替换，然后对未定型应用洛必达法则及等价无穷小量替换。 解： 令，则 时，原式。（6） 解： 6.证明下列极限不存在知识点：二重极限。思路：若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。（1） 证：取 ，则 ，易见极限会随值的变化而变化，故原式极限不存在。（2）证：方法一：现考虑 ，若沿轴趋于，则 上式，从而 若沿曲线趋于，则，从而 故原式极限不存在。方法二： 若取，则 若取，则 故原式极限不存在。（3） 解： 若沿轴趋于，则 上

4、式 若沿曲线趋于，则上式故原式极限不存在。注：若沿曲线趋于，则从而 。7.研究下列函数的连续性（1） 解：当时函数无定义，故函数的间断点集为（2）解： 函数间断点为 ， 由 又 故由夹逼定理 ，故为可去间断点。8.设，讨论在处是否连续？知识点：二元函数连续思路：若，则函数在连续。讨论处二重极限的存在性，若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。解：若沿轴趋于，则 若沿轴趋于，则 故不存在，从而函数在处是不连续。§8.2 偏导数内容概要偏导数偏导数定义性质也记为同理可定义几何意义：的偏导数表示空间曲线在点处的切线关于轴的斜率偏导函数的求法：（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需

5、将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。高阶偏导数若函数的偏导数在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。如果的二阶混合偏导数在区域D内连续，则在D内这两个偏导数相等。课后习题全解习题8-21. 求下列函数的偏导数：（1）；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。解： ； （2） ；解： ， 故（3） ；解： ；注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。（4） ； 解：； （5） ；解： （6） ；知识点：二元函

6、数偏导数思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。在本题中对自变量x求偏导时，函数为x的幂函数；对自变量y求偏导时，函数为y的幂指函数。 解： 方法一 方法二：（求时也可利用下边第5节的隐函数求导法则）在方程两边同时取自然对数得 方程两边同时对自变量求偏导数，注意为的函数 （7） ；解： ； （8） ；知识点：多元函数偏导数思路：函数对自变量x（y或z）求导时将另两自变量y，z（x，z或x，y）看为常量，按一元函数求导法则求导。 解： ； ； 2. 设 ，求 。 解： 法一： ，； 法二： ， 3.设 ，求知识点：多元分段函数偏导数。思路：分段函数分

7、段点处偏导数用定义求；非分段点处应用法则求导。 解：当时， 不存在。 当 时， 4.曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？知识点：多元函数偏导数的几何意义。思路：的偏导数表示空间曲线在点处的切线关于轴的斜率，。解： ， ，5. 求下列函数的和：（1）； 解： ；（2） ； 解： ； ； （3）。解： ； 6. 设，求及。解：，又 ， 所以 ，7. 设，其中可导，证明。证： ， 左边； 右边， 所以 左边=右边，题目得证。注： 本题中对抽象函数应用了一元复合函数求导法则。8. 设，求及。解： ，； §8.3 全微分及其应用内容概要全微分及其应用定义 如果函数在点的全增量可表示为，其

8、中与无关，则称函数在点可微，全微分。性质（1）若函数在可微，则在连续（2）若函数在可微，则；从而若，则函数在不可微。（3）若函数在可微，则在偏导数存在，且（4）若函数在的某邻域存在偏导数且，在连续，则函数在可微，且全微分应用若函数在的某邻域内偏导数，在连续，且都比较小时，有全增量近似公式 函数值近似公式课后习题全解习题 8-31.求下列函数的全微分： （1）；知识点：全微分。思路：求出函数的偏导数，代入全微分公式 。解： 所以 （2） ；解： 所以 （3）；解： 所以 2. 求函数在时的全微分。解：所以 3. 设，求解： 故 从而 4. 求函数在时的全增量和全微分。解： 将 代入得： 全增量

9、全微分5. 计算的近似值 知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式 解： 设 ，则要计算的近似值就是该函数在时的函数值的近似值。 取 又 应用公式 所以 6. 计算的近似值知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式 解： 设，则要计算的近似值就是该函数在时的函数值的近似值。取 又 所以 所以 7. 已知边长为与的矩形，如果边增加，而边减少，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式 解：由题意知矩形的对角线为 则有 ，其中 ，所以 即矩形的对角线近似减少2.8cm。8. 用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长，宽，高，厚，求所需材料的近似值与精确值。解：设

10、容器的长宽高分别为，则长方体体积为，从而所需材料的精确值为 由题意可知， 故 精确值 近似值9. 有欧姆定律，电流I，电压V及电阻R有关系。若测得V=110V，测量的最大绝对误差为2V，测得I=20A，测量的最大绝对误差为0.5A。问由此计算所得到的R的最大误差和最大相对误差是多少？解： 其中，分别为测量电压和电流的绝对误差；故 又 ， 故 从而R的最大误差为，最大相对误差是。§8.4 复合函数微分法内容概要复合函数微分法类型求导法则复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数及在点处可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导，且复合函数中间变量为多元函数情形如果函

11、数及在点处可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导，且，复合函数中间变量既有一元函数又有多元函数的情形如果函数及在点处可导函数在点可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导， 且，注：若，则；其中为对中间变量的偏导数，此时应将中变量看做常数；而为对自变量的偏导数，此时将自变量看为常数。与区别同上。课后习题全解习题 8-41. 设，而，求 解： 2. 设，而，求解： 3. 设，而，求 解： 4.设，求解： 令 则函数可看为复合而成的函数，从而 注：本题也可根据幂指函数求导法则计算或用对数求导法。5.设，求解： （指对中间变量的偏导数，此时将中看为常量） 6.

12、 求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）：（1） 解：令，则原函数为复合而成的函数，按多元复合函数求道法则有： （2） 解： 令，则原函数为复合而成的函数，按多元复合函数求导法则有： （3） 知识点：多元复合函数求导法则。思路：函数有三个中间变量，其中变量既是中间变量又是自变量。解： 令，则函数为复合而成，按复合函数求导法则有： （其中 为函数对中间变量的导数） 7.设，其中为可导函数，验证：。知识点：多元复合函数微分法。思路：本题为抽象函数的复合函数，故要用商式求导法则，再按复合函数求导法则求导。 证：令，则 ， 所以有： 。8.设，其中有二阶连续偏导数，求 解： 令 ，则函数可看

13、为复合而成的函数，由求导法则有：， 函数仍为复合而成的复合函数，依然以为中间变量以为自变量，且由有二阶连续偏导数，得 又由函数对自变量的对称性可得： ，9.设，其中具有连续二阶偏导数，求解： 令 ， 则函数为复合而成，按复合函数求导法有：，由为的函数，所以仍为以为中间变量，以为自变量的函数，故 （具连续二阶偏导数）（与课后答案不同。）10.求下列函数的（其中具有二阶连续偏导数） （1） 解：令，则函数为复合而成的函数，其中变量既是中间变量又是自变量，按复合函数求导法有： ，（其中是函数对中间变量的偏导数，求解时将中间变量看作常量）又由为的函数，所以仍为以为中间变量，以为自变量的函数，故 （2）

14、 解：令 ， 则函数为复合而成，按多元复合函数求导法： ，由为的函数，所以仍为以为中间变量，以为自变量的函数，故 （具连续二阶偏导数） （具连续二阶偏导数）与书后答案不同（具连续二阶偏导数）11.设二次可微，且，试证： 知识点：多元复合函数的求导法则思路：在本题中将函数看为的函数时，是中间变量的角色。按链式法则对自变量求导即得右边；将函数看为的函数时按求导法则即得左边。证：； （二次可微，故）（二次可微，故）；又 故 左边右边，得证。12.设，其中函数具有二阶连续偏导数，验证： 。证： 令，则； ；故 ，得证。§8.5 隐函数微分法内容概要隐函数微分分类法则一个方程情形若二元方程确定

15、一元隐函数，则若三元方程确定二元隐函数，则方程组情形若方程组确定二元函数则，课后习题全解习题8-5 1.已知，求。 知识点：隐函数求导。 思路：设左端函数为，先求出，代入。 解 ：设 ， 所以 注： 本题也可通过一元函数隐函数求导法则求解。 2.设，求 解： 方法一; （应用隐函数存在定理公式）设 ， ，故 ；。方法二：（在方程两边对自变量求偏导，注意变量为的函数） 方程两边同时对自变量求偏导，得：，整理可得： 故 方程两边同时对自变量求偏导，得：，整理可得 故 3.设函数由方程所确定，证明 。证：方法一：（应用隐函数存在定理公式） 设 ，令 则 ； 故 ； 方法二： 方程两边同时关于求偏导，

16、注意是的函数。 令 ，方程两边同时关于求偏导，得： ，故 又由 变量的对称性同样可得： ， 故 方法三：（利用全微分公式及全微分形式的不变性） 方程两边同时取微分得 故 整理得 由全微分公式可知 故 4. 设，其中可导，求 解： 方法一： 设 其中 则 故 ；方法二：方程两边同时关于求偏导，注意是的函数。方程两边同时对自变量求偏导 得： 整理得 方程两边同时对自变量求偏导 得： 故 。5. 设具连续偏导数，证明由方程所确定的隐函数满足 。证：在方程两边关于求偏导得： 同样地，方程两边关于求偏导得： ，得证。6. 设，求 解：方法一： （用隐函数求偏导公式）设 ，则 故 所以 （求导时注意此式中

17、仍为的函数） （求导时注意此式中仍为的函数） 方法二：（直接法） 方程两边同时关于求偏导得： （1） 整理得 方程（1）两边再关于求偏导得： 故 同样的 方程两边同时对求偏导得： （2） 整理得 方程（2）两边再关于求偏导得： 故 7. 设 ，求。解： 设 ，则有： 故 又 时 ，故8. 设，求 解：方法一：由题意知，方程组确定隐函数组 ，在方程组两边同时对求导得 ， 整理得 当 时 ，方法二：（利用微分形式不变性）由题意知，方程组确定隐函数组 ，在方程组两边同时求微分得 将方程组中看为未知量，从中消去得 ， 即 同理可得 9. 设，求 解：由题意知，方程组确定隐函数组 ，在方程组两边同时对求

18、导得 整理得 当时 ；与课后答案不同。注：本题也可采用8题方法二解决。10. ，求 解：方法一：由题意知，方程组确定隐函数组 ，在方程组两边同时对求偏导得，整理得 故 ，同理可得， 。方法二：（利用全微分形式的不变性与全微分公式，将用表示，则表示系数即为所求）由题意知，方程组确定隐函数组 ，在方程组两边同时求微分得把 看成未知量， 消去方程组中得： ，由全微分公式可得： ；同理可得 ：；11.设，证明： 证：方程两边同时取对数 设 ，得 故 。得证。注：本题也可以按一元函数隐函数求导法则来求解。§8.6 微分法在几何上的应用内容概要微分法在几何上的应用空间曲线的切线与法平面（1）曲线

19、的参数方程为，三个函数均可导，导数不全为零。则曲线在某点处的切向量为记，则切线方程 法平面方程为 （2）曲线的方程为，在可导，则曲线在某点处的切向量为，则切线方程 法平面方程为 （3）曲线方程为，具连续偏导数，则曲线在点处切向量为，则切线方程为 法平面方程为空间曲面的切平面与法线（1）曲面方程为，则曲面在点处法向量为，则切平面方程为 法线方程为 （2）曲面方程为则曲面在点处的法向量为切平面方程为 或（上式表明函数在点处的全微分，在几何上表示曲面在点处的切平面上点的竖坐标的增量。）法线方程为 课后习题全解习题8-61.求曲线在处的切线方程与法平面方程。 解： 又 时 ，故 曲线在处的切向量 于是

20、，所求切线方程为 法平面方程为 2.求曲线在点处的切线方程及法平面方程。解： 由题设可知 ，故 故曲线在点处的切向量 于是，所求切线方程为 法平面方程为 3.求曲线在点处的切线方程与法平面方程。解：设， 则 故曲线在点处的切向量为故所求切线方程为，法平面方程为，即。4找出曲线上的点，使在该点的切线平行于平面。知识点：空间曲线的切线 、数量积、平面法向量思路：先求出曲线的切向量，再求出平面的法向量，已知切线平行于平面从而垂直于法向量，利用向量垂直的条件的出所求点对于的参数值，然后代入曲线方程即可。解：设该点为，其对应参数 又，故该点的切线向量为 平面的法向量为 ，由题意有 故 即 解得： 从而

21、所求点为 或 5求曲面上平行于平面的切平面方程知识点：空间曲面的切平面方程、向量平行条件思路：先求出空间曲面切平面的法向量表达式，解：设 ，则 设切点为，曲面在点M处的法向量为又切平面和已知平面平行，所以切平面的法向量和平面的法向量平行 故 ，又 所以切点为 故切平面方程为 即。6.求曲面在点处的切平面方程与法线方程。解：这里 ，则切平面的法向量公式为 从而在点处的法向量为 故切平面方程为 即 法线方程为 7.证明：曲面在任意一点出的切平面都平行于直线 其中F具有连续的偏导数。知识点： 空间曲面的切平面、多元隐函数偏导思路：先根据隐函数微分法求出曲面上点的法向量，然后根据向量数量积验证与直线方

22、向向量是否垂直。证：设，则曲面上任一点处的法向量为 又已知直线的方向向量为，且故，从而曲面在任意一点出的切平面都平行于已知直线。8.证明曲面方程（，常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数。知识点：空间曲面的切平面，四面体体积。思路：先求出曲面在任一点处的切平面，然后求出切平面的截距式方程，求出截距，再求四面体体积。证：设，则曲面上任取一点，则曲面在该点的法向量为切平面方程为 从而截距式方程为 ，故四面体体积为 得证。§8.7 方向导数与梯度内容概要方向导数和梯度方向导数定义性质函数在某领域有定义，为自点出发的射线，记，函数在点处沿方向的方向导数为1.函数在处可

23、微，则 ，为轴正向到方向的转角。2.函数在点可微，则其中为方向的方向余弦。梯度函数函数在处有一阶连续偏导数，梯度为函数函数在处有一阶连续偏导数，梯度为注：梯度为一向量：其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值。课后习题全解习题8-71.求函数在点处沿向量的方向导数。 解：向量的方向余弦为 又 故 （与答案不同）2.求函数在抛物线上的点处，沿着此抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数。解：将两边同时对求导得：，则 故点在抛物线上切线斜率为，从而方向的倾角为。 又 故 3.求函数在点处沿点的向径方向的方向导数。解：向径，其方向余弦为 4.求函数在曲线上点沿曲线在该点的切线

24、正方向的方向导数。解：当时，曲线上点为又 曲线的切向量为故处切线的方向为，从而方向余弦为 5.设，求。解： 故 6.确定常数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，其中具有连续的二阶偏导数。 解： 由 故 又具有连续的二阶偏导数，故即 整理得 ，由，得 。7.求函数在点的梯度之间的夹角。解： 故又 故，从而两梯度的夹角为。8.设函数，其中，试讨论在空间哪些点处等式成立。解：故 ，同理可得 ，所以 若，则，即在空间球面上。§8.8多元函数的极值内容概要多元函数极值多元函数极值定义性质函数在点某领域内有定义，对领域内任一异于的点，如果，则称函数在点取得极大（小）值，为极值点。1.（必要

25、条件）函数在点处具有连续偏导数，且在点有极值，则必有。（可推广至多元函数）2.（充分条件）函数在点处具有二阶连续偏导数，且，令，则（1）当时，函数在处有极值，且时有极小值，时有极大值。（2）当时，函数在处没有极（3）当时，不确定。条件极值求函数在条件下的极值的方法：方法一：化为无条件极值。即在方程下解出，代入目标函数，按无条件极值计算。方法二：拉格朗日乘子法。即作辅助函数由解出可能极值点，而后判断是否为所求。注：若约束条件不止一个，可增加拉格朗日乘子。如：函数在条件，下的极值，则作辅助函数课后习题全解习题8-81.求函数的极值。知识点：多元函数极值思路：解方程组得出函数的驻点，然后求出函数二阶

26、偏导数，确定驻点处A,B,C 的值，依据符号判定是否为极值点。解：解方程组 由得，代入得 ，故 故有两驻点 又 ， 驻点 ，故不是极值点；驻点， ，又，所以函数在点处取得极大值。（与习题答案不同）2.求函数的极值。解：解方程组 由（2）得 ，代入（1）得 ，故有驻点 对 ，且 ，所以函数在点取得极小值，同样可得函数在点也取得极小值。（函数及偏导数关于均为偶函数），对，所以不是极值点。3.求函数的极值。解：解方程组 由（2）得 ，代入（1）得 ，故驻点为又 故 ，又，所以函数在点处取得极小值4.求函数的极值。解：解方程组 （1）+（2）并代入（1）得 得 驻点 对 ，且，所以函数在处取得极大值，

27、5求由方程确定的函数的极值。知识点：多元函数极值、隐函数求导思路：先按隐函数求导法则求出函数偏导数，然后解方程组得出函数的驻点，然后求出函数二阶偏导数，确定驻点处A,B,C 的值，依据符号判定是否为极值点。解： 方法一：在方程两边同时对x求偏导得 在方程两边同时对求偏导得: 解方程组得 驻点 ，且时或又 故 时 ，又，故函数在点处取得极小值时 ，又，故函数在点处取得极小值方法二：（本题特殊性，可用配方法）原方程可变为 （以为中心，为半径的球面）故 ，当时，取得极大值4，故为极大值，为极小值。6.欲围一个面积为60平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地的长、宽

28、各为多少米时，所用材料费最省？方法一：知识点：多元函数条件极值思路：根据题意给出目标函数（材料费）及约束条件（面积60），根据拉格朗日乘数法求解。解：设场地的长为米，宽为米，则问题归结为在约束条件 下求的最小值。 作拉格朗日函数 由（1），（2）可得代入（3）得 ，由问题本身的意义知，该点就是所求最小值。即当长为，宽为时所用材料费最省。方法二： （一元函数最值）设场地的长为米，则宽为米，由题意知目标函数为， 令 ，得唯一驻点又 ，故为极小值点，由实际问题可知即为最小值点。即当长为，宽为时所用材料费最省。7.将周长为的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最

29、大？解：设矩形的长为则宽为，将矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，则圆柱体的底面半径为，高为，从而体积为 ，令 ，得唯一驻点 又故为极大值点，由问题的实际意义，从而为最大值点。即当长为，宽为时圆柱体取得最大体积。注：本题也可采用二元函数条件极值解决，其中目标函数为圆柱体体积，约束条件为周长。8.抛物面被平面截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离。知识点：多元函数条件极值思路：根据题意给出目标函数及约束条件，根据拉格朗日乘数法求解。该题中如果将原点到点的距离作为目标函数的话，约束条件应该有两个。解：设椭圆上点的坐标为，则原点到椭圆的距离为，故距离的平方为 ，其中 ，（约束条件） 作拉格朗日函数

30、 （1）-（2）得 即若，带回（1）得，由（3）可得，这与（4）矛盾。故 ，由（4），可得 ，代入（5）式 解之得 ，从而 由问题本身的意义知为最小值点，为最大值点。因为，从而最短距离为，最长距离为。9.某工长生产两种产品A与B，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品A与生产y单位的产品B的总费用是 （元）求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：利润函数 ，得：，又 ， ，故，为极大值点，由问题的实际意义知，也为最大值点。即当生产120件产品A，80件产品B时所得利润最大。10.某种合金的含铅量百分比为，其溶解温度为，由实验测得与的数据如下表：36.946.763.777.884.

31、087.5181197235270283292试用最小二乘法建立与之间的经验公式。解：方程组 其中 代入方程组得解得： 所以经验公式为。11.已知一组实验数据为。现若假定经验公式是。试按最小二乘法建立应满足的三元一次方程组。解：设M是各个数据的偏差的平方和 令 整理得 即 为所求三元一次方程。12.某工长建造甲、乙两种产品。单价分别为2万元和5万元。设制造一个单位的甲产品至多需要A类原料一个单位，电力1000度；制造一个单位的乙产品至多需要B类原料3个单位，电力2000度。现有A类原料4个单位，B类原料9个单位，电力8000度。问该厂在现有条件下，应如何决定甲、乙产品的产量，才能使收益最大？解

32、：设生产甲、乙产品的产量分别为，则收益函数为，其中 即本题为求线性规划问题 ODCBA0由上图可知由直线所围区域的边界交点分别为,，且,，由线性规划问题最优解在区域边界处取得，故最大收益为，即甲产量为2，乙产量为3时获得最大收益。 总复习题八1.求函数的定义域。解：函数的定义域为 故 2.求下列极限： （1） 知识点：二重极限思路：由题目知该函数为型的幂指函数未定型，可根据重要极限计算。解： 原式 （2） 解： 又 ，由夹逼定理知 3.求极限 知识点：二重极限思路：二重极限中是指以任意方式趋于该点，若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。解：取 ，则 ，易见题设极限的值随的变化而变化

33、，故题设极限不存在。4.讨论二元函数 在点的连续性。知识点：二元函数连续思路：先求出函数在该点的二重极限，若极限值等于函数值则连续。解： 为有界函数，由无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小， 函数在点连续。5.求下列函数的偏导数（1） 知识点：二元函数偏导数、积分上限函数思路：积分上限函数求导法则，及二元函数求偏导法则。解： （2） 解： 6.设 ，试证明解： 由函数对变量的对称性可得： ， 得证。7.求函数 的全微分。解： 由函数对的对称性可知 注：该题也可用全微分形式的不变性计算，鉴于函数过于繁琐，不再重述。8.求的全微分解：方法一： 由函数对变量的对称性可知 方法二： 函数两边去自然对数得

34、方程两边同时关于求偏导（注意为的函数）得 同理可得： 9.设 ，求 解： 10.设 ，求 。解：当时， 当 时， ， 11.设，讨论在处的可微性。知识点：全微分思路：可微的必要条件，若，则函数不可微。解： 假设在处的可微，则考虑 在处不可微。12.设，问在点处，（1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？知识点：二元函数连续、偏导数、可微性。思路：通过偏导数定义判断偏导数存在性；求出偏导函数，注意分段函数偏导函数求法；全微分定义。 解：（1）函数在点处偏导数存在。（2）当 时， 又 沿轴趋于时，上式 不存在， 故偏导数在点不连续。由函数关于变量的对称性可知 同理可得 不存在

35、，故偏导数在点不连续。（3） 即 ，故，函数在可微。13.设，求知识点：多元复合函数求导思路：变量是以为中间变量，以为自变量的函数。按复合函数求导链式法则求导，中间注意与的区别。解：（其中为将中间变量看为常量，对的偏导数） 14.设，而，为可导函数，证明。解： 15.设，其中具有连续的二阶偏导数，求。解： 易知，仍为以为中间变量，以为自变量的函数 16.设，求（为自然数）。解： ， ， 为便于计算，将整理如下 17.设为由方程所确定的隐函数，求和。解：方法一 设 ， 方法二： 方程两边同时关于求偏导，注意，得 整理得 同理可得 18.设方程确定了函数，求，解：令 ，方程两边同时关于求偏导，注意

36、 整理得 同理可得： 19.设为由方程所确定的函数，求。解：方法一：函数为 ，；令 方程两边同时关于求偏导 ，（1） 整理得 方程两边同时关于求偏导 ，整理得 在（1）式两边再关于求偏导 （注意为的函数） 整理得 方法二 ： 求时也可用全微分形式的不变性 故 整理得 故 ，20.设，求。解：令 由隐函数求导公式可得： 21.，求解：方法一：在方程组两边同时求微分得： 消去可得 故 消去可得 故 方法二：方程两边同时关于求导，注意其中均为的函数 可解得 ，22.求椭球面上平行于平面的切平面方程。解： 设所求切平面的切点为,则 设 则切平面的法向量为 由题意可知 ，其中为已知平面的法向量故 联合可

37、得切平面方程为 即23.求螺旋线在点处的切线方程及法平面方程。解：在点处， 又 曲线的切向量为切线方程为，即法平面方程为，即24.在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，写出该法线的方程。解： 设该点为，则曲面的在该点的法向量为由题设可知，其中为已知平面的法向量，又 ，法线方程为。25.试证曲面上任何点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。解：设，则设点为曲面上任一点，则该点处曲面的法向量为 切平面方程为 即 又故平面在坐标轴上的截距分别为切平面在各坐标轴上的截距之和，得证。26.求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。解：设，则 故球面在点处的法向量为 ，从而向量的方向余弦为

38、 （为球面上点，故） 又 所以 27.求函数在点沿方向的方向导数，并求在这点的梯度和最大的方向导数及最小的方向导数。解： ，为单位向量 故函数沿方向的方向导数为：同时可知函数在该点的梯度为 又 ，故最大的方向导数为，最小的方向导数为28.曲面上点处指向外侧的法向量为，求函数在点处沿方向的方向导数。解：设，则 故曲面在点处外法向量为从而的方向余弦为又 故 。29.设都是的函数，的各偏导数存在且连续，证明：（1）（2）证：（1） （2） 30.求函数的极值。解： 令 得驻点又，对点，且，故函数在处取得极小值1对点，故函数在点没有极值。（与习题答案不同）31.将正数分成三个正数，并使最大，其中均为已

39、知数。解：方法一：由题意，该题即求函数在约束条件下的最大值问题。令 则 ， 得： 代入得： 故函数的最大值为。方法二： 也可将目标函数转化为函数在约束条件下的最大值问题，函数与函数有相同的最值。令 则 ， 代入得： 故原函数的最大值为。32.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为和，总成本函数为。试问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使得获得的最大利润最大？最大利润为多少？解：设售价分别为和，则总成本函数利润函数 由 得唯一驻点由实际问题可知，时厂家可获得最大利润（万元）。33.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告。根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式： （1） 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2） 若广告费用为万元，求相应的最优广告策略。解：（1） 由题意可知，收入函数为 由 得 ，故又，故函数在处取得极大值，由问题实际意义，函数在此处取得最大值。（2）由题意可知，收入函数为 ，约束条件为，该小题为