第八章 压杆稳定

1、第八章 压杆稳定学习指导本章分4节内容，本章的学习目标是：（）学习掌握压杆稳定的工程概念、压杆临界力的欧拉公式、压杆稳定的工程计算及提高压杆稳定性的措施。（）了解工程中常见的压杆稳定现象，掌握压杆稳定工程计算的基本方法，培养工作岗位有关受压构件设计的能力。本章重点难点为：稳定的工程概念、压杆稳定的工程计算；理解两类稳定问题的实质。 在某些特殊情况下（特别是杆件受压时），尽管杆件满足强度及刚度设计要求，但是，由于受力状态的改变，使得杆件仍然处于不安全状态，这种情形就是稳定的范畴。§8.1压杆稳定的概念 物体保持静止或匀速直线状态称平衡状态。工程中的平衡状态主要指静止的平衡状态。杆件受到

2、压力后，保持静止的平衡状态可能是稳定的，也可能是不稳定的。平衡状态的稳定性定义为：杆件在荷载作用下处于一定的位置（初始平衡位置）保持的平衡状态称（初始平衡状态），受到微小外界扰动使其偏离初始平衡位置，若外界扰动除去后仍能回到初始平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，且偏离初始平衡位置越来越远，则称杆件的初始平衡状态是不稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，但仍能停留在新的平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是临界平衡状态，也称随遇平衡状态。压杆稳定问题就是指受压杆件处于静止的平衡状态的稳定性问题。 图8.1工程中实际的压杆，其轴线不

3、可避免的存在初弯曲，即压杆未受力时，已呈微弯状态，这时可简化为具有微小弯曲的压杆模型，如图8.1(a)所示，称为初弯曲压杆。杆件所受轴向压力的作用线，实际上也不可能与杆件轴线绝对重合，即存在初偏心，这时可简化为具有小偏心矩的压杆模型，如图8.1(b)所示，称为小偏心压杆。初弯曲压杆和为小偏心压杆在轴向压力作用下除产生压缩变形外，还要产生弯曲变形。实质上是偏心受压杆件。如果小偏心压杆的偏心距极小（近似等于零）或初弯曲压杆的微小弯曲极小（近似等于零），则压杆简化为理想轴心受压模型，如图8.1(c)所示。为了说明压杆处于平衡状态的稳定性，我们取轴心受压的细长杆来研究。 图8.2 图8.2(a)为一等

4、截面的轴向受压杆，此杆在F作用下保持直线状态。现对该压杆施加一横向力（干扰力），使杆处于弯曲状态。当F值较小时，横向力去掉后，压杆在直线平衡位置左右摆动，最终仍能恢复到原来的直线形状，如图8.2（b）所示，此时称杆的原有直线状态的平衡状态是稳定的（称为稳定平衡状态）； 当F值较大时，横向力去掉后，压杆不仅不能恢复原有的直线形状，而是在微弯的基础上继续弯曲，发生显著的弯曲变形(甚至折断)，如图8.2（c）所示，此时称杆的原有直线状态的平衡状态是不稳定的（称为不稳定平衡状态)；当F值为某一数值时，横向力去掉后，杆既不能恢复原有的直线形状，也不增加其弯曲的程度，而是维持在微弯状态，如图8.2（d）所

5、示，此时称杆的原有直线状态的平衡是随遇的（称为随遇平衡状态）。随遇平衡是介于稳定平衡和不稳定平衡之间的一种临界状态。 随着荷载的逐渐增大，压杆原始平衡状态由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，这时杆件原始平衡状态丧失其稳定性，简称失稳。受压杆件处于直线状态的平衡是否稳定，决定于压力F的大小。当F小于某一值时，直线状态的平衡是稳定的，当F大于该值时，直线状态的平衡是不稳的，其界限值称为临界力。临界力是判别压杆是否失稳的界限。建筑结构中的受压杆件绝不允许处于不稳定的平衡状态，所以压杆件承受的压力必须小于临界力（一般用表示）。 稳定的概念不同于强度的概念。强度问题是，对轴向受压杆来说，只要横截面上

6、的正应力不超过材料的许用应力即可。稳定问题是，对轴向受压杆来说，杆件承受的压力超过临界力Fcr，杆件一但受到微小干扰，表现为弯曲变形不断加大，是一种动态。轴向受压杆特别是较细长的受压杆远不能承受按强度计算的荷载（）。即临界力远小于F。 压杆失稳现象常是突然发生的，所以，结构中受压杆件的失稳常造成严重的后果，甚至导致整个结构物的倒塌。钢结构工程上出现的较大的工程事故中，有相当一部分是受压构件失稳所致。§8.2 细长压杆的临界力在建筑工程中，常用压杆临界力的计算都可以采用欧拉公式，不同力学模型的压杆，其临界力的计算公式需要局部调整。8.2.1两端铰支细长压杆的临界力压杆失稳变形时，材料处

7、于弹性阶段，这类问题称为弹性稳定问题。下面推导两端为铰支的细长杆的临界力计算公式。如图8.3(a)。图8.3 细长的受压杆当F达到时，既可保持直线形式的平衡，又可保持微弯状态的平衡。杆内任一截面上的弯矩为，如图8.3(b)所示。 （8-1） 弯曲后挠曲线近似微分方程式为： （8-2）将式(8-1)代入式(8-2)，得： （8-3）令： （8-4）则式(8-3)变为： （8-5）该式即为杆微弯后弹性曲线的微分方程式，其通解为： （8-6）式中、为待定常数，与杆的边界条件有关。此杆的边界条件为： ； （8-7）将边界条件(8-7)代入式(8-6)得：于是式(8-6)变为： （8-8）将边界条件(8

8、-7)代入式(8-8)得：因 (已知，如再为零，杆则为直杆，与微弯之前提相矛盾)，所以：由此得： (n=0，1，2，3，n) 所以： （8-9）带入式（8-4）： (n=0，1，2，3，n) 式中n=0，则，此与讨论前提不符，这里n应取不为零的最小值，即取n=1，所以： （8-10）式(8-10)即为两端铰支细长压杆的临界力计算公式，该式又称为欧拉公式。该式表明，临界力与杆件抗弯刚度EI成正比，与杆长l的平方成反比。将带入式（8-8）可得杆微弯时的弹性曲线的方程式：，此式为一半波正弦曲线，见图8.4(a)。当n=2时，由可知，弹性曲线将为两个半波的正弦曲线，如图8.4(b)所示；取n=3时，弹

9、性曲线将为三个半波的正弦曲线，如图8.4(c)所示。只有在曲线拐点处施加支承的情况下只能出现图8.4（a）示的形式。 图8.48.2.2其它杆端约束下细长压杆的临界力 细长压杆的两端为其它支承形式时，由于杆端的支承对杆的变形起到约束作用，不同的支承形式对杆件变形的约束作用也不同，因此，同一受压杆当两端的支承情况不同时，其临界力值也就必然不同。细长压杆的两端为其它支承形式时的临界力公式，推导过程与两端铰支细长压杆的临界力公式推导过程相似，这里不一一推导，结果见表8.1。表8.1从表中可看到，各临界力公式中，只是分母中l前边的系数不同，所以临界力公式可以写成统一形式如下： (8-11)式中，称为计

10、算长度，称为长度系数。由各支承情况下压杆的失稳时挠曲线形状可看到，计算长度都相当于一个半波正弦曲线的弦长。例如，一端嵌固一端自由的压杆，挠曲线为半个半波正弦曲线，其两倍相当于一个半波正弦曲线，故计算长度为2l；一端嵌固另一端可上下移动但不能转动的情况，其挠曲线存在两个反弯点(反弯点处弯矩为零)，反弯点位于距端点1/4处，中间0.5l部分即为一个半波正弦曲线，故计算长度为0.5l；一端嵌固一端铰支的情况，其反弯点位于距铰支端0.7l处(由计算所得)，0.7l范围内的挠曲线弹相当于一个半波正弦曲线，故计算长度为0.7l。8.2.3 压杆稳定的计算 压杆临界力计算主要介绍的内容包括：临界应力、欧拉公

11、式的适用范围及抛物线公式，这些内容对于压杆的稳定力学分析是非常重要的。1、临界应力 临界力除以压杆的横截面面积，所得的应力称为临界应力，用表示，即： （8-12）式中令：称截面的惯性半径。 式（8-12）可写成： 式中令： 则有： （8-13）式（10-13）是欧拉公式（8-11）的另一种表达形式。称为长细比，又称为柔度。由式(8-3)可知，长细比与、有关。决定于压杆的截面形状与尺寸，取决于压杆的支承情况。从物理意义上看，综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界应力的影响。从式（10-13）可看到，当E值一定时，与成反比，说明对于由一种材制成的压杆，临界应力仅决定于长细比，值

12、越大越小，压杆就越容易失稳。2、欧拉公式的适用范围 此近似微分方程推导时在推导该公式时，应用了挠曲线的近似微分方程：此近似微分方程推导时是以下式为基础的 而上式是建立在胡克定律的基础上，因此，欧拉公式成立的条件应该是：当压杆所受的压力达到临界力时，材料仍服从胡克定律。也就是临界应力不能超过材料的比例极限。也就是：，将式子带入可得：令上式为： (8-14) 上式就是欧拉公式的适用范围的数学表达式。只有满足该式时，才能用欧拉公式计算压杆的临界力或临界应力，是判别欧拉公式能否应用的柔度，称为判别柔度。大于的压杆称为大柔度杆，由此可知，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。 每种材料都有自己E值和值，所以

13、，不同材料制成的压杆值也不同。例如，Q235钢的E和，分别为E=2.06×105MPa， =200 MPa，其则为：可见，对于用Q235钢制成的压杆，只有在=100时，才能用欧拉公式。§8.3 压杆稳定的计算 工程中压杆稳定的计算常见的方法有抛物线公式法、折减系数法、安全因素法，本节选取折减系数这一方法为例介绍压杆稳定的计算。8.3.1折减系数法 工程中常用安全系数来保证结构的安全，前面所采用的安全系数是基本安全系数K。现在考虑压杆稳定的安全系数处了因该考虑K外还必须考虑压杆可能存在的初弯矩、材质不均匀、荷载的初始偏心等因素的影响，常采用将压杆的临界应力的许用值表示为用材料

14、的许用压应力（）乘以一个来表示，即：。称为折减因数。因为临界应力的许用值总小于材料的许用压应力，所以总是小于1的。压杆的临界应力与构件的长细比有关，所以临界应力的许用值也与构件的长细比有关，另外临界应力的许用值是在压杆的临界应力的基础上除以一个大于1的稳定安全因数Kw。构件长细比不同，稳定安全因数Kw不同。所以当一定时，决定于压杆的长细比和。越大，越小。工程中，为方便计算，根据不同材料，将与之间的关系列成表，由直接差得值。见表10.2。表10.2 Q235钢16锰钢木材Q235钢16锰钢木材01.0001.0001.0001100.5360.3840.248100.9950.9930.9711

15、200.4660.3250.208200.9810.9730.9321300.4010.2790.178300.9580.9400.8831400.3490.2420.153400.9270.8950.8221500.3060.2130.133500.8880.8400.7511600.2720.1880.117600.8420.7760.6681700.2430.1680.104700.7890.7050.5751800.2180.1510.093800.7310.6270.4701900.1970.1360.083900.6690.5460.3702000.1800.1240.075100

16、0.6040.4620.3008.3.2压杆的稳定条件 （8-15）式中：轴向压力； A 杆件的横截面面积； 其他符号同前面。上式通常写成： （8-16）例8-1 如图8.5(a）所示结构由两根直径相同的圆杆组成，材料为Q235钢，已知h=0.4m，直径d=20mm，材料的许用应力=170Mpa，荷载F=15kN，试校核二杆的稳定。图8.5解：先求二杆所受压力，取结点A平衡，平衡方程为： ， ， 解得二杆所受压力分别为： 二杆的长度分别为： 二杆的长细比分别为：由和查得折减因数：=0.515=0.272压杆的稳定条件公式，AB杆：MPaAC杆：MPa§8.4 提高压杆稳定性的措施 要

17、想提高压杆的稳定性，应该考虑如何提高压杆的临界应力。从压杆的临界应力公式可以看出，压杆的材料(E)与长细比()是两个主要因素。下面分别讨论如何根据这些因素达到提高压杆稳定性的措施。 1、合理选用材料 不同材料的弹性模量E不同，选用弹性模量E大的材料制造受压杆件可以提高压杆的临界力。2、选择合理的截面形状构件的长细比随截面的惯性半径i的增大而减小，在截面面积相同的条件下，如果截面的惯性矩大，则惯性半径i大，要使截面的惯性矩大，可以通过使截面分布得远离形心主轴来实现。常采用空心截面和型钢组合截面，如图8.6(b)、(d)所示截面，其中图8.6(a)与图8.6(b)的截面面积相同，显然，空心圆较实心

18、圆合理。需要注意的是，截面为空心圆的压杆，其壁厚不可太薄，否则在轴向压力作用下管壁会发生折皱而使压杆丧失承载能力。图8.6(c)与图8.6(d)均为用四根等边角钢组合成的压杆截面，显然，图8.6(d)所示方案较图8.6(c)的合理。图8.63、减小压杆长度构件的长细比除与截面的惯性半径i有关外，还与计算长度有关。在允许的情况下，尽量减小压杆长度，或在压杆上增设中间支撑，都可以使杆件的计算长度减小，降低杆件的长细比，从而有效地提高稳定性。4、改善杆端支承情况从表8.1可以看出，杆端约束越强，长度系数值越小。因此，可以用增强杆端约束的办法减小值，达到降低长细比，提高压杆稳定性。知识要点回顾1、失稳：压杆原始平衡状态由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，这时杆件原始平衡状态丧失其稳定性，简称。2、临界力公式：3、临界应力公式：4、欧拉公式的适用范围：5、压杆的稳定条件或6、提高压杆稳定性的措施（1）合理选用材料（2）选择合理的截面形状（3）减小压杆长度（4）改善杆端支承情况技能训练8.1两根细长压杆a、b的长度，横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则两杆的临界压力和的关系为（）。 A= B C D 不能确定8.2材料和长细比相同的两根压杆，下列说法正确的是（）。 A临界应力一定相等，临界力不一定